考点08 函数的奇偶性3类常见考点全归纳讲义-备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)

备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 考点08 函数的奇偶性3类常见考点全归纳 1.了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的判断 考向1 常见函数奇偶性的判断 考向2抽象函数奇偶性的判断 考点二 奇、偶函数的图象及应用 考点三 函数的奇偶性的应用 考向1利用奇偶性求值 考向2利用奇偶性求解析式 考向3利用奇偶性求参 考向4利用奇偶性解不等式 考向5利用函数的单调性与奇偶性比较大小 考向6利用函数的奇偶性求最值 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 4.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 5、熟记常见函数的奇偶性 奇函数 偶函数 幂函数= 非零常数可看成偶函数 或 具体如： 或 或 （也可以写成或） 具体如： ； 与都是偶函数 考点一 函数奇偶性的判断 考向1 常见函数奇偶性的判断 【典例】(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x| 解题策略： 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 【巩固训练】 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 2．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 考向2抽象函数奇偶性的判断 【典例1】(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数 【典例2】(多选)(2025·郑州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1,f(x＋y)＝则下列结论正确的是(　　) A.f(0)＝0 B.f(－x)＝－f(x) C.f(x)的定义域为R D.f(x＋2)＝－ 解题策略： 判断抽象函数奇偶性，需遵循 “定义域优先，赋值凑关系” 的核心思路 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．1 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使. (1)求的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 考点二 奇、偶函数的图象及应用 【典例1】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 解题策略： 应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． 2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【巩固训练】 1．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 考点三 函数的奇偶性的应用 考向1利用奇偶性求值 【典例1】（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【典例2】（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 . 【典例3】（2025高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 解题策略： 求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 【巩固训练】 1．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 2．（2025高三·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，且当时，，则 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 考向2利用奇偶性求解析式 【典例1】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于(　　) A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1 C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1 【典例2】（2024·广东揭阳·高三校考开学考试）已知为奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 解题策略： 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 2．【多选】（25-26高三上·广西·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．在和上单调递增 C．当时， D．有2个极小值点 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 考向3利用奇偶性求参 【典例1】（25-26高一·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝　　　　　　.  【典例3】(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a等于(　　) A.－1 B.0 C. D.1 解题策略： 求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． 【巩固训练】 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高三上·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 3．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 考向4利用奇偶性解不等式 【典例1】已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝2x－则f(x)<0的解集为(　　) A.(－3,0)∪(0,3) B.(－3,3) C.(－∞,－3)∪(0,3) D.(－∞,－3)∪(3,＋∞) 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【典例3】设函数f(x)＝ln(x2＋1)－则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为　　　　　　　　　　.  解题策略： 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 【巩固训练】 1．（25-26高三上·山东日照·开学考试）若定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考向5利用函数的单调性与奇偶性比较大小 【典例1】定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 解题策略： 比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 【巩固训练】 1．（24-25高一下·四川内江·开学考试）已知函数，则的大小关系是 .（注意：请用“”符号连接） 2．（24-25高一下·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南德宏·开学考试）定义在上的偶函数满足：且，都有，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考向6利用函数的奇偶性求最值 【典例1】若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 解题策略： 利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 【巩固训练】 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 2．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 3．（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 一、单选题 1．函数（    ）. A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 二、填空题 2．对于定义在上的函数，下列判断对的填“正确”，错的填“错误”. （1）若是偶函数，则； （2）若，则函数是偶函数； （3）若，则函数不是偶函数； （4）若，则函数不是奇函数. 3．若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ＝，则函数f(x)的解析式为 ． 三、解答题 4．判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)． 5．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）. 6．判断下列函数的奇偶性： （1）；         （2）． 7．已知函数的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性: (1); (2); (3). 8．求证：定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数． 9．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; (2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 10．定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示. （1）补全的图像； （2）解不等式. 11．已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小: (1)是偶函数; (2)是奇函数. 12．设m为实数，函数是偶函数，求m的值. 13．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 14．已知函数在y轴右边的图象如图所示. （1）若是偶函数，试画出函数在y轴左边的图象； （2）若是奇函数，试画出函数在y轴左边的图象. 15．已知函数，a，，且，求的值. 16．已知函数是上的奇函数，且当时，求函数的表达式. 17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 18．已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 19．已知函数的定义域为. （1）求证：函数为上的偶函数； （2）求证：函数为上的奇函数； （3）试判断：定义在上的函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 考点08 函数的奇偶性3类常见考点全归纳 1.了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的判断 考向1 常见函数奇偶性的判断 考向2抽象函数奇偶性的判断 考点二 奇、偶函数的图象及应用 考点三 函数的奇偶性的应用 考向1利用奇偶性求值 考向2利用奇偶性求解析式 考向3利用奇偶性求参 考向4利用奇偶性解不等式 考向5利用函数的单调性与奇偶性比较大小 考向6利用函数的奇偶性求最值 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 4.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 5、熟记常见函数的奇偶性 奇函数 偶函数 幂函数= 非零常数可看成偶函数 或 具体如： 或 或 （也可以写成或） 具体如： ； 与都是偶函数 考点一 函数奇偶性的判断 考向1 常见函数奇偶性的判断 【典例】(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x| 答案　AC 解析　对于A,函数的定义域为关于原点对称,且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意； 对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝x2－x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数,不符合题意； 对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意； 对于D,函数的定义域为{x|x≠－1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,不符合题意. 解题策略： 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 【巩固训练】 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 2．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 考向2抽象函数奇偶性的判断 【典例1】(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数 答案　AD 解析　对于A,若∀t∈R, 当t>0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t)； 当t＝0时,令t＝x2＝0, 因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0； 当t<0时,令t＝－x2, 因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(－t)＝－f(t), 综上,∀t∈R,f(－t)＝－f(t), 所以f(x)是奇函数,故A正确； 对于B,在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y＝0,得2[f(0)]2＝2f(0), 因为f(0)≠0,所以f(0)＝1,显然不符合f(－x)＝－f(x),故B错误； 对于C,令x＝y＝0,则f(0)＋f(0)＝f(0), 所以f(0)＝0, 令y＝－x,则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0, 所以f(－x)＝－f(x), 即f(x)为奇函数,故C错误； 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y), 令x＝y＝0得f(0)＝0； 令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0； 令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0； 令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确. 【典例2】(多选)(2025·郑州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1,f(x＋y)＝则下列结论正确的是(　　) A.f(0)＝0 B.f(－x)＝－f(x) C.f(x)的定义域为R D.f(x＋2)＝－ 答案　ABD 解析　令x＝1,y＝0,则f(1)＝ 即1＝∴f(0)＝0,A正确； 令x＝y＝1,则f(2)＝无意义, 即f(x)的定义域不为R,C错误； 由f(x＋y)＝可知f(x)f(y)≠1, 令y＝－x,则f(0)＝＝0, 即f(x)＋f(－x)＝0, 故f(－x)＝－f(x),B正确； f(x＋1)＝f(x＋2)＝＝－D正确. 解题策略： 判断抽象函数奇偶性，需遵循 “定义域优先，赋值凑关系” 的核心思路 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据抽象函数的等式和相关条件，通过赋值求得，推得函数为偶函数，以及函数的一个周期为6，依次求出的值，利用函数的周期性即可求得答案. 【详解】因为，令可得，，所以， 令可得，，即，所以函数为偶函数， 令得，，则有， 从而可得，，故， 即，所以函数的一个周期为6． 因为， ，， 所以． 因为2025除以6余3，所以． 故选：B． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使. (1)求的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 【答案】(1)1 (2)偶函数，证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）令，可得到答案 （2）令，可得，进而判断出单调性 （3）令，化简得到，再用代替得到，从而求出周期 【详解】（1）∵任意均有， 令，则.∵，∴. （2）由题意知定义域为，关于原点对称 令，∴，∴，∴为偶函数. （3）∵，又， ∴，即， ∴， ∴的周期为. 考点二 奇、偶函数的图象及应用 【典例1】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得. 【解析】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 解题策略： 应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． 2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【巩固训练】 1．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的奇偶性和时，，排除选项求解. 【详解】因为，且，则是奇函数，排除选项A； 当时，，故排除选项C； 又，，故排除选项D， 故选：B 2．（24-25高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合. 【答案】(1)作图见解析； (2)递减区间为； (3). 【分析】（1）根据奇函数求解析式，结合图象关于原点对称，画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. 【详解】（1）由题图及是R上的奇函数， 若，则，故， 由，故，函数图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的取值集合为； 3．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 考点三 函数的奇偶性的应用 考向1利用奇偶性求值 【典例1】（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 【典例2】（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 . 【答案】4 【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解. 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：4. 【典例3】（2025高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ． 【答案】－16 【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果. 【解析】令， 则， 由得， 由得，所以，则 所以， 故答案为：－16． 解题策略： 求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 【巩固训练】 1．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知奇函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】26 【分析】解法一：根据奇函数的定义域为及可得，再由可得结果；解法二：根据奇函数的定义域为及可得，再由奇函数的定义求出在的解析式，从而计算出结果. 【详解】解法一：因为奇函数的定义域为，所以，得， 所以． 解法二：因为奇函数的定义域为，所以，得， 当时，，所以， 所以． 故答案为：26. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出. 【详解】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又， 所以. 故答案为： 考向2利用奇偶性求解析式 【典例1】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于(　　) A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1 C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1 答案　B 解析　当x∈(0,＋∞)时,－x∈(－∞,0), 则f(－x)＝(－x)2－e－x＋1＝x2－e－x＋1, 又f(x)为偶函数,故f(－x)＝f(x), 故f(x)＝x2－e－x＋1. 【典例2】（2024·广东揭阳·高三校考开学考试）已知为奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可算出答案. 【详解】因为为奇函数，所以，即． 当时，，． 故选：C 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【解析】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 解题策略： 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 2．【多选】（25-26高三上·广西·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．在和上单调递增 C．当时， D．有2个极小值点 【答案】BD 【分析】由条件结合偶函数的性质求当时的函数解析式，由此判断C，求时，函数的导函数，代入可得，判断A，求函数在区间上的导函数，利用导数与单调性的关系求函数在上的单调区间，结合偶函数性质求函数的单调递增区间判断B，根据函数在区间上的极值情况，结合偶函数性质判断D. 【详解】是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，C错误， 因为当，， 所以当，，故，A错误， 因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，B正确， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，是的极小值点，因为是偶函数，所以也是的极小值点，故有2个极小值点，D正确. 故选：BD. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】5 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 考向3利用奇偶性求参 【典例1】（25-26高一·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 【典例2】若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝　　　　　　.  答案　1 解析　设f(x)＝(2x－m·2－x)x5, 则该函数为R上的偶函数, 则对任意的x∈R,f(－x)＝f(x), 即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5, 整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0, 所以1－m＝0,解得m＝1. 【典例3】(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a等于(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案　B 解析　方法一　因为f(x)为偶函数, 则 f(1)＝f(－1), 即(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3,解得a＝0. 当a＝0时,f(x)＝xln. 由(2x－1)(2x＋1)>0,解得x>或x<－ 则其定义域为关于原点对称. f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln＝f(x), 此时f(x)为偶函数,符合题意. 故a＝0. 方法二　设g(x)＝ln 易知g(x)的定义域为∪ 且g(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－g(x),所以g(x)为奇函数. 若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数, 则y＝x＋a也应为奇函数,所以a＝0. 解题策略： 求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． 【巩固训练】 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，可得的解析式，继而代入求值，即得答案. 【详解】由题意知函数（且）的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 得，即， 故，解得或（舍去）， 故，故， 故选：C 2．（25-26高三上·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 3．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由定义域得到值，再验证. 【详解】因为是偶函数，所以其定义域关于原点对称， 由解析式可知，其定义域需满足，解得 所以的解为，代入得， 此时，定义域为 且，满足条件. 故选：A. 考向4利用奇偶性解不等式 【典例1】已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝2x－则f(x)<0的解集为(　　) A.(－3,0)∪(0,3) B.(－3,3) C.(－∞,－3)∪(0,3) D.(－∞,－3)∪(3,＋∞) 答案　C 解析　函数f(x)为R上的奇函数, 当x<0时,f(x)＝2x－ 则当x>0时,－x<0,有f(x)＝－f(－x)＝－－2－x,显然f(0)＝0, 不等式f(x)<0转化为或 解得x<－3或0<x<3, 所以不等式f(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3). 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【解析】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 【典例3】设函数f(x)＝ln(x2＋1)－则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为　　　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　f(x)＝ln(x2＋1)－ 则f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又f(x)＝f(－x),故f(x)为偶函数, 当x>0时,f(x)＝ln(x2＋1)－ 又y1＝ln(x2＋1),y2＝－在(0,＋∞)上都单调递增,故f(x)在(0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减. 因为f(x)>f(2x＋1),所以 故x的取值范围为∪. 解题策略： 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 【巩固训练】 1．（25-26高三上·山东日照·开学考试）若定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质可将不等式转化为，求出的表达式，分段讨论解不等式即可求解. 【详解】因为是定义在的奇函数，所以， 则由，可得，即， 当时，由，解得； 当时，由奇函数的性质可得,不满足； 当时，，则， 由奇函数的性质，可得, 由，解得，故. 综上，不等式的解集为. 故选：D 2．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． ，则在上单调递增， 由0，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 3．（2025·福建漳州·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 考向5利用函数的单调性与奇偶性比较大小 【典例1】定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【解析】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 解题策略： 比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 【巩固训练】 1．（24-25高一下·四川内江·开学考试）已知函数，则的大小关系是 .（注意：请用“”符号连接） 【答案】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据余弦函数和指数函数的单调性得：函数在上单调递减，然后利用对数函数的单调性及中间值法求得，最后利用的单调性即可求解. 【详解】显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以， 因为函数在上单调递减（根据余弦函数和指数函数的单调性）， 所以函数在上单调递减， 又，（） 所以，即. 故答案为： 2．（24-25高一下·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得，然后结合指数函数单调性及对数函数的性质得，最后利用的单调性比较大小即可. 【详解】由于为偶函数，则， 因为和为R上的减函数，为上的增函数， 所以， 又，所以， 由于在上单调递增，所以， 即. 故选：D 3．（24-25高一下·云南德宏·开学考试）定义在上的偶函数满足：且，都有，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再利用偶函数和对数和指数的运算性质比较即可； 【详解】因为定义在上的偶函数，且，都有， 所以在上单调递增，， ， 又因为，所以， 即. 故选：A. 考向6利用函数的奇偶性求最值 【典例1】若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，即可求得答案. 【解析】解：因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 解题策略： 利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 【巩固训练】 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 2．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 一、单选题 1．函数（    ）. A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义即可得出选项. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 即， 所以函数为偶函数. 故选：B 二、填空题 2．对于定义在上的函数，下列判断对的填“正确”，错的填“错误”. （1）若是偶函数，则； （2）若，则函数是偶函数； （3）若，则函数不是偶函数； （4）若，则函数不是奇函数. 【答案】 正确 错误 正确 错误 【分析】根据奇偶性定义判断． 【详解】（1）由偶函数定义知，正确； （2）如果只有，如，不是偶函数，错误； （3）若是偶函数，则与矛盾，所以不是偶函数，正确； （4）是奇函数，也满足，错误． 故答案为：正确；错误；正确；错误． 3．若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ＝，则函数f(x)的解析式为 ． 【答案】f(x)＝ 【分析】根据奇函数的性质求得，再由已知函数值求得，得解析式． 【详解】∵f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0. 即f(x)＝， 又，∴. ∴a＝1，∴函数f(x)＝.，经检验符合题意. 故答案为：f(x)＝. 三、解答题 4．判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)偶函数 (4)非奇非偶函数 【分析】利用函数奇偶性的定义依次判断即可 【详解】（1）函数的定义域为R 且 故函数为奇函数 （2）函数的定义域为R 且 故函数为偶函数 （3）函数的定义域为R 且 故函数为偶函数 （4）由于 且 故函数为非奇非偶函数 5．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）. 【答案】（1）偶函数；（2）奇函数. 【解析】根据奇偶函数的定义证明即可. 【详解】解：（1）定义域为R，， 为偶函数. （2）定义域为R，， 为奇函数. 【点睛】本题主要考查了证明函数的奇偶性，属于基础题. 6．判断下列函数的奇偶性： （1）；         （2）． 【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数. 【分析】（1）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论； （2）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论. 【详解】（1）函数的定义域为， ，所以，函数为偶函数； （2）函数的定义域为， ，则且， 所以，函数为非奇非偶函数. 7．已知函数的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性: (1); (2); (3). 【答案】(1)偶函数.(2)奇函数.(3)偶函数. 【解析】（1）令,利用函数的奇偶性进行判断即可. （2）令,利用函数的奇偶性进行判断即可. （3）令,利用函数的奇偶性进行判断即可. 【详解】解:(1)令,因为的定义域关于原点对称, 所以的定义域关于原点对称,且, 因此函数为偶函数. (2)令,则定义域关于原点对称,且,因此函数为奇函数. (3)令,则定义域关于原点对称. 因为,所以函数为偶函数. 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，需熟记奇偶性的定义，属于基础题. 8．求证：定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数． 【答案】证明见详解 【分析】设函数为定义于R上的两个奇函数，令，利用奇偶性的定义证明即可 【详解】不妨设函数为定义于R上的两个奇函数 则 令，则定义域为R，关于原点对称 且 故函数为偶函数 即定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数 9．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; (2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】先证明充分性，再证明必要性，即得证. 【详解】证明:(1)充分性:若的图象关于y轴对称,设为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点仍在该图象上,即. 所以为偶函数, 必要性:若为偶函数,设为图象上任意一点,M关于y轴的对称点为,由于为偶函数,所以,所以在的图象上,所以的图象关于y轴对称. (2)充分性:若的图象关于原点对称,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点仍在该图象上,所以,所以为奇函数. 必要性:若为奇函数,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为,由于为奇函数,所以,所以仍在的图象上,所以的图象头于原点对称. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示. （1）补全的图像； （2）解不等式. 【答案】（1）作图见解析；（2）(－2，0)∪(0，2). 【分析】（1）根据奇函数图象关于原点对称，即可得答案； （2）结合函数的图像，可得不等式的解集； 【详解】解：（1）描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)， 则可得f(x)的图像如图所示. （2）结合函数的图像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2). 【点睛】本题考查奇函数图象的特点及解不等式，考查数形结合思想，属于基础题. 11．已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小: (1)是偶函数; (2)是奇函数. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）数是偶函数，从而可得，从而可以比较出大小. （2）根据函数是偶函数，从而可得，从而比较出大小. 【详解】解:(1)因为函数是偶函数, 所以, 因此,从而由条件可知. (2)因为函数是奇函数,所以, 因此, 由条件可知,因此. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义，需熟记定义，属于基础题. 12．设m为实数，函数是偶函数，求m的值. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，列方程，求解参数． 【详解】根据题意，函数是偶函数， 则， 即， 变形可得：， 所以. 13．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 【答案】见解析 【分析】利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解. 【详解】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示. 【点睛】本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．已知函数在y轴右边的图象如图所示. （1）若是偶函数，试画出函数在y轴左边的图象； （2）若是奇函数，试画出函数在y轴左边的图象. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】（1）把曲线的几个特征点关于轴对称，然后用光滑曲线连接， （2）把曲线的几个特征点关于原点对称，然后用光滑曲线连接． 【详解】（1）把曲线的几个特征点关于轴对称，然后用光滑曲线连接，如下图右边部分： （2）把曲线的几个特征点关于原点对称，然后用光滑曲线连接，如下图左边部分： 15．已知函数，a，，且，求的值. 【答案】3. 【分析】先根据求出，进而求出. 【详解】由题意：， 所以. 16．已知函数是上的奇函数，且当时，求函数的表达式. 【答案】． 【分析】根据奇函数定义求解． 【详解】因为是奇函数， 所以时，，，又． 所以． 17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 【答案】图像见解析， 【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示    当时，，所以当时，，则， 整理有，所以的解析式为 【点睛】本题考查由奇偶性求函数的解析式，属于简单题． 18．已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 【答案】单调递增，证明见解析 【解析】任取，则，根据函数在的单调性，得出，结合函数的奇偶性，得出，由函数单调性的定义作出判断即可. 【详解】解：在上单调递增 任取，则. 在上单调递减，. 是偶函数，. ，故在上单调递增. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义以及函数奇偶性的应用，属于中档题. 19．已知函数的定义域为. （1）求证：函数为上的偶函数； （2）求证：函数为上的奇函数； （3）试判断：定义在上的函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）答案见解析. 【分析】（1）由已知得函数的定义域为，，由此可得证； （2）由已知得函数的定义域为，，由此可得证； （3）令 ，，有，由（1）、（2）的证明可得结论. 【详解】解：（1）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又， 所以函数为上的偶函数； （2）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又， 所以函数为上的奇函数； （3）因为函数的定义域为.令 ，，则， 又由（1）得为上的偶函数，由（2）得为上的奇函数，且， 所以定义在上的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $