考点06 函数的概念及其表示4类常见考点全归纳讲义-备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点06 函数的概念及其表示4类常见考点全归纳 1.了解函数的含义. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并会简单的应用. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的定义域 考向1 具体函数的定义域 考向2 抽象函数的定义域 考向3 根据函数的定义域求参数 考点二 同一函数 考点三 函数的解析式 考向1 待定系数法 考向2 配凑法 考向3 换元法 考向4 构造方程组法 考点四 分段函数 考向1 求分段函数的函数值 已知自变量的值求函数值 已知函数值求自变量的值 考向2 分段函数与不等式 考向3 分段函数图象及其应用 1.函数的概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 考点一 函数的定义域 考向1 具体函数的定义域 【典例1】函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　) A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)＝＋ln(x－1), 所以要使函数有意义,则 解得x>1且x≠2, 所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,＋∞). 【典例2】（2024·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域. 【详解】由函数解析式，知：，解得且. 故答案为：. 解题策略： 求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化） ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） ③零次幂：中底数； ④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； ⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则 ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 【巩固训练】 1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 2．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）函数 的定义域是 【答案】 【分析】由解析式，利用对数、分式的性质列不等式求函数定义域. 【详解】由解析式知，可得且，故函数定义域为. 故答案为： 3．（24-25高三下·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【详解】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 考向2 抽象函数的定义域 【典例1】若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为　　　　　　.  答案　 解析　若函数f(x)的定义域为(1,3), 则在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈. 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______. 【答案】 【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答. 【详解】因的定义域为，则当时，， 即的定义域为，于是中有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，故， 所以的定义域为， 故函数中的需满足：， 故，故函数的定义域为. 故选：C 解题策略： 求抽象函数的定义域 谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围 同一个下括号内的范围是一样的 ①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。 ②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。 ③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。 求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域. 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知， ， 则函数的定义域为． 故答案为：． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为： 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 考向3 根据函数的定义域求参数 【典例1】（2024·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，定义域不为； 当时，若函数的定义域为， 则，解得 故选：A. 【典例2】（2024·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______． 【答案】 【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案. 【详解】的定义域满足：，解集为， 故且，解得. 故答案为： 解题策略： ①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决． ②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，． 【巩固训练】 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数函数定义域与二次函数的性质，结合判别式及一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为的定义域为，所以恒成立， 则，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 2．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域为，意味着根号下的二次函数的值恒大于等于；需要分和两种情况进行讨论. 【详解】由题意可知，对任意，恒成立． （ⅰ）当时，不恒成立，舍去； （ⅱ）当时，应满足，解得． 所以实数的取值范围为． 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 考点二 同一函数 【典例1】(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 答案　ABD 解析　对于A,由题意解得x≥0,A正确； 对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,B正确； 对于C,函数y＝的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),函数y＝x－1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数,C错误； 对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,D正确. 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解. 【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误， 故选：. 解题策略： 两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 【巩固训练】 1．（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误. 故选：C 2．【多选】（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 考点三 函数的解析式 考向1 待定系数法 【典例1】已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式； 【解析】∵f(x)是一次函数, 可设f(x)＝ax＋b(a≠0), ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17, 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17, ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7(x∈R). 【典例2】（2024·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值. （2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域. 【详解】（1）解：因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 即． （2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线． 因为在递减，在递增，所以， 因为，， 所以， 所以在上的值域为． 解题策略： 若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得6， 因此，解得，所以． 故选：A 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 【答案】 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 考向2 配凑法 【典例】已知f＝x4＋求f(x)的解析式； 【解析】f＝x4＋－2, 又x2＋≥2＝2, 当且仅当x2＝即x＝±1时等号成立. 设t＝x2＋则t≥2,∴f(t)＝t2－2(t≥2), ∴f(x)＝x2－2(x≥2). 解题策略： 已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 【巩固训练】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 考向3 换元法 【典例】已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式； 【解析】设1－sin x＝t,t∈[0,2], 则sin x＝1－t, ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x, ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). 解题策略： 已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】先利用换元法求得函数的解析式，进而求得的解析式，注意定义域. 【详解】令，则，， 因为，则， 所以， 其中，并令，解得， 所以． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】， 【分析】根据题意，利用三角函数恒等变换公式分析可得解析式，令，可得，进而将代入计算可得答案． 【详解】 令，则， 所以 所以， 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】先把函数进行化简，运用换元法令，将等式右边整理成关于的式子，再整体换元即得. 【详解】， 令，则， 所以， 即． 考向4 构造方程组法 【典例】若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式. 【解析】∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2,① ∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2,② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6, ∴f(x)＝3x－2(x∈R). 解题策略： 若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。 ①互为倒数：； ②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。 【巩固训练】 1．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 【答案】B 【分析】应用换元法求解析式，再结合基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】对于，以代替，得， 则， 得，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25． 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】令，构造关于的方程组求解即可． 【详解】由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】利用解方程组法，依次用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】由题意知，① 用代换①式中的，得， 即，② 用代换①式中的，得， 即，③ 由①②③，得 则（且）． 考点四 分段函数 考向1 求分段函数的函数值 （1） 已知自变量的值求函数值 【典例】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值. 【详解】由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以． 故选：A 【巩固训练】 1．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）设，则 . 【答案】8 【分析】根据对数的运算性质以及对数恒等式，结合分段函数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：8. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则＝ ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义，由自变量所在的范围代入对应解析式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. （2） 已知函数值求自变量的值 【典例】（2024·广东云浮·高一统考期末）若函数且，则_____________． 【答案】1 【详解】解：因为函数且， 当时，，解得（舍）； 当时，，解得， 综上： 1 故答案为：1 【巩固训练】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可. 【详解】由，是减函数，可知当时，， 所以，则， 由，得，解得， 所以. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分段函数表达式得，再根据的正负分类讨论即可. 【详解】由得， 当时，由解得； 当时，由解得（舍）， 综上， 故选：C 3．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【答案】D 【分析】对实数a分情况讨论列出等式即可得到结果. 【详解】当时，因为，得到，解得：, 又因为在区间上单调递增，只有这一个根，又因为,故将舍去； 当时，由，得到，解得：， 综上：实数a的值为 故选：D 考向2 分段函数与不等式 【典例1】（2024·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______． 【答案】 【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可. 【详解】函数的图象如图所示， 满足可得或. 解得. 故答案为：. 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，令，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，结合函数图像分析即可解决问题. 【详解】令，则即为， 当时，，故 无解， 当时，即为， 在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图， 由图可得当且仅当时，， 综上所述，的解为，又， 所以， 当时，， 故，解得：，所以， 当时，， 故，解得：，所以， 综上所述，不等式的解集是. 故选：D. 【巩固训练】 1．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数型函数的单调性，结合对勾函数的单调性，运用换元法、数形结合法进行求解即可. 【详解】因为时，单调递减，而单调递增， 所以在上单调递减， 又时，， 所以在单调递减，在单调递增， 画出的图象如下图，    令，则， 由,得， 由,，得， 所以，由图象知，不可能， 所以， 如下图，    由,得，， 由,得. 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【详解】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而有为偶函数，上单调递增，据此可解不等式. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 当时，则，， 当时，则，， 综上所述：对，都有， 所以为偶函数，又时，，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，平方得， 令，可得，整理得，解得或， 又，所以或，即或， 解得或或或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考向3 分段函数图象及其应用 【典例】（2024·河北·高三学业考试）函数的图象如图所示，则______ . 【答案】1 【解析】因为函数过点，分别求出直线方程与对数函数方程，从而求得，相乘即可. 【详解】因为函数过点，则直线方程为即， 所以， 因为函数过点，所以，解得，所以. 故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数图像与解析式的求法，属于基础题. 【巩固训练】 1．【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意分析的图像，令，由零点个数可确定有2个不同的实数解，且，再由二次函数零点分布求解即可. 【详解】令，则方程，即， 由题可得，在上单调递减，在上单调递增， 据此作出函数的大致图象，如图1所示， 作直线，则当或时，直线与曲线有1个交点； 当或时，直线与曲线有2个交点； 当时，直线与曲线有3个交点． 作出函数的可能的大致图象，如图2，横轴为轴，纵轴为轴， 所以要使方程有6个不同的解， 则有2个不同的实数解，且， 则，解得. 故选：BC. 2．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】CD 【分析】由题意知直线与的图象有三个交点，且，根据图象可得并求出与的关系，整理可得，结合二次函数分析求解即得正确选项. 【详解】∵，且， ∴直线与的图象有三个交点， 作出的图象，如图所示， 由图可知 且解得 则 因为，则， 所以 所以的取值范围是． 故选：CD. 3．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】作出函数的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】作出的图象，设， 则直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 函数的图象如图所示， 对于A，因为的图象关于直线对称，所以．A错误； 对于B，因为，由图象可得， 所以，解得．B错误； 对于C，由图象可得，所以．C正确； 对于D，由图象可知，又，， 所以．D正确. 故选：CD. 一、单选题 1．设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】根据函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确. 故选：C 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1 C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)= 【答案】D 【分析】利用同一函数的定义逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是； 对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是； 对于C，和对应法则不同，C不是； 对于D，f(x)= 和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是. 故选：D 3．设函数若f（a）＝4，则实数a＝（    ） A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 【答案】B 【分析】讨论的范围，代入不同解析式，即可容易求得结果. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得， 因为，所以， 综上，或， 故选： 【点睛】本题考查分段函数自变量的求解，属简单题. 二、填空题 4．下列图象中，表示函数关系的有 . 【答案】（1）（4） 【分析】根据函数的定义判断即可； 【详解】解：根据函数的定义，对于定义域内任意，都有且仅有唯一的函数值与其相对应，故满足函数关系的有（1）（4）； 故答案为：（1）（4） 三、解答题 5．下列各图中，哪些可能是函数的图象？哪些一定不是函数的图象？为什么？          【答案】（1）（3）（4）可能是，（2）一定不是 【解析】函数关系需满足对定义域中的自变量x,都有唯一确定的y与之对应,以此为依据判断即可 【详解】因为（1）（3）（4）中,对定义域中的自变量x,都有唯一确定的y与之对应,可能是函数的图像； 而（2）中,对定义域中的每一个自变量x,不是都有唯一确定的y与之对应,不符合函数的定义,则一定不是函数的图像 【点睛】本题考查图像法表示函数,考查函数关系的判断 6．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事. （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．  B． C．    D． 【答案】见解析. 【解析】根据时间和离开家距离的关系逐一进行判断. 【详解】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D）； （2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A）； （3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B）. 剩下的图象（C）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢. 【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对3个图象进行分析，即可得到答案. 7．已知函数，求，的值. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式求得所求的函数值. 【详解】. 8．已知函数 试求，，的值. 【答案】，，. 【分析】根据已知条件，要想求函数的值，只需将自变量的值代入相应的解析式求解即可，代入时，应注意自变量的取值范围. 【详解】因为，，， 所以， ， ， 又， 所以. 【点睛】本题考查分段函数的求值，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 9．已知函数， （1）求，，的值；（2）求，，的值. 【答案】（1），，；（2），，. 【解析】（1）直接代入数值计算即可； （2）直接代入计算可得. 【详解】（1），，； （2），，. 【点睛】本题考查函数的值，已知函数解析式，代入自变量计算求解，属于基础题. 10．已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R). （1）求f(2)，g(2)的值； （2）求f(g(2))的值. 【答案】（1），6；（2）. 【解析】（1）将自变量代入函数解析式可得结果； （2）利用代入的解析式可得结果. 【详解】（1）因为f(x)＝，所以f(2)＝＝. 又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6. （2）f(g(2))＝f(6)＝＝. 【点睛】本题考查了根据函数解析式求函数值，属于基础题. 11．下列哪一组中的函数与是同一个函数？ （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是 【解析】根据同一函数的定义，从定义域、对应关系两方面判断即可. 【详解】解：（1）定义域为R，定义域为， ∵定义域不同，与不是同一函数. （2）定义域为R，定义域为， ∵定义域不同， 与不是同一函数. （3），与定义域与对应关系都相同，与是同一函数. 【点睛】本题考查了同一函数的定义，属于基础题. 12．判断下列各组函数是否为同一个函数： （1）； （2），； （3）． 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是 【解析】当一组函数定义域与对应关系均相同时即为同一函数,以此为依据进行判断即可 【详解】（1）因为的定义域为,而的定义域为R,所以与不是同一个函数； （2）因为与的定义域均为R,所以定义域相同, 又,所以与是同一个函数； （3）因为与的定义域均为R,所以定义域相同, 又,所以与不是同一个函数 【点睛】本题考查同一函数问题,属于基础题 13．确定下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据根式里面的被开方数为非负数解一元二次不等式； （2）根据根式里面的被开方数为非负数且分母不能为0求解； （3）根据分母不能为0解一元二次不等式； （4）根据根式里面的被开方数为非负数且分母不能为0求解. 【详解】（1）解：由题意得： 要使二次根式有意义，，解得或 故定义域为 （2）由题意得： 故定义域为： （3）由题意得： ，即且 故定义域为 （4）由题意得： 由可得或 解得：或 故定义域为： 14．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）R；（3），且；（4）且 【解析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （2）根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可； （3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （4）根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可 【详解】解：（1）， ，定义域为； （2）不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R； （3）， ，且，定义域为，且； （4）且. ∴定义域为且. 【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题. 15．求下列函数的定义域： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据分母不为0，求出函数的定义域即可； （2）根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【详解】（1）由，得， ∴函数的定义域. （2）由，且，得， ∴函数的定义域为. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，函数定义域等价于令函数有意义的自变量的取值范围，因此可根据题目列关于自变量的不等式（组）求解即可，属于基础题. 16．画出函数的图象. 【答案】见解析. 【分析】分类讨论去绝对值，进而画出函数图像，或者利用翻折法画含绝对值的函数图像. 【详解】解法1：由绝对值的概念，知 所以函数的图象如图所示. 解法2：（翻折法）先画出的图象，然后把图象中位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上面，其他不变. 【点睛】本题考查含绝对值函数的图像的画法，是基础题. 17．设函数的定义为 (1)画出该函数的图象； (2)探索利用函数把分段函数写成一个解析表达式的方法． 【答案】(1)图象见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数的解析式，即可画出函数的图象； （2）结合函数的解析式，把分段函数，即可完成改写. 【详解】（1）解：由题意，函数， 可得函数的图象，如图所示， （2）解：若分段函数的表达式为， 则可改写为 18．（1）函数和是同一个函数吗？为什么？ （2）函数和是同一个函数吗？为什么？ 【答案】（1）不是同一个函数，理由见解析；（2）是同一个函数，理由见解析 【分析】利用函数定义域与对应法则判断两函数是否为同一函数即可. 【详解】（1）和不是同一个函数，理由如下： 对于，其定义域为； 对于，其定义域为； 所以和不是同一个函数. （2）和是同一个函数，理由如下： 对于，其定义域为； 对于，由，得，则其定义域为， 又， 所以和是同一个函数. 19．已知某皮鞋厂一天的生产成本（单位：元）与生产数量（单位：双）之间的函数关系式是. （1）求一天生产双皮鞋的成本； （2）如果某天的生产成本是元，那么这一天生产了多少双皮鞋？ （3）若每双皮鞋的售价为元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润关于这一天生产数量的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本. 【答案】（1）元；（2）双；（3）函数关系式为，每天至少生产双皮鞋，才能不亏本. 【分析】（1）将代入函数解析式即可得解； （2）解方程，即可得解； （3）根据利润、销售收入、生产成本三者之间的关系可得出利润关于产数量之间的函数关系式，然后解不等式，可得结论. 【详解】（1）将代入可知一天生产双皮鞋的成本为元； （2）由，解得， 即如果某天的生产成本是元，那么这一天生产了双皮鞋； （3），其中， 若该鞋厂每天不亏本，则，解得. 即该鞋厂每天至少生产双皮鞋，才能不亏本. 20．已知函数，求． 【答案】， 【解析】令,则,进而求解即可；令,则,代入求解即可 【详解】解：令,则,所以； 令,则,所以,所以 【点睛】本题考查求函数值,考查换元法求解析式 21．已知函数，求． 【答案】 【解析】将分别代入解析式即可 【详解】解：, 【点睛】本题考查代入法求解析式,属于基础题 22．已知，求． 【答案】 【解析】表示不超过的最大整数,分别将代入求解即可 【详解】解：, , , 【点睛】本题考查求函数值,考查运算能力,属于基础题 23．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象. 【答案】解析式见解析，图象见解析 【分析】根据所给函数的定义进行分类讨论，画图函数的图象. 【详解】解： 函数图象如图所示：    【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了画函数图象，属于基础题. $考点06 函数的概念及其表示4类常见考点全归纳 1.了解函数的含义. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并会简单的应用. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数的定义域 考向1 具体函数的定义域 考向2 抽象函数的定义域 考向3 根据函数的定义域求参数 考点二 同一函数 考点三 函数的解析式 考向1 待定系数法 考向2 配凑法 考向3 换元法 考向4 构造方程组法 考点四 分段函数 考向1 求分段函数的函数值 已知自变量的值求函数值 已知函数值求自变量的值 考向2 分段函数与不等式 考向3 分段函数图象及其应用 1.函数的概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 考点一 函数的定义域 考向1 具体函数的定义域 【典例1】函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域为(　　) A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞) C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞) 【典例2】（2024·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的定义域为__________． 解题策略： 求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化） ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） ③零次幂：中底数； ④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； ⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则 ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 【巩固训练】 1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）函数 的定义域是 3．（24-25高三下·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 考向2 抽象函数的定义域【典例1】若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为　　　　　　.  【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______. 【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 解题策略： 求抽象函数的定义域 谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围 同一个下括号内的范围是一样的 ①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。 ②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。 ③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。 求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域. 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 考向3 根据函数的定义域求参数【典例1】（2024·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______． 解题策略： ①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决． ②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，． 【巩固训练】 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为，则m的取值范围是 . 2．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 考点二 同一函数 【典例1】(多选)下列选项中正确的是(　　) A.函数f(x)＝的定义域为[0,＋∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y＝与函数y＝x－1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 解题策略： 两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 【巩固训练】 1．（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 2．【多选】（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 考点三 函数的解析式 考向1 待定系数法 【典例1】已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式； 【典例2】（2024·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 解题策略： 若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 考向2 配凑法 【典例】已知f＝x4＋求f(x)的解析式； 解题策略： 已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 【巩固训练】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 考向3 换元法 【典例】已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式； 解题策略： 已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 考向4 构造方程组法 【典例】若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式. 解题策略： 若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。 ①互为倒数：； ②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。 【巩固训练】 1．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 2．（2025高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 考点四 分段函数 考向1 求分段函数的函数值 （1） 已知自变量的值求函数值 【典例】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【巩固训练】 1．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）设，则 . 2．（25-26高一上·全国·单元测试）设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则＝ ． （2） 已知函数值求自变量的值 【典例】（2024·广东云浮·高一统考期末）若函数且，则_____________． 【巩固训练】 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 考向2 分段函数与不等式 【典例1】（2024·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______． 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 2．（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 考向3 分段函数图象及其应用 【典例】（2024·河北·高三学业考试）函数的图象如图所示，则______ . 【巩固训练】 1．【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 2．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 3．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1 C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)= 3．设函数若f（a）＝4，则实数a＝（    ） A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 二、填空题 4．下列图象中，表示函数关系的有 . 三、解答题 5．下列各图中，哪些可能是函数的图象？哪些一定不是函数的图象？为什么？          6．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事. （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．  B． C．    D． 7．已知函数，求，的值. 8．已知函数 试求，，的值. 9．已知函数， （1）求，，的值；（2）求，，的值. 10．已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R). （1）求f(2)，g(2)的值； （2）求f(g(2))的值. 11．下列哪一组中的函数与是同一个函数？ （1）； （2）； （3）. 12．判断下列各组函数是否为同一个函数： （1）； （2），； （3）． 13．确定下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4). 14．求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）. 15．求下列函数的定义域： （1）；（2）. 16．画出函数的图象. 17．设函数的定义为 (1)画出该函数的图象； (2)探索利用函数把分段函数写成一个解析表达式的方法． 18．（1）函数和是同一个函数吗？为什么？ （2）函数和是同一个函数吗？为什么？ 19．已知某皮鞋厂一天的生产成本（单位：元）与生产数量（单位：双）之间的函数关系式是. （1）求一天生产双皮鞋的成本； （2）如果某天的生产成本是元，那么这一天生产了多少双皮鞋？ （3）若每双皮鞋的售价为元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润关于这一天生产数量的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本. 20．已知函数，求． 21．已知函数，求． 22．已知，求． 23．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象. $