湖北省武汉市部分学校2025-2026学年高三上学期九月调研考试数学试卷

武汉市2026届高三年级九月调研考试 数学试卷参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A={xlx2-x-20},B={x|x2<3x},则A∩B= A.(-1,0) B.(-1,3) C.(2,3) D.(0,2) 【答案】答策C 2.若复数2满足22+0=3+i则2=2= 2 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【答案】A 3.若双曲线ma2+y2=1的一条渐近线方程为y=2红，则m= 机 A-司 B.-2 C. D.-4 【答案】D 【解析】mr2+=0,=-mr,=-mr=4,-=4.卫=-4，选D. 4.正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点.A,B,C,D作第二个正方形AB,CD,然后再 取正方形.AB,CD各边中点A2,B,C,D2作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正 方形的面积和为 A.2- 20 B2-0 C.2-1 20 D21-】 【答案】答案D 【解析】第一个正方形边长为1，面积为1：第二个正方形边长为 ,面积为上第n个正方形边长 为（受门，面权为（号= 1-(2H 1-号 =21-(号片，选D 5.若函数f口)=+a是奇函数，则实教a= 27ta子 A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答聚】B 【解折】f口)=+口为奇函数，则f0)=0,a=-1,选B. 6.将4个不同的小球放入4个不同的金子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为 A.72 B.84 C.96 D.108 【答業】B 【解析】四个盒子记为1,2,3,4号，四个球记为甲，乙，丙，丁第一步：选两个金子有球C:第 二步：不坊设1,2号两个盒子有球，1号盒子1个球C:花1号盒子2个球C:说1号盒子3个 球C你，此时共C+C份+C个结果，“共有C(C+C+C)=84个结果，选B. 7.已知△ABC内角A,B,C满足：sinA=-6 cosBcosC,cosA=3 sin BsinC,则tanA A.2 B.4 C.8 D.9 【答案】B 【解析】ccosA=-cos(B+C)=sin BsinC-cosBcosC=3 sin BsinC -o=2 DinBinC,÷gsnA=号 号c0sA,∴anA=号，anA=4选B + 8.设椭圆B: =1(ab>0)的左右焦点分别为F,E,椭圆E上点P满足PE⊥PE直线PF 直线P呢分别和椭圈E文于并于点P的点A和点B,若8=子，则椭圆E的离心率为 A B. C.10 D.17 3 4 5 【答案】答案D 【解析】令∠PFE=a,则AF= b2 b2 a+ccosa ,∠PFx=T+a,BE= 2 a+csina a+oeos0a+a0=号 b2 b2 2ccos0-3csinb=a 又.PF+P=2a,即2 ccosa+2 csina= 2m F 3m 2ana=是os0=0e=。选D 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 9.已知函数f(x)=sin(or+)(w0,I|<π)的部分图象如图所示，则 12 品 A.f(x)的最小正周期为π B=骨 Cf回)的图象关于点（誓0）中心时称 D.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则g(x) 是区间[x乐]上的增函教 【答案】答案ACD …2 【解折】子=晋-是=受T==各0=2A对 f回=如2z+是)=sm(gx+)=-l名x+=多=号B错 f@=im2红+号小-号)=n(-骨+号)=0回关于（号0）对称，C时 9)=sme+号小-受+2版≤x+号x≤号+2-名x+2版≤红<-吾+2 甲回的单调端区同-名+2一看+2ke2k=1时@在[停x号]单调适地， [子c[语君g回在[子]单调造增，D对选ACD 10.已知正实数a,b满足(a+b≥2，则 A.ab≥1 B.a2+b2≥2 C0+6≥2D2+2≥4 【答案】BD 【解折】a=10b=品0时，a+b≥2但ab<1.A错 a+b≥2，.b≥2-a,a2+b2≥a2+(2-a}=2a2-4a+4=2(a-1}+2≥2B对. 对于C.取a=6=2则a+b=4≥2而}+片=1<2.C错。 20+2≥2W2.2=22+6≥4，D对，选BD. 1.设A,B是一个随机试验中的两个事件，P(AB)+P(BA)=1,P(AUB)=子，则 A.事件A,B相互独立 B若PAD)=日则1P(A)-PBI= 8 C.P(AB)≤P(AB D.若P(AB)=P(A1B),则必有P(A)=P(B) 【答案】BCD 【解析】P(AB)+P(BA)=1,. P(AB)P(AB)=1. P(B)P(A) .P(AB)=1 1 1 间+PA P((()(()-P(AB)- P(A)+P(B) 若PAB)=令对PA+PB)=专P(APO)=司 PA)-PBY=(PN+PBP-4PAPO=器P(A-P间=，B动 8 AB立P(AB)=P)P(B)P)+PB)=1P(AB)=日 而PAB)不一定等于}，A错. 3 对于C,PAB=PA+PBA:P8aPA+PBP-PA+PB) =PAPB)≤PA)+P(B 4 ,P(+PD)≤1，P(AB)≤ P丽=1-PAUB)=1-是=子PA≤P(丽.C对 对于D,法一：P(AB=P(AB), 、P(ABP(AB) P(® P(B) :P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB) 1-P(B) P(B) .P(A)P(B)-P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)-P(B)+P(B)P(AB) .P(A)P(B)-2P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)-P(B) P(A)- P(A)PB)=1- P(A) -P(B) P(A)+P(B) P(A)+P(B) PAPB②， Pr(A=PB)-P(D,而是=P+PB)PA+PO 由①2知，PA)=P回)=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.平面向量a,b满足1al=1,1b1=2,|2a-b1=2,则1a+b1=。 【解析】12a-612=4-4d6+=4,.6=1,(a+=+2à6+萨=7. 13.已知等差数列{a}的公差(d≠0，若a,,a构成等比数列，则2=一 a 【解折】a,a,a成等比数列，ag=a,a(a+4d=(a十d)a,十8da=8d=4+d= 01 器-骨 。 14.在四棱维P-ABCD中，AB=√3，BC=3,AD=2,∠ABC=90°，∠BAD=150°，且PA平面 ABCD,过点A的平面a与侧棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G,若四边形AEFG为菱形， 则PA=。 【答案】2W5 5 【解析】过B作AP的平行线为z轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令PA=t,则B0,0,0),A(0,√3,0，P(0,3,t,C(3,0,0),D1,23,0),E,F,G分别在PB,PC,PD 上，令BE=B,C示=uC乎，DG=mDP:E(0,3λ，t切)，F(3-34,34,tn）,G1-m,23-3m,mt) AE=(0,V3-3,t切，G=(2-3+m,√34-23+V3m,tu-m)AE=G, 0=2-3μ+m 3-8=v8-28+ma=音m=号4=月 入=μ-m 店=0-2含际=（传兽-扇 ÷含+ge=1+号t=2西即PA=2画 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能 力.某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师 (年龄在35岁及以上的教师)，200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知 识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 (1)根据小概率值(a=0.01的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进 行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X,求X的分布列和数学期望， 附：X2= n(ad-bc)2 ,其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】 (1)x2= 500×(200×50-150×100)2 ≈3.968<6.635 350×150×300×200 ∴，根据小概率值(a=0.01的独立性检验，不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关 (2)抽取经验丰富的有6名，经验不丰富的有4名，X的所有可能取值为0,1,2,3,4 PX=0=g=PX=)=2C=员PX==C=号 C 7 ·5 PX3)=分：P(X=5C20 1 Ci 35 X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 8 1 14 37 3 210 BX)=+号+号+品- 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，P为线段BC的中点，侧棱.AA1上，点E,F满足E =子AA (1)证明：PE平面BCF: (2)若AB=AC=AA,=1,AA1⊥2ABC,AB°AC,AF=名，求直线BC与平而B,CF所成角的正弦 3 值. 【解析】 (1)证明：取BB中点Q,连接EQ,PQ,:BQIEF,∴四边形BFEQ为平行四边形∴QEBF,又 P为BC中点，∴.PQB,C ,QE∩PQ=Q,BF∩BC=B,.平面PQE平面BCF .PE甽平面BCF. (2)如图建系，∴B(1,0,0),C(0,1,0),B(1,0,1),F(0,0,2) Bc=(-11.0,C丽=4，-1,1).C示=(0，-1，号） E-y十2=0 设平面BCF的-个法向量=红)“{仁y十号2=0i=(1,23到 设直线BC与平面.BCF所成角为0 BC. ∴.sin0= BCR 品= COSBAB=5,AC=8. 17.(15分)在.△ABC中，tanA+tanB=2sinC (1)求角A的大小： (2)求cosB: (③)若钱段AB上点D满足∠BCD=吾，求CD的长. 【解析】 ()i血A+站= sin(A+B) sinC =2sinc cosA cosB cosAcosB cosAcosB cosB 2A= .cosA= 3 ②在.△ABC中，由余弦定理a=61+25-2x8x5×=7,csB=954=号 2×7×5 (在△BCD中，sin/CDB=-n(B+若)=x+号×号-是由孩定理品 7 sin.B sin∠CDB,CD=56v3 13 18.(17分)设抛物线B:y=2pz(p0)的焦点为F,过点P(3,0)的动直线1交抛物线E于A,B两点， 点T(2,2),当直线AT垂直于x轴时，|AF1=3. (1)求抛物线E的标准方程： (②)若直线l过点T,求.△FAB的面积： (3)若直线FT平分∠AFB,求直线l的斜率 【解新】()由题意知，AT⊥x轴时，x=2,AF1=2+号=3→p=2 2 “抛物线E的标准方程为=4红 (2)k=km=-2,·直线1的方程为x=- 2+3Aa,B(h),F1,0) ∫y2=4x x=-2y+3 y2+2y-12=0,△=4+48=52 1-欢=V52=2B,∴San=号21-%1=2WB 2 (3)设直线l方程为x=m则十3，A(c,h),B(x,) x=my+3 →y2-4my-12=0, y2=4x :直线FT平分∠AFB,图中∠1=∠2，r=2, -1-mh+2 片。-22-h。 tan∠I=tan∠2→my+2 1+2y -=y+2 y+2 1+2 m%2+2 →1-2m2-4-(2m-1)h+4 →2(2m-1)(m+2)y+(8m+6)(+2)+16=0 (m+2)y+2(m+2)+2 8 ….(4m-2)(m+2)·(-12)+(8m+6)·4m+16=0→m2+3m-4=0 ∴.(m+4)(m-1)=0→m=-4或1 经检验m=-4时为外角平分线，舍去，=一} 19.(17分)已知函数f(x)=(x2-kc+1)lnx在区间(0,1)和(1，+o)各恰有一个零点，分别记为. 团1和2 (①)求实数k的取值范围： ②记南线？=@在点包，0》处的切钱与两坐标仙圆成的三角彩面积为8。求。的装大值： (3)若函数g(x)=f(x)-a有三个零点t,t,t2,其中<t<t,证明：t-≤2一x 【解析】(1)令f(x)=(x2-kx+1)nx=0→x2-kx+1=0在(0,1)和(1，+o)上各有一个实根令 (x)=x2-kx+1,只需(1)<0→2-k<0→k>2 (2)由题意知.，xc2是x2-k红+1=0的两个不等的实根，且(0<<1<2 f)=(2红-knx+-+1,f)=(2-km 切线方程为：y=(2x-)1nx·(x-x),令x=0→y=(k-2x)zlnz 令y=03x=∴5=-2k-2红)zn,而k=五+ 马a=一号2 C2一1 令h(国)=-号rnx,xe0,).na)=-号2alnc+)=-号z(2nx+ h()在（0，e)）上单调递增：(e,1）上单调递减 Ae=he)=含。2)=0年（入= (③r回=r-为x+1J"a=2r+3-会-子：k>2 ∴f"(x)在(0，+∞)上单调递增，注意到f"(1)=2-k<0,f"()>0 ∴.存在唯一的x∈(L,)使f”"(z)=0且f(z)在(0，)上单调递减：（红+o)上单调递增 ∴f'(x)至多两个零，点，且.x>0,x→0时，f'(x)→+0，f'(1)=2-k<0, x→+∞时，f'(x)→+0，∴f(x)在(0,1)和(1，+∞)上各有一个零点， 且f(z)在(0，)上单调递增，(x1,x)上单调递减：（红2，+oo)上单调递增，f1)=0, 作出f(x)的大致图象如下，x>0且x→0时，f(x)→-0 由(2)知f(x)在(（红，0）处的切线为l4:y=(2x1-nx1(x-), 9 (红2,0)处的切线为l2:y=(2a2一k)ln(x-T2) 设y=a与y=al,l分别交于(，a),(z,a,结合图象 -t≤-xs=+ 运用十，=k女-t≤-+(，-tln(-mn a =x2-2025~2026学年度 武汉市部分学校高三年级九月调研考试 数学试卷 武汉市教育科学研究院命制 2025.9.10 本试题卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区战均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={xlx2-x-2>0},B={xlx2<3x,则AnB= A.（-1,0) B.(-1,3) C.(2,3) D.(0,2) 2.若复数z满足2z+=3+i,则z A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.若双曲线mx2+y=1的-条渐近线方程为y=2x,则严= A分 B.-2 c日 D.-4 4.正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点A,B,C,D,作第二个正方形 A1B,C,D1,然后再取正方形A,B,C,D,各边中点A2,B2,C2,D2作第三个正方形，依此方 法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为 A2品 动 c2品 高三九月数学试卷第1页（共4页） 5.若函数代)=4+：是奇函数，则实数a= 2*+cost A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为 A.72 B.84 C.96 D.108 7.已知△ABC内角A,B,C满足sinA=-6 cosBcosC,co3A=3 sinBsinC,则tanM= A.2 B.4 C.8 D.9 &设椭圆E5+1(@b>0)的左右焦点分别为R,P,椭圆B上点P满足PR,PR IFAI 2 直线PR,和直线PR,分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B,若P,B子，则椭圆 E的离心率为 人号 8 ,3 C.v10 4 D.⑦ 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.已知函数f(x)=sin(wx+p)(w>0,lpl<r)的部分图象如图所示，则 Af(x)的最小正周期为π B9=号 c)的图象关于点（行，0中心对称 12 D.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到西数g(国)的图象，则g()是区间[，7]上的增函数 10.已知正实数a,b满足a+b≥2，则 A.ab≥1 B.a2+b2≥2 D.24+25≥4 L设A,B是一个随机试验中的两个事件，P(A1B)+P(BA)=1,P(AUB)=子，则 A.事件A,B相互独立 B若P()=日，则1P(A)-P(B)I= 8 C.P(AB)≤P(AB) D.若P(AIB)=P(AIB),则必有P(A)=P(B) 高三九月数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.平面向量a,b满足1al=1,1b1=2,12a-b1=2,则1a+b1= 13.已知等差数列(a,}的公差d≠0，若42,4,4，构成等比数列，则兰- a 14.在四棱锥P-ABCD中，AB=√3，BC=3,AD=2,∠ABC=90°，∠BAD=150°，且PA⊥平面 ABCD,过点A的平面a与侧棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G,若四边形AEFC为菱 形，则PA= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关 键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括 300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在 35岁以下的教师)，会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计 并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 (1)根据小概率值x=0.01的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否 有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中 随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X,求X的分 布列和数学期望， n (ad-bc)2 附：X=a+b)(c+d)(a+o)b+西 ,其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.001 。 2.7063.841 6.63510.828 高三九月数学试卷第3页（共4页） 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，P为线段BC的中点， 侧酸M上点区，F满足矿：宁不 (1)证明：PE∥平面B,CF; (2)若AB=AC=AM,=1,AA,⊥平面ABC,AB⊥AC, AP:子求直线B8C与平面B,Cr所成角的正弦值 17.(15分) 在AMBc中，-=S,AB=5,AC=8 (1)求角A的大小； (2)求cosB; (3)若线段MB上点D清足∠BCD=石，求cD的长 18.(17分) 设抛物线Ey2=2px(p>0)的焦点为F,过点P(3,0)的动直线l交抛物线E于A,B两 点，点T(2,2),当直线AT垂直于x轴时，1AF1=3. (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线l过点T,求△FAB的面积； (3)若直线FT平分∠AFB,求直线l的斜率 19.(17分) 已知函数f(x)=(x2-x+1)nx在区间(0,1)和(1，+∞)各恰有-个零点，分别记为 和红 (1)求实数k的取值范围； (2)记曲线y=f(x)在点(x1,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S, 求S的最大值； 名2-名1 (3)若函数g(x)=f八x)-a有三个零点41,0，h2,其中41<<2，证明：山-41≤2名 高三九月数学试卷第4页（共4页）