第1章 勾股定理基础过关测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第1章 勾股定理基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键． 【详解】解：，，， ； 故选：C． 2．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三角形是否为直角三角形），解题的关键是对于每组边长，找出最长边，验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，若满足则为直角三角形． 先确定每组选项中的最长边（直角三角形中最长边为斜边）；再分别计算最长边的平方，以及另外两边的平方和；比较两者是否相等，相等则该组边长能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、选项中三边长为1，2，2，最长边为2计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、选项中三边长为2，3，4，最长边为4计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、选项中三边长为3，4，5，最长边为5计算：， ∵， ∴能组成直角三角形，此选项符合题意； D、选项中三边长为4，5，6，最长边为6计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键． 根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足（为最大数）． 【详解】解：A：，，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； B：三个数必须为正整数，不符合要求，故该选项不合题意； C：，，均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； D：，，满足勾股数的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 4．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键； 将化为，根据勾股定理逆定理即可判定． 【详解】由可得，， 是直角三角形，且是直角． 故选：C． 5．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可推出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可知，，，，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选：C． 6．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 7．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 8．如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四张这样的直角三角形纸片，把它们按如图②所示的方式放入一个边长为3的正方形中（纸片不重叠，无缝隙），则图②中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可知直角三角形纸片的斜边长为3，根据勾股定理可求出另一条直角边长，进而由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可知直角三角形纸片的斜边长为3， ∵一条直角边长为2， ∴另一条直角边长为， ∴该直角三角形的面积为， ∴图②中阴影部分的面积为． 故选A． 9．在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 10．已知a，b，c是的三边长，且满足，则是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质列方程，求出a、b、c的值，然后利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：由题意得，a−12=0，b−13=0，c−5=0， 解得a=12，b=13，c=5， ∵， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．关键是由非负数的性质，求出三角形三边之长． 11．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【答案】D 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形三边分别为，根据勾股定理得，再根据圆的面积公式可表示出，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，设直角三角形三边分别为， 根据勾股定理得：， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边， 斜边长； 当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边， 这条直角边的长； 故答案为：或 ． 14．新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．过点作，则米，在中，根据勾股定理即可得． 【详解】解：过点作， 由题意知，米，米，米， ∴（米）， 在中，根据勾股定理得，米， 故答案为：． 15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理得，，，即可求解． 【详解】解：如图， 所有的三角形都是直角三角形， ， ， ， （负值已舍去）， 最大正方形E的边长是， 故答案为：． 16．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，，将它往前推至C处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 【答案】(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 18．（8分）在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 19．（8分）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 【答案】（1）；；（2）见解析． 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，求得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∵在中， ∴ （2）证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键． 20．（8分）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求出空地的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1) (2)9600元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键； （1）连接，利用勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断出，由求解即可； （2）由总面积每平米的费用求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在中， ， ， ， ， ， 答：空地的面积为24． （2）解：总共需投入（元）， 答：总共需投入9600元． 21．（8分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处． (1)求旗杆距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？ 【答案】(1)旗杆距地面3米处折断 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解米，因为米，把数值代入，进行计算，即可作答． （2）先得出点距地面（米），把数值代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断， ∴米， ， ， 又米， ， 米， ∴米， ∴旗杆距地面3米处折断； （2）解：如图，点距地面（米）， （米）， （米） 22．（10分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 23．（10分）【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【知识运用】 (1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)点，是线段的勾股分割点．理由见解析 (2)的长为12或13 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设，分为斜边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 以线段，，为边的三角形是一个直角三角形， 点，是线段的勾股分割点． （2）设，则． 点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ①当为斜边时，则，即 ， 解得； ②当为斜边时，则，即 ， 解得． 综上所述，的长为12或13． 24．（12分）的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________； (2)设，，，试判断的形状并说明理由； (3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）分为直角边和斜边两种情况，由勾股定理求的值； （2）先求出及的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，根据，求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：①当，为直角边时： ， ； ②当为斜边时： ， ， 综上所述，或， 故答案为：或； （2）是直角三角形 理由： 是直角三角形 （3）设以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为，以为直径的半圆面积为， 是以为斜边的直角三角形， ， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 勾股定理基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 3．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，， 4．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 5．钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 8．如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四张这样的直角三角形纸片，把它们按如图②所示的方式放入一个边长为3的正方形中（纸片不重叠，无缝隙），则图②中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 9．在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 10．已知a，b，c是的三边长，且满足，则是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形 11．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 12．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 14．新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为 米． 15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是 ． 16．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，，将它往前推至C处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 18．（8分）在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 19．（8分）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 20．（8分）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求出空地的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 21．（8分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处． (1)求旗杆距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？ 22．（10分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 23．（10分）【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【知识运用】 (1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 24．（12分）的三边长分别是，，． (1)若为直角三角形，且，，则________； (2)设，，，试判断的形状并说明理由； (3)如图，若，，，分别以，为直径向外作半圆，以为直径向上作半圆，直接写出图中阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $