1．2子集、全集、补集学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

1．2　子集、全集、补集

1. 理解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．

2. 了解全集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．

3. 能使用Venn图表达集合的包含关系与“补”运算，体会图形对理解抽象概念的作用．

活动一  集合的基本关系

实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？

思考1►►►

观察下面几个例子，你能发现集合A与B之间具有怎样的关系？

(1) A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；

(2) A＝N，B＝R；

(3) A＝{x|x为直角三角形}，B＝{x|x为三角形}．

 

 

 

思考2►►►

如何用数学语言来表述思考1中两个集合的关系？

 

 

 

思考3►►►

思考1中的集合A，B的“包含”关系能不能用Venn图直观形象地表示出来？

 

 

思考4►►►

以下式子成立吗？

(1) A⊆A；(2) ∅⊆A；(3) ∅⊆∅.

 

 

任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集．

例1　判断下列各组集合中，A是否为B的子集．

(1) A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；

 

 

 

(2) A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}．

 

 

 

 

若{1，a}⊆{1，2，3}，则a＝________．

在子集的定义中，不能把集合A是集合B的子集理解为A是B中部分元素所组成的集合．因为集合B的子集也包括它本身，而这个子集是由集合B的全体元素组成的，另外，空集也是集合B的子集，而这个集合中并不含有集合B中的元素．

思考5►►►

A⊆B与B⊆A能否同时成立？你能举出一个例子吗？

 

 

 

 

集合与集合之间的“相等”关系：若A⊆B，且B⊆A，则AB.

思考6►►►

对于实数a，b，a≤b含有a<b或a＝b两层含义，类比a≤b，集合AB是怎样的含义？

 

 

 

 

思考7►►►

由A⊆B，B⊆C，能否推出A⊆C？为什么？

 

 

 

例2　写出集合{a，b}的所有子集．

 

 

 

 

集合{a，b}的所有子集中我们把除它自身外的所有子集称为集合{a，b}的真子集．一般有：如果A⊆B，且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”，如{a}{a，b}，{a，b}{b}等．

写出集合{a，b，c}所有的子集、真子集．

 

 

 

 

思考8►►►

若集合A中有n个元素，则集合A的子集有多少个？真子集又有多少个？

 

 

 

 

任何一个集合的子集中都含有∅，同时∅也是任何非空集合的真子集．一个非空集合的真子集的个数比它的子集个数少1.

例3　下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？

(1) S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}；

(2) S＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x>0}；

(3) S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数}．

 

 

 

 

 

观察下列几组集合，集合A与集合B具有什么关系？