第二十六章二次函数（单元测试·基础卷）数学沪教版五四制九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线在对称轴右侧是下降的，且顶点在x轴正半轴上．现有如下结论：①；②；③，其中正确的有（   ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 6．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 8．抛物线的对称轴是 ． 9．二次函数图像不经过第二象限，且顶点在x轴正半轴，则二次函数解析式可以是 ．（只需写出一个） 10．抛物线与轴的交点是 ． 11．如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 12．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 13．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 14．已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 15．如果当时，二次函数的图像一定不经过第 象限． 16．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 17．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 18．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 20．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 21．已知抛物线． （1）请用配方法求出顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值． 22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 23．某超市购入一批进价为20元/盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x（元） … 22 24 26 28 30 … 日销售量y（盒） … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？ 24．已知函数，． (1)若，和的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式： (2)若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由． 25．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，在第二象限， 故选：B． 2．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】解：函数的对称轴为， 根据可知，、两点位于对称轴的两侧， 又， ，即距离对称轴较远， ∵抛物线开口方向向上，可见，． 故选：A． 3．下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、由反比例函数中，，则函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意； B、由一次函数中，，则函数值y随x的增大而减小，符合题意； C、∵在二次函数中，， ∴抛物线开口向上，顶点在原点， ∴当时，y随x的增大而增大，不符合题意； D、在中，，则y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：B． 4．已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． 5．已知抛物线在对称轴右侧是下降的，且顶点在x轴正半轴上．现有如下结论：①；②；③，其中正确的有（   ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【解析】解：∵抛物线在对称轴右侧是下降的， ∴，即①正确； ∵抛物线顶点在x轴正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∴，即②不正确； 又∵抛物线顶点在x轴正半轴上， ∴抛物线和x轴只有一个交点， ∴，即③正确； 故选：C． 6．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 2、 填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【解析】解：∵原抛物线为，沿轴向右平移个单位长度， ∴根据“左加右减”原则，把变为， ∴得到新抛物线表达式为， 即． 故答案为：． 8．抛物线的对称轴是 ． 【答案】轴 【解析】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 9．二次函数图像不经过第二象限，且顶点在x轴正半轴，则二次函数解析式可以是 ．（只需写出一个） 【答案】 【解析】解：由题意，二次函数的解析式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 10．抛物线与轴的交点是 ． 【答案】 【解析】解：令，则， 抛物线与轴的交点是． 故答案为：． 11．如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 【答案】 【解析】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得：， 解得：或， ∵二次函数中二次项系数不为，得， ∴， ∴． 故答案为：． 12．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【解析】解：由题意知，平移后的抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 14．已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【解析】解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的开口方向向上， 故答案为：向上 ． 15．如果当时，二次函数的图像一定不经过第 象限． 【答案】四 【解析】解：将二次函数化为顶点式， 整理得：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 当时，，即函数图象过点， 又∵对称轴为，开口向上，且过点，顶点纵坐标， 当时，，顶点在轴下方，但函数过且开口向上， 此时顶点在第三象限，在对称轴右侧随的增大而增大且过，函数图象不经过第四象限； 当时，，顶点在轴上或x轴上方， 综合，无论的取值如何 ，函数图象一定不经过第四象限． 故答案为：四． 16．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 【答案】 【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线为，即 ， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，． 故答案为：． 17．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴这个二次函数的顶点坐标为， 则关于原点对称的点为 ∴二次函数的梦函数解析式为， 故答案为： 18．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【答案】 【解析】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为 ， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 20．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点 【解析】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为 21．已知抛物线． （1）请用配方法求出顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值． 【答案】（1）（1，﹣8）；（2）． 【解析】解：（1） ， 故该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣8）； （2）当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）， 故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点， 即． 故答案为（1）（1，﹣8）；（2）. 22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)点M的横坐标为． 【解析】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 23．某超市购入一批进价为20元/盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x（元） … 22 24 26 28 30 … 日销售量y（盒） … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？ 【答案】(1)； (2)销售单价定为30元或40元． 【解析】（1）解：设与的函数表达式为：， 将代入得： ． 解得： ∴； （2）解：设日销售利润为元． 可得 ， ∵销售该绿色食品的日利润为400元， ∴ 整理得 解得：，， 答：销售单价定为30元或40元． 24．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【解析】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为， ． 石块运行的函数解析式为． 把代入解析式，得， 解得：． ． （2）解：石块能飞越防御墙． 理由如下： 点与点的水平距离为，墙宽， 点的横坐标为． 把代入， 得 点与点的垂直距离为与轴平行， 点与点的垂直距离也为． ， 该石块能飞越防御墙． 25．已知函数，． (1)若，和的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式： (2)若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由． 【答案】(1) (2)该值与无关，理由见解析 【解析】（1）解：∵和的图像恰有一个交点， ∴与只有一个交点， ∵， ∴， ∴， 化简得， ； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，， ∴， 对于函数， 当时，或， 结合开口向上， 可得时， 得或， 对于，可知，， ， ∴ ， 所以该值与无关． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B C C B 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7． 8．轴 9． 10． 11． 12． 13． 14．向上 15．四 16． 17． 18． 三、解答题（共9小题，共78分） 19（10分）． 【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．（1分） 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 （10分） 20．（10分） 【解析】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为：（5分） （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为（10分） 21．（10分） 【解析】解：（1） ， 故该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣8）；（5分） （2）当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）， 故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点， 即． 故答案为（1）（1，﹣8）；（2）.（10分） 22．（10分） 【解析】（1）解：将点代入，得， 解得；（4分） （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴，（8分） 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为．（10分） 23．（12分） 【解析】（1）解：设与的函数表达式为：， 将代入得： ． 解得： ∴；（6分） （2）解：设日销售利润为元． 可得 ， ∵销售该绿色食品的日利润为400元， ∴ 整理得 解得：，， 答：销售单价定为30元或40元．（12分） 24．（12分） 【解析】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为， ． 石块运行的函数解析式为． 把代入解析式，得， 解得：． ．（6分） （2）解：石块能飞越防御墙． 理由如下： 点与点的水平距离为，墙宽， 点的横坐标为． 把代入， 得 点与点的垂直距离为与轴平行， 点与点的垂直距离也为． ， 该石块能飞越防御墙．（12分） 25．（14分） 【解析】（1）解：∵和的图像恰有一个交点， ∴与只有一个交点，（2分） ∵， ∴， ∴， 化简得， ；（6分） （2）解：∵，，， ∴，（8分） ∵， ∴，（10分） ∵与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，， ∴， 对于函数， 当时，或， 结合开口向上， 可得时， 得或，（12分） 对于，可知，， ， ∴ ， 所以该值与无关．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线在对称轴右侧是下降的，且顶点在x轴正半轴上．现有如下结论：①；②；③，其中正确的有（   ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 6．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 8．抛物线的对称轴是 ． 9．二次函数图像不经过第二象限，且顶点在x轴正半轴，则二次函数解析式可以是 ．（只需写出一个） 10．抛物线与轴的交点是 ． 11．如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 12．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 13．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 14．已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 15．如果当时，二次函数的图像一定不经过第 象限． 16．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 17．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 18．如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为 ，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 20．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 21．已知抛物线． （1）请用配方法求出顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值． 22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 23．某超市购入一批进价为20元/盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日 销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x（元） … 22 24 26 28 30 … 日销售量y（盒） … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？ 24．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 25．已知函数，． (1)若，和的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式： (2)若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $