精品解析：吉林省长春市第八十七中学2025-2026学年九年级上学期数学开学考试试题（大班）

暑假学习效能检测数学试题（16－20） 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（    ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，，AD＝4，BD＝2，AE＝3，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. D. 3. 关于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 函数的最大值为2 4. 如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ） A. （0，1） B. （0，） C. （0，2） D. （0，3） 5. 在中，，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，的边与相交于C，D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形的顶点B，C，D都在上，，，，则的弧长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若函数的图象经过点，则k的值为___________． 10. 已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于_______． 11. 已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）. 13. 如图，在中，是的平分线，，，则_________． 14. 如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④；⑤．其中正确结论的序号是____． 三、解答题（共78分） 15. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①、图②中，以线段为对角线，分别画一个平行四边形和矩形．（要求两个四边形不全等） （2）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 18. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集为______． （3）直接写出的面积为______． 19. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 20. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 21. ，两地相距，甲、乙两车分别从地和地同时出发相向而行．他们距地的路程和出发后的时间（）之间的函数关系的图象如图所示． （1）分别求出甲、乙两车距地的路程与时间的函数关系式； （2）求甲乙两车相遇的时间； （3）直接写出两车相距千米时的值； 22. 综合探究 综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q． （1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________． （2）【探究】如图2，当点P为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由． （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长． 23. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分线交边CD于点E．点P在射线AE上以每秒个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动；过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形，点N在射线AE上，且AP=PN．设P点运动时间为t秒． （1）PQ= （用含t的代数式表示）． （2）当点M落在BC边上时，求t的值． （3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t 的函数关系式． （4）直接写出在点P、Q运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）． 24. 在平面直角坐标系中，函数，其中为常数，该函数的图象记为． （1）当时， ①若点在图象上，则的值为 ； ②若点在图象上，则的值为 ； ③当时，求该函数的最小值； （2）图象过点时，求图象与轴交点的坐标； （3）已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，求的取值范围； （4）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求的取值范围； （5）当时，函数图象与直线和分别交于两点，当为等腰三角形时，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假学习效能检测数学试题（16－20） 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得； 故选：A． 2. 如图，在△ABC中，，AD＝4，BD＝2，AE＝3，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明再利用相似三角形的对应边成比例列方程即可. 【详解】解： ， AD＝4，BD＝2，AE＝3， 经检验符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的 相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解本题的关键. 3. 关于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 函数的最大值为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质确定其开口方向、对称轴、最值后即可确定正确的选项，能够确定二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴是解答本题的关键． 【详解】解： 中，， 开口向下，故选项A错误，不符合题意； ， 对称轴为直线，故C正确，符合题意； 函数有最大值，故D错误，不符合题意， 当时，随的增大而增大，选项B错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ） A. （0，1） B. （0，） C. （0，2） D. （0，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 5. 在中，，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，的边与相交于C，D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，切线的性质，直径所对的圆周角为直角等，掌握等腰三角形的判定及性质，切线的性质是解题的关键；由等腰三角形的判定及性质得，由直角所对的圆周角为直角得，由切线的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 边与相切， ， ， ； 故选：C． 7. 如图，四边形的顶点B，C，D都在上，，，，则的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，利用等腰三角形的性质求出，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 点，在上， ， ， ， 的长． 8. 如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出△ABC的各边长，根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：∵每格小正方形的边长都是1， ∴AB＝2，AC＝， BC＝， 则AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴tan∠ACB＝＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了求三角函数值，解题关键是确定△ABC是直角三角形，利用勾股定理和三角函数的定义求解． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若函数的图象经过点，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入已知函数解析式，计算即可得出答案． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 11. 已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】∵＜，∴成绩较稳定的是甲 【点睛】此题主要考查利用方差判断稳定性，解题的关键是熟知方差的性质. 13. 如图，在中，是的平分线，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形是平行四边形得到，，得到，根据角平分线得到，即可得到，得到，即可得到答案 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④；⑤．其中正确结论的序号是____． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】证明，利用“”即可证明，即可判断结论①；根据等腰直角三角形的性质证明，易得，再根据全等三角形的性质证明，进而确定，即，即可判断结论②；首先利用勾股定理解得，的值，过点作，交延长线于点，证明为等腰三角形，进一步由勾股定理解得的值，即可判断结论③；连接，利用勾股定理解得，易得，即可判断结论⑤；由全等三角形的性质可知，然后由进行计算，即可判断结论④． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵过点A作的垂线交于点P，即， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故结论②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 过点作，交延长线于点，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即点B到直线的距离为，故结论③不正确； 连接，如下图， ∵，， ∴， ∴，即， 故结论⑤正确； ∵，，， ∴， ∴， 故结论④不正确． 综上所述，结论正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（共78分） 15. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：， 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，则 ∴或， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得： 【小问4详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 16. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴当时，原式 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①、图②中，以线段为对角线，分别画一个平行四边形和矩形．（要求两个四边形不全等） （2）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 【答案】（1） 如图①中，平行四边形即为所求（答案不唯一）．如图②中，矩形即为所求； （2）如图③，正方形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据平行四边形，矩形的定义画出图形即可； （2）根据正方形的定义以及题目要求作出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集为______． （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n的值，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集； （3）先求出直线与y轴交点C的坐标，然后利用进行计算． 【小问1详解】 解：把，代入得：， 解得， ∴反比例函数解析式为，点B的坐标为， 把，代入得： ，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 借助图象可得，不等式的解集为； 【小问3详解】 设直线与y轴交于点C， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴． 19. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再根据， ，即可求证； （2）先通过菱形的性质及勾股定理求解到的长，再通过勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 20. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】（1） （2） 八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人 【解析】 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级出现次数最多的数据为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 21. ，两地相距，甲、乙两车分别从地和地同时出发相向而行．他们距地的路程和出发后的时间（）之间的函数关系的图象如图所示． （1）分别求出甲、乙两车距地的路程与时间的函数关系式； （2）求甲乙两车相遇的时间； （3）直接写出两车相距千米时的值； 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）：依题意，设甲车离开地的距离与的关系式为：，设乙车离开地的距离与的关系式为：，待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据题意，由（1）中的关系式，令两车的路程相等，解方程，即可求解； （3）根据两车相距千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设甲车离开地的距离与的关系式为： 当时， 即： ， ， 设乙车离开地的距离与的关系式为： 观察图象可知：时，；时， 解得：， 乙车离开地的距离与的关系式为： 【小问2详解】 依题意可得： 解得 【小问3详解】 解：依题意，或 解得：或 22. 综合探究 综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q． （1）【感知】如图1，若点P是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________． （2）【探究】如图2，当点P为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由． （3）【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 证明：成立．理由： 如图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）数量关系：．连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得或3，再利用（2）中的结论即可得出结论． 【小问1详解】 解：线段与之间的数量关系：． 理由：如图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， 点是边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， 或， 由（2）知：， ， 或． 线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 23. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分线交边CD于点E．点P在射线AE上以每秒个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动；过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形，点N在射线AE上，且AP=PN．设P点运动时间为t秒． （1）PQ= （用含t的代数式表示）． （2）当点M落在BC边上时，求t的值． （3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t 的函数关系式． （4）直接写出在点P、Q运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）． 【答案】（1）t；（2）2；（3）当0≤t≤时，；当≤2时，；当≤3时，；（4）2或3或 【解析】 【分析】（1）判断出ΔAPQ是等腰三角形即可得出结结论； （2）由AP=PN判断出Q为AB的中点，进而求得AQ=2，即可得出结论； （3）分三种情况讨论：①当0﹤t≤时，重合部分是平行四边形PQMN；②当≤2时，重合部分是五边形PQMGE，③当≤3时，重合部分是五边形PQGCE，分别求解即可； （4）也是分三种情况讨论：①当点Q是AB的中点时，ΔAPQ≌ΔQMB；②当点P与点E重合时，ΔAPQ≌ΔEAD；③当ΔPEK≌ΔQGB时，分别求解即可. 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90º， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45º， ∵PQ⊥AB， ∴ΔAPQ是等腰直角三角形， 由运动知，AP=t， ∴PQ= t； （2）如图2，当点M落在BC上时， ∵四边形PQMN是平行四边形， ∴PQ∥MN，即PQ∥BN, ∵AP=PN， ∴AQ=QB=2． ∵∠NAB =45°， ∴PQ=AQ=2． ∴t=2 （3）①当0≤t≤时，如图4，重合部分是平行四边形PQMN，； ②当≤2时，如图5，重合部分是五边形PQMGE， ； ③当≤3时，如图6，重合部分是五边形PQGCE， =， 综上，当0≤t≤时，；当≤2时，；当≤3时，；． （4）①如图7，当点Q是AB的中点时，ΔAPQ≌ΔQMB，此时； ②如图8，当点P与点E重合时，ΔAPQ≌ΔEAD，， ③如图9，当ΔPEK≌ΔQGB时，由EK=BQ得：t-3=4-t，解得． 综上，t的值为2或3或． 【点睛】此题考查的是四边形的综合，是综合性很强的一道题，熟练掌握与四边形有关的几何论证是基础，分情况讨论并画出相应的图是解答的关键． 24. 在平面直角坐标系中，函数，其中为常数，该函数的图象记为． （1）当时， ①若点在图象上，则的值为 ； ②若点在图象上，则的值为 ； ③当时，求该函数的最小值； （2）图象过点时，求图象与轴交点的坐标； （3）已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，求的取值范围； （4）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求的取值范围； （5）当时，函数图象与直线和分别交于两点，当为等腰三角形时，求的值 【答案】（1）①；②或；③2； （2）图象G与x轴交点的坐标为或； （3）或； （4）； （5）或或． 【解析】 【分析】（1）当时，函数，①将代入函数解析式即可求出a的值；②将代入函数解析式可得，解方程即可；③根据函数的增减性即可取得最小值； （2）当时，根据题意，得，求出m的值，再令即可求出与x轴的交点坐标；当时，根据题意，得，求出m的值，不合题意，舍去； （3）确定临界情况：当时，，求出m的值，当时， ，求出m的值；当经过点时，， 当经过点时，，即可确定m的取值范围； （4）分别当时，时，时，表示出，，再根据，即可求出m的取值范围； （5）当时，当时，利用勾股定理分别表示出的值，再分别讨论为等腰三角形，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：当时，函数， ①∵点在图象上， ∴， 故答案为：； ②∵点在图象上， 当时，，解得； 当时，，解得； 故答案为：或； ③当时，y随着x增大而增大， ∴当时，y的最小值， 当时，y随着x增大而减小， ∴当时，y的最小值， ∴当时，该函数的最小值为2； 【小问2详解】 解：当时，根据题意，得， 解得， ∴函数， 当时，， 当时，， ∴图象G与x轴交点的坐标为或； 当时，根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）， 综上，图象G与x轴交点的坐标为或； 【小问3详解】 解：根据题意，当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当时，图象与线段只有一个交点； 当经过点时，， 当经过点时，， ∴时，图象与线段只有一个交点； 综上所述：当或时，图象与线段只有一个交点； 【小问4详解】 解：当时，根据题意，时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， ∴，不合题意； 当时，根据题意，时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， ∴，不合题意； 当时，函数取得最大值， 当时， ， 当时， ， 当，即时，函数取得最小值， ∴，符合题意， ∴m的取值范围是； 若当，即时，函数取得最小值， 此时， ∵ ∴ 解得， 综上，满足条件的m的取值范围是； 【小问5详解】 解：当时，根据题意，点，点， ，， ， 为等腰三角形，分情况讨论： ①当时，，解得， ②当时，，化简得， ， 无解； ③当时，，化简得， ， 无解； 当时，根据题意，点，点， ，， ， 为等腰三角形，分情况讨论： ①当时，，解得， ②当时，，解得或， ③当时，，解得或， 综上，满足条件的m的值为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及分段函数，一次函数图象上点的坐标特征，函数最值问题，等腰三角形的判定等，本题综合性较强，难度很大，注意分情况讨论是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $