考点09 函数的周期性和对称性2类常见考点全归纳讲义-备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点09 函数的周期性和对称性2类常见考点全归纳 1.了解函数的周期性及其几何意义. 2.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 3.会依据函数的性质进行简单的应用. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的周期性 考向1 由函数周期性求值 考向2由函数周期性求解析式 考点二 函数的对称性 考向1 自对称中的轴对称 考向2 自对称中的中心对称 考向3互对称问题 考向4 双重对称问题 考向5 函数对称性的证明 考向6函数对称性的应用 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.一个函数的自对称 （1）轴对称:函数是偶函数或 函数的图象关于直线对称.特别地，当时，，则函数的图象关于轴对称，函数为偶函数.推广：若函数满足，则函数的图象关于直线对称. （2）中心对称:函数是奇函数或 函数的图象关于点对称.特别地，当时，，则函数的图象关于原点对称，函数为奇函数.推广：若函数满足,则函数的图象关于点对称. 2.两个函数的互对称 （1）函数与的图象关于轴对称. （2）函数与的图象关于轴对称. （3）函数与的图象关于原点成中心对称. 3.双重对称 （1）若函数的图象在定义域内有两条对称轴,，则函数是周期函数，且周期（不一定是最小正周期，下同）. （2）若函数的图象在定义域内有两个对称中心，，则函数是周期函数，且周期. （3）若函数的图象在定义域内有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且周期. 4.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. (3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 5.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|； (2)若f(x＋a)＝则T＝2|a|； (3)若f(x＋a)＝－则T＝2|a|. 6.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|. 考点一 函数的周期性 考向1 由函数周期性求值 【典例1】已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值. 【详解】由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以． 故选：A 【典例2】已知函数满足，且当时，，则_______________． 【答案】1 【详解】因，则，得周期为，则， 又时，，则. 故答案为：1. 解题策略： (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. (3) 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 关于直线x＝a与x＝b对称或 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称或 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称或 2|b－a| 奇函数，关于对称或 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称或 4a 偶函数，关于对称或 4a 4a f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x+1)=f(x)-f(x-1) 6 【巩固训练】 1．（江苏省南通市2026届高三上学期九月份调研测试数学试卷）定义在R上的函数是周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性和周期性求值. 【详解】函数是周期为的偶函数，当时，， 则. 故选：B. 2．（25-26高三上·上海·开学考试）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 . 【答案】/0.75 【分析】根据奇函数的定义及可推出函数的周期，利用周期即可得解. 【详解】根据题意，因为为奇函数且满足. 所以，即， 所以， 所以是周期为4的周期函数， ， 因为， 所以， 故答案为： 3．（22-23高一上·北京·阶段练习）设是奇函数且满足，当时，，则（    ） A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值. 【详解】由，得，函数的周期是2， 又函数是奇函数，且当时，， 所以. 故选：B 考向2由函数周期性求解析式 【典例1】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______. 【答案】 【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数 所以，， 故答案为： 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，，根据已知关系式得，再代入已知解析式即可得； （2）根据已知关系式得函数的周期为4，由时，利用周期性得，再由即可得. 【详解】（1）由于，则，即， 当时，，则； （2）由，得，则，即函数周期， 当时，， 则， 因为，所以； 2．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数满足，且当时，，若关于的方程在区间上有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期性得到函数解析式，进而作出图象，将方程有根的问题转化为函数有交点的问题求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 得到的周期为，当时，， 此时解析式为， 而，由二次函数性质得对称轴为，且， 当时，， 此时解析式为， 而，同理可得， 由题意得当时，， 同理可得，， 若在区间上有个不同的实数根， 则和在区间上有个不同的交点， 如图，我们作出的图象， 由图象可得，故A正确. 故选：A 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足． (1)求证：是周期函数 (2)若，求的值． (3)若时，，试求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意条件推出，得到函数的周期； （2）由（1）中的函数周期得到； （3）根据函数的周期和时的函数解析式，求出时的函数解析式，再由函数周期及，求出时的函数解析式，得到答案. 【详解】（1）证明：由题意知，则．用代替x得，故是周期为4的周期函数． （2）若，则． （3）当时，，则，又周期为4， 所以． 当时，，则， 根据周期为4，则． 又，所以． 所以解析式为. 考点二 函数的对称性 考向1 自对称中的轴对称 【典例1】(多选)设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[3,5]上单调递增 B.f(x)的最大值是1,最小值是0 C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴 D.当3≤x≤4时,f(x)＝－(x－4)2 答案　ACD 解析　因为f(x)是R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),又因为f(2－x)＝f(x),所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,故C正确； 因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(2－x)＋f(－x)＝0,从而f(2＋x)＋f(x)＝0,所以f(4＋x)＋f(2＋x)＝0,所以f(4＋x)＝f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)＝x2单调递增,所以f(x)在[－1,0]上也单调递增,从而f(x)在[－1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以f(x)在[3,5]上单调递增,故A正确； 因为f(x)在[－1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x＝1对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[－1,3]上的最大值为f(1)＝1,最小值为f(－1)＝f(3)＝－1,故B错误； 当3≤x≤4时,0≤4－x≤1,所以f(4－x)＝(4－x)2,因为周期为4,所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2,故D正确. 【典例2】(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是(　　) A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝ex－3＋e3－x C.f(x)＝x4－18x2 D.f(x)＝|x2－6x| 答案　BD 解析　若f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则f(6－x)＝f(x). 对于A,f(6－x)＝6－x＋≠f(x),A错误； 对于B,f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x),B正确； 对于C,∵f(0)＝0,f(6)＝64－18×62＝648,∴f(0)≠f(6),即f(6－x)＝f(x)不恒成立,C错误； 对于D,f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x),D正确. 解题策略： 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B和C，通过复合函数单调性判断；对D，由与关系判断. 【详解】对于A：令解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ， 所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD. 2．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）（多选）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，逐步推导函数的各项性质，以及利用这些性质进行求和，进而判断选项的正确性. 【详解】由题意得任意，，且， 令，则，则， 令，则，故A正确； 令，则， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 令，则， 由题意不恒为0，则， 即，故为奇函数， 又，则， 所以， 则是以2为周期的函数，所以，故B错误； 而，则， 所以，故D正确． 故选：ACD． 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数对称轴为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给条件及关于对称，利用赋值求解即可. 【详解】因为， 所以当时，，即， 又函数对称轴为，所以， 令，则，解得， 故选：D 考向2 自对称中的中心对称 【典例1】(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称 C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D.函数y＝的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2 答案　ABC 解析　对于A,f(x)＝＝2－其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,且y＝－的图象关于原点对称,故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称,A正确； 对于B,因为f(2x－1)为奇函数,所以f(2x－1)＝－f(－2x－1),所以f(x－1)＝－f(－x－1), 所以f(x)＝－f(－x－2),所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称,B正确； 对于C,函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象,由于y＝f(x)过定点(0,1),故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2),C正确； 对于D,函数y＝＝1＋的图象关于点(3,c)中心对称, 所以解得 所以b＋c＝4,D不正确. 【典例2】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【解析】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 故选：C 【典例3】研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 【答案】 【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令，逐一验证即可求解； 严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若，对称轴为，若，则对称中心为，逐一验证即可求解. 【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令；若题设条件是偶函数，则令， （1）令，再令，则，所以图象的对称中心为． （2）若是奇函数，则，令，则，所以图象的对称中心为； （3）若是奇函数，则，令，则，所以，则图象的对称中心为； （4）若是偶函数，则，令，则，则图象的对称轴是； （5）若是偶函数，则，令，则，图象的对称轴是； （6）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （7）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （8）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （9）若是奇函数，则，令，则，则，则图象的对称中心是； （10）若是偶函数，则，令，则，则，则图象的对称轴是； （11）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； （12）若是偶函数，则，则，则，则图象的对称轴是； 破招方法2：用严格推理的方法， （13）若的图象关于点对称，令，所以， 即， 所以的图象关于点中心对称； （14）若的图象关于直线对称，则，则，即，则图象的对称轴是； （15），则，则，则的图象关于直线对称； （16），则，则，则的图象关于点对称 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，. 解题策略： 函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 【巩固训练】 1．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）函数的值域为 ；的图象对称中心是 【答案】 【分析】利用指数函数和反比例函数的性质，即可求出值域；根据条件可得，即可求解. 【详解】因为，则，所以函数的值域为， 因为，则，所以， 即，所以的图象对称中心是， 故答案为：，. 2．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，从而得到，再利用奇函数的性质列式求得，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 而的图象的对称中心为，则， 所以为奇函数，则有， 即， 所以，故. 故选：C. 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再对式子变形，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】函数，，其图象的对称中心为点， 代入直线方程得． 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9． 故选：D 考向3　互对称问题 【典例1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3,0)对称 答案　A 解析　设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)), 所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上, 而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1对称, 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称. 【典例2】若函数的图象与的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在函数的图象上任取一点， 则点关于直线对称的点为， 且点在函数的图象上，所以. 故选：C. 【典例3】函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数关于直线对称的函数解析式，再利用解析式相等，求的值. 【详解】设点在函数的图像上，则点关于直线的对称点，则，则，则，即与关于直线对称，则，得. 故选：D 【巩固训练】 1.（2025·甘肃白银·三模）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由对称性得到即可求解. 【详解】依题意，． 故选：D 考向4 双重对称问题 【典例1】函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值. 【解析】因为为奇函数，所以关于对称，即， 又关于原点对称，则，有， 所以的周期为4，故. 故选：A 【典例2】【多选】已知定义域为的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 2是的一个周期 D. 【答案】AB 【解】由，知直线为的图象的对称轴，所以，故正确. 因为的图象关于直线对称，且在上单调递增，所以在上单调递减.又的图象关于点中心对称，所以在上单调递减，故正确. 由，知.又的图象关于点对称，所以.所以，即.所以.所以4为的一个周期. 由，得，且在上单调递减，其图象关于直线对称，从而的周期大于2，所以的最小正周期为4，故错误. 由的最小正周期为4，得，，.因为，所以无法判断与0的大小，故错误.故选. 【典例3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的定义域为R，满足，若的图像关于直线对称，且，则（   ） A．92 B．-205 C．100 D．-19 【答案】A 【分析】根据对称以及题中条件可得，进而可得，利用赋值可得，，即可代入求解. 【详解】由于的图像关于直线对称，则， 故， 又，故， 因此，， 故 故， 由及可得，，解得 又，故， ， 故选：A 解题策略： 双重对称问题，隐含周期，注意借助对称性与周期性的相关结论解题,辅以草图则更为直观. 【巩固训练】 1.（2025高二·全国·专题练习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则 ． 【答案】0 【分析】根据函数的对称性可得函数的周期性，即可利用周期求解. 【详解】由于函数的图象既关于直线对称，故， 又关于点对称，则， 所以进而可得， 故是周期为4的周期函数， 故， 故答案为： 2.（24-25高二下·福建福州·期末）已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称．当时，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由对称性可得，由为奇函数可得，再结合时的函数解析式求结论. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 又因为函数是奇函数，所以， 又当时，， 所以 所以， 故选：B. 3.已知函数的图像既关于点对称，又关于直线对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 用表示函数的图像，设，根据中心对称性与轴对称性，得到，令，求出，即可求出，即可得解. 【详解】用表示函数的图像，对任意的， 令，则，且， 又函数的图像既关于点对称，且关于直线对称， 所以，则，则， 则，则， 令，即，此时或（舍去）， 此时，即，因此. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算. 4.（22-23高二上·广东深圳·期末）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 【答案】C 【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C. 【详解】由题意知是奇函数，即， 即，即， 故的图象关于点对称，B结论正确； 又是偶函数，故， 即，故的图象关于直线对称，A结论正确； 由以上可知，即， 所以，则， 故的一个周期为8，D结论正确； 由于，令，可得， 而的图象关于直线对称，故，C结论错误， 故选：C 【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决. 5.（22-23高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设条件利用赋值法可得为周期函数且周期为，再结合赋值法可求、、，从而可求的值. 【详解】因为的图象关于直线对称，故， 因为，故， 因为，故， 所以，故， 所以，故， 所以为周期函数且周期为. 因为且，故， 又，故即， 而即， 故， 而且，故， 故. 故， 故选：A. 考向5 函数对称性的证明 【典例】已知函数． (1)求不等式的解集； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）原不等式可变形为，分类讨论后可求不等式的解集； （2）根据函数解析式可得，故可证函数图象中心对称； （3）根据函数的单调性和对称性可得在上有解，参变分离后可求的取值范围. 【详解】（1）易得不等式即． 当时，，解得， 当时，，解得． 综上可知，不等式的解集为． （2）因为的定义域为， 对任意的，都有， 且， 从而， 即的图象关于点对称，所以曲线是中心对称图形． （3）因为（），所以， 所以在，上单调递增． 由（2）可知，，所以， 所以在上有解， 即在上有解． 又因为，所以，， 所以在上有解，即． 由，得，故，即或． 所以的取值范围是． 【巩固训练】 1.（25-26高二上·山东日照·开学考试）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在定义域R内单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用定义法判断并证明的单调性； （2）利用图像关于点成中心对称图形的充要条件证明； （3）根据单调性和对称性可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】（1）函数在定义域R内单调递增，证明如下： ，任取，令， 则，，， 故， 即，所以在定义域R内单调递增. （2）证明：因为的定义域为R， ，， 有， 所以的图象关于点对称. （3）因为，即， 由（1）可知：在定义域R内单调递增，则， 由（2）可知：，即， 可得，即， 由，得， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知． (1)求的定义域、值域； (2)讨论的对称性； (3)讨论的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)的图象关于成中心对称； (3)在上单调递减 【分析】（1）根据函数解析式由分母不为零，可求得定义域；由反比例函数图象性质可求得值域； （2）结合对称性定义，可知，求出对称中心； （3）利用复合函数单调性定义可判断出结果； 【详解】（1）根据解析式可得，解得， 因此定义域为； 易知，又易知函数为单调递增函数， 且时，，当时，，且； 因此函数的值域为. （2）易知， 因此可得的图象关于成中心对称； （3）易知，由指数函数和在上单调递增， 可知为单调递增函数， 再由复合函数单调性可得在上单调递减,其图象如下图所示： 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.证明：曲线是中心对称图形； 【答案】证明见解析 【分析】设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图象上，从而可证对称性； 【详解】的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为． 考向6函数对称性的应用 【典例】已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 【答案】48 【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值. 【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称， 函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称， 与的图象的8个交点，也两两关于点对称， 则. 故答案为：48 【巩固训练】 1.（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由函数的对称性易得和的图象都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图象所有交点横坐标的和. 【详解】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得 ， 即对任意恒成立，则， 所以图象关于点对称， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数， 又当时，的图象关于直线对称， 所以当时，， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（    ）附注：． A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 【答案】D 【分析】方法一：根据的图象关于直线对称得到，然后通过替换得到为周期为4 的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可；方法二：根据，，证明是以4为周期的周期函数，，通过赋值和周期性求函数值即可. 【详解】方法一：因为的图象关于直线对称，所以． 由，得，所以． 因为，所以． 由，得，于是，即是以4为周期的周期函数． 由和，得，故． 由和，得，故． 由，得－2，故． 由，得，故． 于是． 方法二：因为的图象关于直线对称，所以，则． 因为①，所以，则． 因为，所以②，则． 因此，即是以4为周期的周期函数． 由①②得． 于是 ， 故选：D. 1．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 【答案】, 【解析】直接利用函数的周期求解. 【详解】解:由题意可知,; . 【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知函数的定义域为R,且函数图像关于对称,在区间是增函数,判断在上的单调性. 【答案】函数在为减函数. 【解析】根据题意可得，设,则,从而可得，任取 ,且,即可得，由题意即可证出. 【详解】解:因为函数的图像关于对称,所以. 设,则,所以.任取,且, 则.因为在上为增函数,所以, 所以,因此函数在为减函数. 【点睛】本题考查了利用函数的对称性证明函数的单调性，属于基础题. 3．证明函数的图象关于y轴对称. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明函数为偶函数，利用偶函数的性质即得证 【详解】由题意，函数的定义域为R， 且. 故函数为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称. 故函数的图象关于y轴对称，即得证. 4．设a为给定实数，函数的定义域为A. （1）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由. （2）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由. 【答案】（1）关于直线成轴对称．（2）关于点成中心对称， 【分析】（1）由已知性质得出函数图象上的点关于直线对称，即证明图象上任一点关于直线的对称点仍然在函数图象上； （2）由已知性质得出函数图象上的点关于点成中心对称，即证明图象上任一点关于点的对称点仍然在函数图象上． 【详解】（1）设是图象上任一点，又 则， 所以也是函数图象上的点， 又的中点坐标为在直线上，且与直线垂直，即关于直线对称，而是函数图象上任一点，即图象上任一点关于直线的对称点仍然在函数图象上， 所以函数的图象关于直线成轴对称． （2）设是图象上任一点，又 则，， 所以也是函数图象上的点， 又的中点坐标为，即关于点成中心对称，而是函数图象上任一点，即图象上任一点关于点的对称点仍然在函数图象上， 所以函数的图象关于点成中心对称． 5．已知函数的图像与函数的图像关于对称，求的解析式． 【答案】， 【分析】设是函数的图象上的任意一点，点关于的对称点，即可得到，再根据在函数的图像上，代入即可得到所求函数解析式； 【详解】解：设是函数的图象上的任意一点，点关于的对称点，则，所以，因为在函数的图像上，所以，则，即，所以的解析式为，； 6．设函数定义在上，它的图象关于直线对称，且当时，，试比较，，的大小． 【答案】 【分析】判断的对称性和单调性，据此即可比较大小. 【详解】因为关于对称，当时，是单调增函数， 又，，又，故， 即. 7．已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，比较下列各组值的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题目条件得到关于对称，且在上单调递增，从而在上单调递减，从而判断出； （2）赋值得到； （3）先得到，结合在上单调递减比较大小； （4）先得到，结合在上单调递减比较大小. 【详解】（1），其中，故关于对称， 对任意，总有，故在上单调递增， 则在上单调递减， 由于，故； （2）中，令得； （3）由于，故， 因为在上单调递减，且， 所以； （4）由于，故， 即， 因为在上单调递减，且， 所以，故. 8．已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值. 【答案】， 【解析】根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果. 【详解】解：由题意可得， . . 【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？ 【答案】不是 【分析】根据函数周期性的定义可得出结论. 【详解】解：根据题意，函数满足， 但对于且，， 故函数不是以为周期的函数. 10．函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值； （2）利用周期性求函数值即可； （3）由，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式. 【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：    由上图知：增区间为，减区间为； 零点为共3个；最大值为1，最小值为0. （2）由题设. （3）令且，则， 又，则，即， 综上，在区间上，. 11．已知函数的定义域为，且函数图像关于点对称，在区间上是增函数，判断在区间上的单调性. 【答案】在上为增函数. 【解析】根据中心对称得到，设，且，则 ，计算得到证明. 【详解】因为函数的图像关于点对称，所以. 设，则. 设，且，则且. 因为在上为增函数，所以. 故， 所以，所以函数在上为增函数. 【点睛】本题考查了利用定义法证明函数单调性，函数的中心对称，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 12．周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期； （2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式. 【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为. （2）解：当时，设，则，即； 当时，设，则，可得，即. 故当时，， 因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，， 对任意的，当时，， 则. 因此，函数的解析式为，，. 13．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）将函数的解析式经过适当的变形，得出，构造函数，利用奇偶性的定义证明为奇函数，根据题设条件即可得出函数图象的对称中心； （2）将“函数的图象关于点成中心对称图形”，类比为“函数的图象关于直线成轴对称图形”，再将“函数为奇函数”，类比为“函数为偶函数”，即可写出结论. 【详解】解：（1）. 设，则. 为奇函数. 的图象关于点对称. 即的图象的对称中心是点. （2）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的证明以及函数的对称性，属于中档题. $考点09 函数的周期性和对称性2类常见考点全归纳 1.了解函数的周期性及其几何意义. 2.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 3.会依据函数的性质进行简单的应用. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的周期性 考向1 由函数周期性求值 考向2由函数周期性求解析式 考点二 函数的对称性 考向1 自对称中的轴对称 考向2 自对称中的中心对称 考向3互对称问题 考向4 双重对称问题 考向5 函数对称性的证明 考向6函数对称性的应用 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.一个函数的自对称 （1）轴对称:函数是偶函数或 函数的图象关于直线对称.特别地，当时，，则函数的图象关于轴对称，函数为偶函数.推广：若函数满足，则函数的图象关于直线对称. （2）中心对称:函数是奇函数或 函数的图象关于点对称.特别地，当时，，则函数的图象关于原点对称，函数为奇函数.推广：若函数满足,则函数的图象关于点对称. 2.两个函数的互对称 （1）函数与的图象关于轴对称. （2）函数与的图象关于轴对称. （3）函数与的图象关于原点成中心对称. 3.双重对称 （1）若函数的图象在定义域内有两条对称轴,，则函数是周期函数，且周期（不一定是最小正周期，下同）. （2）若函数的图象在定义域内有两个对称中心，，则函数是周期函数，且周期. （3）若函数的图象在定义域内有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且周期. 4.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. (3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 5.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|； (2)若f(x＋a)＝则T＝2|a|； (3)若f(x＋a)＝－则T＝2|a|. 6.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|. 考点一 函数的周期性 考向1 由函数周期性求值 【典例1】已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【典例2】已知函数满足，且当时，，则_______________． 解题策略： (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. (3) 周期函数f(x)满足的条件 周期 a f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x－a) 4a f(x＋a)＝－f(x) 2a 2a 2a 关于直线x＝a与x＝b对称或 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称或 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称或 2|b－a| 奇函数，关于对称或 关于直线x＝a与点(b,0)对称或 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称或 4a 偶函数，关于对称或 4a 4a f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数) 2a f(x+1)=f(x)-f(x-1) 6 【巩固训练】 1．（江苏省南通市2026届高三上学期九月份调研测试数学试卷）定义在R上的函数是周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·开学考试）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则 . 3．（22-23高一上·北京·阶段练习）设是奇函数且满足，当时，，则（    ） A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84 考向2由函数周期性求解析式 【典例1】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______. 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 2．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数满足，且当时，，若关于的方程在区间上有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足． (1)求证：是周期函数 (2)若，求的值． (3)若时，，试求时，函数的解析式． 考点二 函数的对称性 考向1 自对称中的轴对称 【典例1】(多选)设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在[3,5]上单调递增 B.f(x)的最大值是1,最小值是0 C.直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴 D.当3≤x≤4时,f(x)＝－(x－4)2 【典例2】(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是(　　) A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝ex－3＋e3－x C.f(x)＝x4－18x2 D.f(x)＝|x2－6x| 解题策略： 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 2．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）（多选）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数对称轴为，且，则（    ） A． B． C． D． 考向2 自对称中的中心对称 【典例1】(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称 C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D.函数y＝的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2 【典例2】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例3】研究下列函数的对称性： （1）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （2）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （3）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （4）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （5）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （6）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （7）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （8）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （9）若是奇函数，则图象的对称中心是 ； （10）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （11）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （12）若是偶函数，则图象的对称轴是 ； （13）若的图象关于点对称，则图象的对称中心是 ； （14）若的图象关于直线对称，则图象的对称轴是 ； （15）的图象关于直线 对称； （16）的图象关于点 对称． 解题策略： 函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 【巩固训练】 1．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）函数的值域为 ；的图象对称中心是 2．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考向3　互对称问题 【典例1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3,0)对称 【典例2】若函数的图象与的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（    ） A．3 B． C． D． 【巩固训练】 1.（2025·甘肃白银·三模）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C． D． 考向4 双重对称问题 【典例1】函数和均为上的奇函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．2 【典例2】【多选】已知定义域为的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 2是的一个周期 D. 【典例3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的定义域为R，满足，若的图像关于直线对称，且，则（   ） A．92 B．-205 C．100 D．-19 解题策略： 双重对称问题，隐含周期，注意借助对称性与周期性的相关结论解题,辅以草图则更为直观. 【巩固训练】 1.（2025高二·全国·专题练习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则 ． 2.（24-25高二下·福建福州·期末）已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称．当时，，则（    ） A． B． C．1 D．3 3.已知函数的图像既关于点对称，又关于直线对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高二上·广东深圳·期末）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 5.（22-23高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 考向5 函数对称性的证明 【典例】已知函数． (1)求不等式的解集； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【巩固训练】 1.（25-26高二上·山东日照·开学考试）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知． (1)求的定义域、值域； (2)讨论的对称性； (3)讨论的单调性． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.证明：曲线是中心对称图形； 考向6函数对称性的应用 【典例】已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 【巩固训练】 1.（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（    ）附注：． A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 1．设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值. 2．已知函数的定义域为R,且函数图像关于对称,在区间是增函数,判断在上的单调性. 3．证明函数的图象关于y轴对称. 4．设a为给定实数，函数的定义域为A. （1）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由. （2）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由. 5．已知函数的图像与函数的图像关于对称，求的解析式． 6．设函数定义在上，它的图象关于直线对称，且当时，，试比较，，的大小． 7．已知函数对任意实数x都有，并且对任意，总有，比较下列各组值的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 8．已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值. 9．函数满足，那么，它是以为周期的函数吗？ 10．函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 11．已知函数的定义域为，且函数图像关于点对称，在区间上是增函数，判断在区间上的单调性. 12．周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 13．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. $