专题02 一定是直角三角形吗（四大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

专题02 一定是直角三角形吗（四大题型） 【题型1勾股树(数)问题】....................................................................................................1 【题型2判断三边能否构成直角三角形】.............................................................................1 【题型3在网格中判断直角三角形】.....................................................................................2 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】..................................................................................6 【题型1勾股树(数)问题】 1．下列各组数为勾股数的是（　　） A．1，2，5 B．15，8，17 C．9，12，13 D．0.3，0.4，0.5 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 3．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 4．下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 1．下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（    ） A．7，12，15 B．9，12，15 C．12，18，22 D．12，35，36 2．以下列各组数能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，6 B．，， C．4，6，8 D．9，40，41 3．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．3，3，3 B．，， C．2，3，4 D．8，16，17 【题型3在网格中判断直角三角形】 1．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 2．在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 4．如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 17．如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 5．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为 ，的形状为 ； (3)若为B的中点，则的长为 ． 6．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D都在格点上（小正方形的顶点）． (1)求四边形的周长； (2)求证：．   7．如图，正方形网格中，小方格动长为1，点A，B，C都在格点上，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)精准判断△ABC是什么特殊三角形，是 ； (2)直接写出△ABC的面积 ； (3)在正方形网格中标出一个格点H，其使得△HBC与△ABC的面积相等 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上． (1)直接写出四边形的面积与、的长度； (2)是直角吗？理由是：___________________； (3)在网格中找到一个格点E，并画出四边形，使得其面积与四边形的面积相等． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 1．如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 2．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 3．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 4．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 5．如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．    6．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 7．如图，，垂足为D．如果，，．    (1)求、的长度； (2)求证：． 8．如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 1．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 2．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是 三角形． 3．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一定是直角三角形吗（四大题型） 【题型1勾股树(数)问题】....................................................................................................1 【题型2判断三边能否构成直角三角形】.............................................................................2 【题型3在网格中判断直角三角形】.....................................................................................6 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】..................................................................................14 【题型1勾股树(数)问题】 1．下列各组数为勾股数的是（　　） A．1，2，5 B．15，8，17 C．9，12，13 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，分别对各组数据进行检验即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B正确； C、，故选项C错误； D、，但不都是正整数，故选项D错误． 故选：B． 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股数的定义，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； B．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； C．∵，即，且6，8，10是正整数， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选C． 3．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解． 根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断． 【详解】解：，故A不符合； 勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合； ，故C不符合； ，故D符合， 故选：D． 4．下列各组数中为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、,不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 5．下列各组3个数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C． D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，正确记忆勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不符合勾股数的定义； B、0.3，0.4，0.5不是整数，不符合勾股数的定义； C、，，，，不符合勾股数的定义； D、，符合勾股数的定义； 故选：D． 【题型2判断三边能否构成直角三角形】 1．下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（    ） A．7，12，15 B．9，12，15 C．12，18，22 D．12，35，36 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案 【详解】解：A、 ，不符合题意； B、 符合题意； C、 ，不符合题意； D、，不符合题意． 故选B 2．以下列各组数能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，6 B．，， C．4，6，8 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理的应用． 利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴该选项三个数不能构成直角三角形，不符合题意； B. ∵， ∴该选项三个数不能构成直角三角形，不符合题意； C. ∵， ∴该选项三个数不能构成直角三角形，不符合题意； D. ∵， ∴该选项三个数能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 4．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定（利用角度比例结合三角形内角和、利用边长比例结合勾股定理逆定理），解题的关键是分别对角度比例类选项计算最大角是否为，对边长比例类选项验证两短边的平方和是否等于长边的平方． 对于角度比例选项，设每份角度为未知数，结合内角和求最大角，判断是否为；对于边长比例选项，设每份边长为未知数，验证两短边的平方和是否等于长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、设，由内角和得，解得，此选项能判断是直角三角形，不符合题意； B、设，因，符合勾股定理逆定理，此选项能判断是直角三角形，不符合题意； C、设，由内角和得，解得，最大角不是，此选项不能判断是直角三角形，符合题意； D、设，因，符合勾股定理逆定理，此选项能判断是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．3，3，3 B．，， C．2，3，4 D．8，16，17 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断三边能否组成直角三角形时，要看较小两边的平方和是否等于较大边的平方，满足则是直角三角形，不满足则不是．根据勾股定理的逆定理进行判断即可得． 【详解】解：A、三边相等，构成等边三角形，故不符合题意； B、，能组成直角三角形，故符合题意； C、，不能组成直角三角形，故不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 【题型3在网格中判断直角三角形】 1．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 【答案】 8 32 40 直角 【分析】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 2．在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据网格中的边长，利用勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，最后根据三角形的面积公式建立等式求解的长． 【详解】解： ，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 得：， ． 故答案为：． 3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /90度 2 【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理逆定理的应用． （1）先利用勾股定理求出，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案． （2）利用等面积法求解即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得： ，，， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， 故答案为： （2）∵， ∴， ∴ 故答案为：2 4．如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴； 17．如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：． （2）解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 5．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为 ，的形状为 ； (3)若为B的中点，则的长为 ． 【答案】(1)见解析图； (2)，直角三角形； (3)． 【分析】（）根据画图要求，结合网格进行画图即可； （）根据勾股定理来求、的长度，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形； （）由（）推知四边形是平行四边形，则是直角三角形，所以根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来求的长度． 此题主要考查了作图，平行四边形的判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，关键是正确画出图形，熟练掌握平行四边形的判定方法． 【详解】（1）如图， ∴即为所求； （2）由网格可得，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：，直角三角形； （3）连接， ∵且使， ∴四边形是平行四边形，又由（）知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 6．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D都在格点上（小正方形的顶点）． (1)求四边形的周长； (2)求证：．   【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出四边形ABCD的各边长，可得周长； （2）连接BD并求出BD的长，根据已知边长得出，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，进而可得出∠BCD=90°． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴四边形的周长为； （2）证明：连接． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，即． ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的知识，理解并掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． 7．如图，正方形网格中，小方格动长为1，点A，B，C都在格点上，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)精准判断△ABC是什么特殊三角形，是 ； (2)直接写出△ABC的面积 ； (3)在正方形网格中标出一个格点H，其使得△HBC与△ABC的面积相等 【答案】(1)直角三角形 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理分别计算，，即可判定△ABC是什么特殊三角形； （2）直接利用三角形的面积公式求解； （3）过点作边的平行线，在平行线上取点，连接，，则△HBC与△ABC的面积相等， 【详解】（1）解：由勾股定理得， ，，， ∵， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形 （2）∵△ABC是直角三角形，，， ∴， 故答案为： （3）过点作边的平行线，在平行线上取点，连接，，则△HBC与△ABC的面积相等，如图所示， 【点睛】本题是一道网格中的三角形的有关知识，考查了勾股定理的应用，三角形的面积求解以及作图，根据网格利用勾股定理判断出三角形的形状是解题的关键． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上． (1)直接写出四边形的面积与、的长度； (2)是直角吗？理由是：___________________； (3)在网格中找到一个格点E，并画出四边形，使得其面积与四边形的面积相等． 【答案】(1)14，BC=，BD=4 (2)∠BCD不是直角，理由见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用分割法求四边形面积，利用勾股定理求出BC，BD的长； （2）利用广告代理点逆定理判断即可； （3）利用平行线的性质，等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解由题意： S四边形ABCD=5×5-×1×5-×2×5-×1×2-×1×3-1=14． BC=，，BD=． （2）解：∠BCD不是直角． 理由：∵CD=，BC=，BD=4， ∴BC2+CD2=34，BD2=32， ∴BC2+CD2≠BD2， ∴∠BCD不是直角． （3）解：连结EC， ∵EC是边长为2的正方形对角线，AD是同方向边长为4的正方形对角线， ∴EC∥AD， ∴S△BED=S△BCD，（同底等高） ， ∴S四边形ABED=S△BED+S△ABD=S△BCD+S△ABD=S四边形ABCD， 如图点E即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理以及逆定理，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型4利用勾股定理的逆定理求解】 1．如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而可得，用勾股定理解三角形，可得的长度，与相加，即可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的长为． 2．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）先求得，再由勾股定理求出的长． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 在中， 是直角三角形； （2）在四边形中， 由（1）得， ∴在中， 3．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】(1)，见解析 (2)路线更短 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 4．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 5．如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．    【答案】36 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理可得，证明，则由勾股定理的逆定理可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)144 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接． ，，， ． （2）解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 7．如图，，垂足为D．如果，，．    (1)求、的长度； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（2）知，， 因为，， ∴， ∴是直角三角形， 即． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 8．如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）12；（2）84． 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可得； （2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和即可得． 【详解】（1）， 是直角三角形， ， ； （2）， ， 是直角三角形， 则四边形ABCD的面积为， ， ， 即四边形ABCD的面积为84． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 1．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 2．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 3．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $