第17章 新中考、新题型——综合实践与探究（课件PPT）-【全程突破】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（人教版2024）

该初中数学课件系统梳理了完全平方式系数关系（b²-4ac=0）及因式分解（含立方和差公式）等核心知识，通过“举例-观察-猜想-验证-应用”的探究过程，结合长方体拼接、正方体分割等几何直观，构建代数与几何的知识网络，体现知识点内在逻辑。 其亮点在于融合“数学眼光”（几何直观、空间观念）与“数学思维”（推理意识、运算能力），设计长方体拼正方体推导(x+1)³展开式、正方体分割推导a³-b³公式等实践活动，从基础举例到含参数问题分层递进，帮助学生巩固知识，教师可精准实施个性化复习教学。

八年级数学 上册（R）课件 第十七章　新中考、新题型—— 综合实践与探究 1.阅读与思考 如果一个多项式ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0)是完全平方式，那么它的各项系数a，b，c之间存在着怎样的关系呢？围绕这个问题，小丽同学所在的小组进行了如下探究，请你加入他们的探究并补全探究过程： 探究完全平方式各项系数的关系 (1)举例探究：将下列各式因式分解： x2＋2x＋1＝(x＋1)2；x2－8x＋16＝　　 　；4x2－12x＋9＝　　　　 ； (x－4)2 (2x－3)2 (2)观察发现：观察(1)中三个多项式的系数，我们发现： 22－4×1×1＝0；(－8)2－4×1×16＝0；(－12)2－4×4×9＝0； ①归纳猜想：若多项式ax2＋bx＋c＝0(a＞0，c＞0)是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为　　　　　　　； ②验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； b2－4ac＝0 解：答案不唯一，例如：x2＋4x＋4＝(x＋2)2， 其中a＝1，b＝4，c＝4， ∴b2－4ac＝42－4×1×4＝0. (3)解决问题：若多项式(n＋6)x2＋(2n＋6)x＋(n＋1)是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值. 解：∵(n＋6)x2＋(2n＋6)x＋(n＋1)是一个完全平方式， 其中a＝n＋6，b＝2n＋6，c＝n＋1， ∴b2－4ac＝(2n＋6)2－4(n＋6)(n＋1)＝0， 解得n＝3. 2.【实践探究】 小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究： (1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：　　　　　　　 . x3＋x2＝x2(x＋1) 【问题解决】 (2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为(x＋1)的正方体，需要①号长方体1个，②号长方体　　　个，③号长方体　　　个，④号长方体1个，据此写出一个多项式的因式分解：　　　　　　　　　　 . 3 3 x3＋3x2＋3x＋1＝(x＋1)3 解析：①号是长、宽、高为x的正方体，②号是长、宽为x，高为1的长方体，③号是长为x，宽、高为1的长方体，④号是长、宽、高为1的正方体， ∴①号的体积为x3，②号的体积为x2，③号的体积为x，④号的体积为1. ∵棱长为(x＋1)的正方体，即长、宽、高都为(x＋1)， ∴体积为(x＋1)3＝x3＋3x2＋3x＋1， ∴要拼成棱长为(x＋1)的正方体，①号需要1个，②号需要3个，③号需要3个，④号需要1个. 【拓展与延伸】 (3)如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正 方体，据此写出a3－b3＝　　　　　　 . (a－b)(a2＋ab＋b2) 解析：边长为a的正方体的体积是a3，边长为b的正方体的 体积是b3， ∴挖去后的体积为a3－b3. 如图3，过BC，AB，DE把正方体分割为1，2，3部分， ∴1部分的体积为a2(a－b)，2部分的体积为ab(a－b)，3部分的体积为b2(a－b)， ∴a2(a－b)＋ab(a－b)＋b2(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2). ∵体积相等， ∴a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 $