专题03 阅读材料双空题基础（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题03 阅读材料双空题 4大高频考点概览 考点01 求满足条件的最大值 考点02 求满足条件的最小值 考点03 求满足条件的最大值与最小值的差 考点04 求满足条件的字母的值 地 城 考点01 求满足条件的最大值 1．（24-25九上·重庆涪陵十六中·期中）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，，，是“会意数”．则．如果“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：“会意数”， ； 数是“会意数”， 千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， ， ， ， ，， ，， ， 恰好能被8整除， 是一个整数， 是的倍数， ，， ，， 取最大值，且各个数位上的数字均不为， 千位上的数字应取最大值， 百位上的数字应取最小值， ， ，， 满足条件的数S的最大值， 故答案为：，． 2．（24-25九上·重庆广益中学·半期）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数p的“魅力数”，并规定．例如：时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为，因为的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时，则 ，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且，，其中（，，a、b均为整数）．若能被5整除，能被整除，则的最大值为 ． 【答案】 【来源】重庆广益中学2024-2025学年上学期九年级半期数学试题 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算．理解运算规则是解题的关键． 根据定义可求的值；由，，可得，，由能被5整除，可知也能被5整除，进而可得或，由能被整除，可得也能被整除，进而可得，则或；然后分别计算，，比大小后作答即可． 【详解】解：由题意知，时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、2、4，重新组合后的数为， ∵的值最小， ∴是的“魅力数”，此时； ∵，， ∴，， ∵能被5整除， ∴也能被5整除， ∵，a为整数， ∴或， ∵能被整除， ∴也能被整除， ∵，b为整数， ∴， 当，时，； 其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、6、2，重新组合后的数为， ∵的值最小，所以是的“魅力数”， ∴， 当，时，； 其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、6、7，重新组合后的数为， ∵的值最小，所以是的“魅力数”， ∴， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：，． 3．（24-25九上·重庆合川合阳中学·半期）如果有一个三位数m，满足百位数字为9，十位数字和个位数字之和也是9，我们把这个三位数称为“归一数”，把m的百位数字和个位数字互换位置得到数．并规定，例如，三位数918，且百位数字是9，是“归一数”，；三位数不是“归一数”．927是一个“归一数”， ．若s和t都是“归一数”，且，并规定，则K的最大值为 ． 【答案】 184 【来源】重庆市合川区合阳中学2024-2025学年九年级上学期半期考试数学试题 【分析】本题考查新定义、列代数式，根据题目要求求解即可，设，则，求得，同理可得，进而求得，再结合题意得，再分别取值计算即可求解． 【详解】解：∵927是一个“归一数”， ∴， 设，则， ∴， ， ， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵a、b、c、d都是数字（0到9的整数）， ∴， ∴，即， ∴， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， ∴K的最大值为， 故答案为：184；． 4．（24-25九上·重庆巫山高唐初中·期中）一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是 ；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为 ． 【答案】 【来源】重庆市巫山县高唐初级中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，二元一次方程的解，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意，表示出和，再表示出和，根据和均为整数来确定，，，的值． 【详解】解：设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，则有，且各位数字都不为0且互不相等， ∴当这个均衡数最大时，，则， ∴最大的均衡数为； ∵的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数， ∴，， ， 不妨设， 则， 当，即时，为整数； ， 当被整除时为整数，可得最大等于， ∵各位数字都不为0且互不相等，且， ∴排除，为和，只能是和， 再根据均衡数的定义，求得，， ∴满足条件的的最大值是， 故答案为：，． 5．（24-25九上·重庆荣昌初级中学·期中）一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，则最小的“对称数”是 ；将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新数记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最大值为 ． 【答案】 1221 9229 【来源】重庆市荣昌初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】此题考查了整式加减的应用，理解新定义“对称数”是解题关键．根据“对称数”的定义可直接得出最小的“对称数”； 设“对称数”，则，根据题意可得，结合能被7整除，则是7的倍数，A的最大值，即可得到a，b的值． 【详解】解：由“对称数”的定义可知最小的“对称数”为1221； 设“对称数”， 则， ∴ ∵能被7整除，A最大，各数位上的数字不完全相同且均不为0， ∴当时，A的最大值为9229． 故答案为：1221，9229． 6．（24-25九上·重庆巫山初级中学·期中）如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ． 【答案】 【来源】 重庆市巫山县巫山初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了新定义运算，根据“等根数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的“等根数”， ∴， ∴， 即， ∵为最小“等根数”， ∴，， ∴， ∴最小“等根数”为， 故答案为：； ∵， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴当时，或，此时或， ∵， ∴不符，舍去； 当时，或，此时或， 由可得，不符，舍去， ∴， ∴， ∴，，， ∴的最大值是， 故答案为：． 7．（24-25九上·重庆开州区西街初中教育集团·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“差中数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“差中数”．若一个“差中数”为，则 ；如果一个“差中数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 4 9541 【来源】重庆市开州区西街初中教育集团2024-2025学年上学期九年级数学期中试题 【分析】本题主要考查了新定义的应用，一元一次方程的应用等知识点，根据新定义列出方程，解方程可得到m的值；求能被7整除“差中数”的最大值则先根据数的特征设千位为9开始，逐步根据“差中数”的特征来进行验证，从而得到结果，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． 【详解】∵是一个“差中数”， ∴ ∴， ∴， ∴； 对于“差中数”，若使其最大，则千位数应尽量大， 设满足条件的四位自然数是， 又∵是“差中数”， ∴，即， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0的自然数， ∴或， ∴，，，，， 当时，这个“差中数”是，不能被7整除， 当时，这个“差中数”是，不能被7整除， 当时，这个“差中数”是9541，，能被7整除， ∴一个“差中数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是9541， 故答案为：4，9541． 8．（24-25九上·重庆杨家坪中学·期中）如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则．若为“和差数”，且，则 ．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定．若“和差数”，且满足为整数，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 10 9162 【来源】重庆市杨家坪中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算是解题的关键． 根据“和差数”定义，得，，则，再根据为“和差数”，得，求出m、n的值，即可求解； 根据，，，则，再根据为整数，即可求出a、b值，然后由M各数位上的数字互不相等且均不为零，且M取最大值，求出c、d值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为“和差数”， ∴， ∴， 把代入， 解得：， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴ ∵为整数，即为整数 ∴，，d为任数字， ∵当a最大时M最大， ∴， ∵M是“和差数”， ∴ ∴ ∵M各数位上的数字互不相等且均不为零，且M取最大值， ∴，， ∴ 故答案为：10；9162． 9．（24-25九上·重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校·期中）一个四位数，若千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称为“双11数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双11数”，则 ；若是“双11数”且是完全平方数，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【来源】重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查利用新定义解题，根据“双11数”定义得到最大的“双11数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为；设的千位数字和百位数字分别为，，根据“双11数”定义求解即可． 【详解】解：∵是最大的“双11数”， “双11数”的千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11， ∴最大的“双11数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为， ∴； 设的千位数字和百位数字分别为，， ∵是“双11数”， ∴的十位数字和个位数字分别为，， ∴， ∴的逆序数， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴是的倍数， 由题意得，，，，， ∴，， ∴， ∴最大值为，整理得，为完全平方数， ∵在范围内的最大完全平方数为， ∴，解得， 此时，为最大值； 故答案为：，． 10．（24-25九上·重庆育才中学·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 6923 【来源】重庆市育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】由“快乐数”的定义得，即可求解；由“快乐数”的定义得，整理得，结合、、、的取值范围得，对整理得，可得当或时，能被7整除，即可求解． 【详解】解：是一个“快乐数”， ， 解得：， 这个数为； 自然数是“快乐数”， ， ， ，，， ，， ， ， ， 自然数能被7整除， 能被7整除， 当或时，能被7整除， ①当时， ， 故此种情况不存在； ②当时， ， ， ， ， ， 解得：， ，且为整数， 最大取， 当时， ， ， ， 故答案：，． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键． 11．（24-25九上·重庆江津实验中学&李市中学&白沙中学等五校·半期）如果一个四位数满足各数位上的数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为，十位数字与个位数字之和记为，记，若为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：是整数，是“公正数”;不是整数，不是“公正数”.请问最大的“公正数”是 .若自然数和都是“公正数”，其中，且为整数)，的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且，规定:，则的最大值是 . 【答案】 9981 【来源】重庆市江津区实验中学、李市中学、白沙中学等五校2024-2025学年上学期半期联考九年级数学试题 【分析】此题考查了数字的规律、解一元二次方程等知识， （1）根据“公正数”的定义求出即可； （2）求出，设百位上的数字为，个位数上的数字为，则千位上的数字为，十位上的数字为，其中且，为整数，由题意得到，求出，即，进一步进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴是“公正数”， 则最大的“公正数”是； 且为整数）， ∴m可为：7823，7834，7845，7856， ∵m是“公正数”， ，， ∵的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2， 设百位上的数字为，个位数上的数字为，则千位上的数字为，十位上的数字为，其中且，为整数， ， ， ，即， 当时，，解得（负根已经舍去）； 当时，，解得，（负根已经舍去）；其他情况不满足题意， ①当，时， ， ； ②当，时 ， ； ∴k的值为或． 即最大值为； 故答案为：， 12．（24-25九上·重庆江津中学·期中）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以101所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且、、、为整数）．若能被8整除，则的值为 ，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为 ． 【答案】 【来源】重庆市江津中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查新定义，整式的运算，先根据新定义求出，，再依据题意求出与的最大值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵能被8整除， ∴是的倍数， ∵， ∴， ∴当最大时，，最大值， ∴， 同理由可得， ∵， ∴， 整理得， ∵，，为整数， ∴，，，， ∴当取最大值时，，此时，则为整数且为奇数， ∴，，此时最大， ∴与乘积的最大值为， 故答案为：，． 13．（24-25九上·重庆南开中学·期中）一个四位数各数位上的数字均不为，若将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数，则称为的“翻折数”，规定．例如：的“翻折数”为，，则 ；若（，为整数，，），的“翻折数”能被整除，则的最大值为 ． 【答案】 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题 【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据代入求解即可；首先表示出和的“翻折数”，然后求出的取值范围，进而分类讨论求得，的值，然后代入求解即可． 【详解】根据题意可得， ； ∵（，为整数，）， ∴的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴的“翻折数”为 ， ∵，， ∴， ∵的“翻折数”能被整除， ∴能被整除， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴，，，，，，， ∴当时，，无整数解， 当时，（舍去）或， 当时，，无整数解， 当时，，无整数解， 当时，（舍去）或， 当时，，无整数解， 当时，，无整数解， ∴当时，， 当时，， ∴的最大值为 故答案为：，． 14．（24-25九上·重庆合川七校联盟·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且满足，则称这个四位数为乘风破浪数，例如：四位数，＝，是“乘风破浪数”，则 （填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去能被整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 ． 【答案】 不是 【来源】重庆市合川区初中“七校联盟”2024-2025学年上学期期中质量检测九年级 数学试题 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义概念；根据“乘风破浪数”的概念进行判断，根据“乘风破浪数”的概念先求得, 然后根据题意列出的数能被整除的数的特征分析满足条件的数即可． 【详解】解：∵， ∴不是“乘风破浪数”. 故答案为：不是； ∵是一个乘风破浪数， ∴， 即 ∵一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两位数组成的两位数的差，再减去能被8整除， ∴ ∴能被8整除， ∵ ∴ ∴能被8整除，且, ,, 当，，则，，则， 为其他数时，不合题意，舍去； 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，则，舍去 综上所述，最大值为， 故答案为：． 15．（24-25九上·重庆长寿实验中学·期中）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 3456 【来源】重庆市长寿实验中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． 16．（24-25九上·重庆朝阳中·半期）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 【答案】 21 4117 【来源】重庆市朝阳中2024-2025学年九年级上学期半期数学测试卷 【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的四则运算、整式的加减运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义先求得，进而求得；根据新定义得到S各个数位上的数字，表示出S和，计算出，根据b、d的取值范围即可找到满足条件的S的最大值． 【详解】解：由“会意数”得， ∴； ∵四位自然数是“会意数”， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴是整数， ∴是8的倍数， ∵，，且b、d均为正整数， ∴要使S取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小，则，， ∴满足是8的倍数，此时， ∴满足条件的数S的最大值是4117， 故答案为：21，4117． 17．（24-25九上·重庆梁平区梁山初中教育集团·期中）一个四位自然数m，若它的千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大1，则称m为“倍差数”．例如：最小的“倍差数”为 ；将“倍差数”m千位数字与个位数字之和记为s，百位数字与十位数字之和记为t，当m能被3整除时，求的最小值为 ．地 城 考点02 求满足条件的最小值 【答案】 【来源】重庆市梁平区梁山初中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】根据“倍差数”的定义求解即可． 【详解】设四位自然数m，若它的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则， 由“倍差数”的定义可得，则 ∴ ∴ ∴， ∴当时，最小，此时 ∴最小的“倍差数”为； 由题意得：，， ∴， ∴当最大时，的最小 ∵能被3整除， ∴可以取3，6，9，12，15， ∴当时，有最小值，最小值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查整式的加减，新定义“倍差数”的运用，通过定义得到对应的数位间的关系，通过推导和讨论，得到最后最小值． 18．（24-25九上·重庆长寿川维中学·期中）一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，个位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数7261，，，是“队伍数”，此时，，判断：8361 （是/否）“队伍数”；若A是“队伍数”，且满足是一个正整数的平方，求的最小值为 ． 【答案】 是 59 【来源】 重庆市长寿区川维中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷 【分析】本题主要考查了新定义运算，用代数式表示式， ①根据“队伍数”的定义，判断即可； ②先分别表示出和，进而得出，再根据题意，分类讨论求解即可． 【详解】解：①∵， ∴8361是“队伍数”， 故答案为：是； ②依题意，设均为正整数， 则， ， 则， ∵， ∴. ∵是一个正整数的平方， ∴为：64，81，100，121， 当时，， 则； 当时，， 则； 当时，无解； 当时，， 则， 综上，的最小值为：59， 故答案为：59. 19．（24-25九上·重庆万州国本中学·期中）对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：是一个“差同数”．所以：，，则：．已知4378是一个“差同数”，则 ．若自然数都是“差同数”，其中（都是整数），规定：，当能被11整除时，则的最小值为 ． 【答案】 1 【来源】重庆市万州国本中学校2024-2025学年上学期期中教学质量监测 九年级数学试题卷 【分析】本题主要考查了整式加减的应用、不等式的性质、有理数加减乘除运算的应用．理解“差同数”的定义，善于把新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键． （1）根据“差同数”的定义求得s和和t，进而求得； （2）根据“差同数”的定义和已知条件，求得，进而求得，再根据字母的取值范围，分情况考虑即可求出k的最小值． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵，其中， ∴P的千位数字为x，百位数字为6，十位数字为，个位数字为6， ∴由“差同数”知：， 即； 而， ， ∴； ∵，其中， ∴Q的千位数字为3，百位数字为m，十位数字为，个位数字为， ∴由“差同数”知：， 即； 而， ， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵能被11整除， ∴或0或11； ①当时，， ∵， ∴或， ∴或4， 当时，； 当时，，不合题意； ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴不存在； ③当时，， ∵， ∴， ∴或， ∴或1； 由①知，； ∴的最小值为； 故答案为：1；． 20．（23-24九上·重庆九龙坡育才中学·期中）对于一个四位正整数q，如果满足各个数位上的数字互不相同且均不为零，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数q为“和平数”．在“和平数”q中，从千位数字开始顺次取出三个数字依次作为百位数字、十位数字和个位数字构成一个三位数，共形成四个三位数，再把这四个三位数的和与的商记为F（q）．例如：，，由此 ．若s，t都是“和平数”，其中，，（x，y，m，n都是整数，且），规定，当是一个完全平方数时，k的最小值为 ． 【答案】 /0.6 【来源】重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了因式分解、完全平方数，关键是注意取值范围．根据公式可得、，s，t都是“和平数”，可得x与y、m与n的关系，化简k、，再根据取值范围可得k的最小值． 【详解】解：， ， ∴ ∵s，t都是“和平数”， ∴， ∴， ∴， ∵x，y，m，n都是整数，且， ∴， ∵是一个完全平方数，要取最小值 ∴，，k取最小值 故答案为：①② 21．（24-25九上·重庆八中·期末）如果一个四位自然数A，满足千位与十位数字之和为8，百位数字与个位数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数，，A的千位数字与百位数字之差记为，，若是“宏志数”，则＝ ；若能被3整除，则满足条件的A的最小值是 ． 【答案】 3 1471 【详解】∵是“宏志数”， ∴， 解得， 故， 故答案为：3； 设四位自然数A的千位数字是m，百位数字是n，根据“宏志数”的定义得，十位数字是，个位数字是， 故， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵，能被3整除， （1）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，能被3整除，符合题意； 此时的四位数是5035； 当m取2，3，4，6，7时，的值都是分数，故都不符合题意； （2）当时，， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （3）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，能被3整除，符合题意； 此时的四位数3253； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （4）当时，， 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，被3整除，符合题意； 此时四位数为2362； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； （5）当时，， 当时，，能被3整除，符合题意； 此时四位数1471； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，是分数，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； （6）当时，， 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不被3整除，不符合题意； 当时， ，不被3整除，不符合题意； 当时， ，被3整除，符合题意， 此时四位数是4540； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 当时，，不能被3整除，不符合题意； 故最小的四位数是1471， 故答案为：1471． 22．（24-25九上·重庆沙坪坝一中·期中）若一个四位自然数（其中m，n，p，q均为整数，）满足，则称M为“等和数”，并规定．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，且，）是“等和数”，且被7除余数为1，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，且被7除余数为1， ∴被7除余数为1， 当时，的千位是，百位是，十位是，个位是， ∵是“等和数”， ∴， ∴， ∴， ∵被7除余数为1， ∴被7除余数为1， ∵，即， ∴或或或， ∴或或或， 又∵c为整数， ∴，此时， ∴当最小时，有最小值， ∴当时，，即的最小值； 当时，的千位是，百位是，十位是，个位是， ∵是“等和数”， ∴， ∴，， ∴， ∵被7除余数为1， ∴被7除余数为1， ∵， ∴， ∴或或或或， ∴或或或或， 又∵c为整数， ∴或， 当时，此时， ∴当最小时，有最小值， ∴当时，，即有最小值； 当时，此时， ∴当最小时，有最小值， ∴当时，，即有最小值； 综上所述，满足条件的的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解“等和数”的定义，并根据整除求出的值． 23．（23-24九上·重庆南开中学·期中）如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最大的“倍差等和数”为 ，将“倍差等和数”的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和的个位数字之差能整除，令，若为整数，则满足条件的数的最小值为 ． 【答案】 【来源】重庆市南开中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查因式分解的应用，整式的乘法运算，根据题意找出数量关系，当“倍差等和数”为最大时，最高数位只能为，分析讨论即可的结论；若为整数，根据已知条件分析讨论即可． 【详解】解：当“倍差等和数”为最大时， 则最高位上， 设 则 ， ， 舍去， 此时设 ．则 ， 则，时最大， 此时四位数为； ∵为整数， 或或或或或， ， ， 为奇数， 是偶数，排除、两种可能， ①当 时，，， ，，，不合题意舍去， ②当时，若，， 则 ，，（不合题意舍去）， ③时，若，， 则，， ：，，不合题意舍去， 若，． 则，， ，不合题意舍去， ④当时， 若，， 则，，，， 若，则，，（不合题意舍去）， 综上所述、 只有一种可能即 ，， 此时 ， 设，此时 ，不能被整除舍去， 设，此时不能被整除舍去， 设，，此时， ，能被整除， 的最小值为：， 故答案为：，． 24．（23-24九上·重庆一中·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，满足，那么称这个四位数为“中和数”，例如：四位数5138，∵，∴5138是“中和数”；又如四位数7162，∵，∴7162不是“中和数”．已知一个四位自然数（其中），若M是一个“中和数”，且M能被14整除，将M的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 【来源】重庆市第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【详解】解：∵（其中）， ∴， ∵M是一个“中和数”，则， ∴， ∵M能被14整除， ∴能被14整除， ∵，，且，为整数， ∴， ∴或或， 当时， ， 此时， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ，，， 此时，不符合题意，舍去， 或，或， ∴或， ∴或， 当时， ， 此时，不符合题意舍去； ∴最小值， 故答案为： 25．（2024·重庆开州文峰教育集团·中考）若一个四位数m的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“行知数”；将“行知数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记，若四位数为“行知数”，（，，a，b，c，d为整数）且能被8整除，则 ，在此条件下，则所有满足条件的“行知数”m的最小值为 ． 【答案】 8 2355 【来源】2024年重庆市开州区文峰教育集团九年级中考考试数学试题 【分析】本题主要考查整式的计算，本题通过给出的新定义：行知数，通过来用表示，通过分析可以被8整除，来得到，通过讨论得到对应的的值． 【详解】解：由题意得：， ，, ∴ 由题意得：是8的倍数， ∵，，，a，b，c，d为整数 ∴， ∵ ∴或或（不符题意，舍去）或（不符题意，舍去）， ∵， 当时，，即 ∵，a，b，c，d为整数 ∴ ∴； 当时，，即 ∵，a，b，c，d为整数 ∴ ∴； 或 ∴； 综上，，2355，3357 所以，所有满足条件的“行知数”m的最小值为2355， 故答案为：8；2355． 26．（24-25九上·重庆南川三校联盟·期中）一个四位数字，其中，若将A的个位数字放到千位数字之前，将得到一个新四位数．规定：，则 ；若为7的倍数，则满足条件的A的最小值为 ． 【答案】 776 1617 【来源】重庆市南川区三校联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（B卷） 【分析】根据即可求出；当千位数字a为1时，A才能最小，再根据是7的倍数求解即可；从题目中获取信息列出正确的代数式并化简是解题的关键． 【详解】解：由题意可得； ∵是7的倍数， ∴为7的倍数， 若A最小，a需要尽量小， 当a=1时，,此时b最小取6， ∵， ∴ ∴． 故答案为：776；1617； 27．（24-25九上·重庆一中·半期）我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则 ，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为 ．地 城 考点03 求满足条件的最大值与最小值的差 【答案】 4 90 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期数学半期试卷 【分析】本题属于实数的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键． （1）根据定义，能被13整除即可，确定的范围，列举即可； （2）根据定义得到，确定，再分类讨论，一一列举即可． 【详解】解：①， 由题意得， ∴， ∴ ∵为整数， ∴能被13整除， ∴使得能被13整除，则需要能被13整除， ∵， ∴， ∴ ∴可取 ∴可取， 显然不是8的整数倍，故舍， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴可求， 即， ∴可取， 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 则，不符合题意，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，不满足，舍， ∴或， ∵， ∴时，则，则， 时，则，则， ∴， 故答案为：4，90． 28．（24-25九上·重庆七中·期中）若一个各个数位的数字均不为零的四位数满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”：将一个“间位等和数”的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作．令．若四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则 ，如果为完全平方数，那么的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 / 【来源】重庆市第七中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查新定义的应用，判断出和的值，根据代入求解即可得到的值；根据为“间位等和数”，可得各个数位上的数字之间的关系，进而判断出和的值，根据代入求解即可得到的 值，根据为完全平方数，可得可能的值，进而判断出的最大值与最小值，相减即为所求． 【详解】由题意得： 四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，为“间位等和数” 为完全平方数，各个数位的数字均不为零 或 求的最大值 均可以取最大值 均取 最大值为 求的最小值 均可以取最小值 均取 最小值为 的最大值与最小值的差为： 故答案为：；． 29．（24-25九上·重庆巴蜀中学教育集团·期中）若一个两位数t满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数”t的个位数字与十位数字的差放在t的前面得到的三位数记为，将t的个位数字与十位数字的差放在t的后面得到的三位数记为，，如：当时，，，，若m为最大的“逐增数”，则 ，已知，(a，b，c为整数且，b，)，x，y均为“逐增数”且满足为完全平方数，则的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 88 【来源】重庆市巴蜀中学教育集团中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了新定义，代数式，不等式的性质，数的整除等知识点，正确理解题意是解题的关键． 根据新定义，得到m的最大值，结合题意，得到，，结合a，b，c为整数且，b，，以及完全平方数的定义，得到结果． 【详解】解：∵m为最大的“逐增数”， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵为完全平方式， ， ∴是完全平方式， ∵a，b，c为整数且，b，， ∴或1，9， ∴或(与题意不符)或(不合题意)， ∴ ， ∵c最大为9， ∴a最大为5， ∴当，时，最大，， 当，时，最小，， ∴， 故答案为：，88． 30．（24-25九上·重庆万州二中·期中）对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是 ；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ． 【答案】 3674 4950 【来源】重庆市万州第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 根据“前和幂数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“前和幂数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到A的最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：∵是“前和幂数”， ∴， ∴， 这个数是3674； 设这个四位数，则， ， 四位数A是“前和幂数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的A的最大值是，最小值为1263， 它们的差为． 故答案为：3674；4950． 31．（24-25九上·重庆松树桥中学·期中）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数，若千位与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，则称为“一致数”，设一个“一致数”，满足且，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记为，一个两位数，将的各数位数字之和记为，当（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”中，满足为偶数时，的值为 ，的值为 ．地 城 考点04 求满足条件的字母的值 【答案】 【来源】重庆市松树桥中学校2024-2025学年九年级数学上学期数学期中试题 【分析】本题考查新定义，整式的加减，平方数，设一个“一致数”满足且，求出和，代入，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：设一个“一致数”满足且， ∴，，， 所以， ∵一个两位数，将N的各个数位数字之和记为， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，得到， 当时，，得到， ∵满足为偶数时， ∴当时a为奇数，当时a为偶数， 当时a为偶数，， ∴是3的 倍数，也是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴或， 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，，． 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，故舍去； 当时a为奇数，，由是3的 倍数可得是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴，此时，当时只有当时，则是平方数，此时，故舍去； 综上所述，． 故答案为：；． 32．（24-25九上·重庆綦江区联盟校·半期）对于一个四位自然数，若满足，则称这个四位数为“等和数”，记．例如：是“等和数”，；则 ；已知均为“等和数”，其中（其中、都是整数），如果能被5整除，则 ． 【答案】 10 5645 【来源】重庆市綦江区联盟校2024-2025学年上学期半期九年级数学试题 【分析】本题考查整式的加减，理解“等和数”的定义是解题的关键．理解题中“等和数”的定义，即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以2053是“等和数”， 则． 因为，均为“等和数”，且，， 所以，， 则． 因为的末尾数字是5， 所以能被5整除． 又因为能被5整除， 所以能被5整除， 即能被5整除． 又因为，且为整数， 所以． 所以． 又因为， 所以，． 故． 故答案为：10，5645 33．（24-25九上·重庆开州初中教育集团·期中）一个四位自然数，若满足，且，，则称四位数为“神奇数”．例如：四位自然数4312，因为，，，所以4312是“神奇数”．若是一个“神奇数”，且，则满足条件的的个数有 个，若是一个“神奇数”，设，，，和都是整数，则的值为 ． 【答案】 5 9909 【来源】重庆市开州初中教育集团2024-2025学年九年级上期中测试数学试卷 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，解不等式组，新定义运算，先根据是一个“神奇数”，且，得出，，根据，得出，求出，即可得出满足条件的的个数；根据是一个“神奇数”，得出，，求出，，求出，，根据和都是整数，得出与都能被9整除，从而得出能被9整除，然后再整理得出答案即可． 【详解】解：∵是一个“神奇数”，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵c为整数， ∴，2，3，4， ∴满足条件的的个数有5个； ∵是一个“神奇数”， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ∵和都是整数， ∴与都能被9整除， ∴能被9整除， ∵ ， ∵， ∴能被9整除， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵能被9整除， ∴， ∵，，， ∴， ∴当，时，，，，符合题意，此时； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上分析可知：． 故答案为：，． 34．（24-25九上·重庆高新区中学联盟·期中）一个四位自然数，若它的所有数位上的数字均不相同且均不为，千位数字与百位数字的和等于，十位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位自然数为“双十一数”．如：，∵，，是偶数，∴是“双十一数”． (1)最大的“双十一数”为 ； (2)若一个“双十一数”被整除，的所有数位上的数字之和为，且的和被整除，则满足条件的M为 ． 【答案】 【来源】重庆市高新区中学联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据题目定义即可； （2）先根据“双十一数”M被7整除，M+F(M)的和被9整除，列出代数式．将代数式进行因数分解，从而找到M各数位上数字的代数关系．接下来，条件类题目不能直接确定答案时，需要分类讨论或分别代入验算，最终确定结果． 【详解】解：（1）要想这个数最大，则千位最大，且千位数字与百位数字的和等于， 所以千位数为9，则百位数为2， 十位也需要尽可能的大，因为各数位数字不相等， 所以十位为8，个位为6， 所以这个“双十一数”为9286， 故答案为：9286； （2）设四位数的千位数是，百位数是，十位数是，个位数是．、、、为大于小于等于的自然数，且． ，为自然数，， 的和被整除， 为自然数，， 为自然数，， 为自然数，， 、均能被整除， 也能被整除， 即n为自然数，n≠0)， 由“双十一数”M的定义知： ． 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，可以被整除， ． ， ，或，． “双十一数”被整除， 为自然数，， 即为自然数，， 为自然数，， 、、均能被整除， 也能被整除． 为自然数，， 当，时，为自然数，， ，， 双十一数，不符合题意，舍去； 当，时，为自然数，， ①，不符合题意，舍去)； ②，，“双十一数”． 故答案为：． 【点睛】这道题属于综合型题目，考查有理数概念、代数式的计算，通过因式分解、分类讨论、代入法等方法求得结果，需要学会熟练运用多种方法来求解． 35．（24-25九上·重庆渝北区实验中学·期中）若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“吉祥数”，则 ，定义，若能被17整除，且存在整数k，使得，则满足条件的M的值为 ． 【答案】 10 6928 【来源】重庆渝北区实验中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键． 利用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；再利用整数整除的性质，合理变形分析讨论，最后得出满足条件的的值． 【详解】解：， 变形得，为 10 的倍数． ， ， ∵为 10 的倍数， 故． ∴，可求得． ∵能被 17 整除， 可设为整数）． 将变形得：， 即， ∴为整数， ∵与 3 互质， ∴必是 17 的整数倍． ∵均为正整数， ∴，即， ∵是 17 的整数倍， 故或． 以下分两种情况讨论： ①当时，则， ， 符合条件的有或或， 当时，， ， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，， ， ∴（符合题意）， 此时， ∴； 当时，， ， ∴（不符合题意，舍去）； ②当时，则， ， 符合条件的有或或， 当时，， ， ∴无解（不符合题意，舍去）； 当时，， ， ∴无解（不符合题意，舍去）； 当时，， ， ∴（不符合题意，舍去）； 综上，， 故答案为： 10，6928 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03阅读材料双空题 ☆4大高频考点概览 考点01 求满足条件的最大值 考点02 求满足条件的最小值 考点03 求满足条件的最大值与最小值的差 考点04 求满足条件的字母的值 目 考点01 求满足条件的最大值 1.(2425九上重庆涪陵十六中期中)如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字 之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”.把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得 到新的四位数M,规定F(M)=MM.例如：M=2335,2+3=5,3+5=8,2335是会意数.则 99 F(2335=3523-2335=12.如果会意数”N=3262,则FN)=_ 己知四位自然数S=abcd是 99 “会意数”，若F(S)恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 2.(24-25九上·重庆广益中学半期)对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p,将它 各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的 三位数3z,当(y-xz)的值最小时，称此时的z为自然数p的“魅力数”，并规定K()=y-z+x)2.例如： p=157时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为 351315、531、513135、153,因为(3×1-3×5)的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时 K(p)=(5-1+3)2=49,则K(248)=一，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数， 且s=100a+21,1=120b+a,其中(1≤a≤9,1≤b≤4，a、b均为整数)，若(s+)能被5整除，(s-)能 被11整除，则K()的最大值为 3.(24-25九上·重庆合川合阳中学.半期)如果有一个三位数m,满足百位数字为9，十位数字和个位数字 之和也是9，我们把这个三位数称为“归一数”，把m的百位数字和个位数字互换位置得到数m.并规定 F(m)=m+m' 例如，三位数918，：1+8=9且百位数字是9，.918是“归一数”， 9 F(918) 918+819-193;三位数946.4+6≠9,946不是归一数”.927是一个“归一数”， 9 F(927）=· 若s和1布是白数，且2F+F川=516，并规定太=F得，则K的最大值为 F(s) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上重庆巫山高唐初中·期中)一个各位数字都不为 O 且互不相等的四位自然数m，若千位与个 位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数m为“均衡数”，最大的均衡数是； 将“均衡 数” m 的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n. 记F(m)=，G $$F \left( m \right) = \frac { n } { 9 } ， G \left( m \right) = \frac { m + n + 1 } { 7 } ， F \left( m \right) ，$$ G(m)均为整数，则满足条件的 m 的最大值为. 5.(24-25九上重庆荣昌初级中学期中)一个各数位上的数字不完全相同且均不为 的四位正整数，若满 足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，则最小的“对称数” 是；将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新数记为 M'， ，记 $$P \left( M \right) = \frac { M - M ' } { 9 9 } ，$$ ，若“对称数”4，满足P(4)能被7整除，则A的最大值为 6.(24-25九上重庆巫山初级中学期中)如果一个三位自然数 $$\overline { a b c }$$ 的各数位上的数字均不为0，且使得关 于x的方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$$ 有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”.例如：三位数441 是方程 $$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$ 的“等根数”.则关于 x 的方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$$ 的最小“等根数”是；如果m是关于 x的方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$$ 的“等根数”，记 $$F \left( m \right) = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ， G \left( m \right) = a - c$$ ， 是整数，则满足条件的 m最大值是. 7.(24-25九上重庆开州区西街初中教育集团期中)如果一个四位自然数 $$\overline { a b c d }$$ 的各数位上的数字互不相 等且均不为0，满足 $$\overline { a b } - \overrightarrow { c d } = \overline { b c } ，$$ ，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数 4129，∵41-29=12，∴4129 是“差中数”；又如：四位数5324，53-24+32，.5324不是“差中数”. 若一个“差中数”为 $$\overline { 8 3 m 9 } ，$$ ，则 m=；如果一个“差中数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 8.(24-25九上重庆杨家坪中学期中)如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数 字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”. 若将M的 千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为 M'， ，则 $$F \left( M \right) = \frac { M - M ' } { 9 } .$$ $$\overline { m \ln 5 }$$ 为“和差数”，且 $$F \left( \overline { m \ln 5 } \right) = 3 2 3 ，$$ ，则 m+n= . 若将M的千位上的 数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为 M'， ，并规定 $$G \left( M \right) = \frac { M + M ' } { 1 0 1 } .$$ 若“和差数” $$M = \overline { a b c d }$$ ，且满足 $$\frac { F \left( M \right) + G \left( M \right) } { 1 0 }$$ 为整数，则满足条件的M的最大值 为. 9.(24-25九上重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校·期中)一个四位数 M， ，若千位数字与十位数 字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称M 为“双11数”.将M的千位数字和十位数字交换， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 百位数字和个位数字交溪，每到M的造序数M,并记Kw-从)”.若M是录大的双1数，则 K(M)=一若M是双11数且K(M)+1秀 9 二是完全平方数，则满足条件的M的最大值 为 10.(24-25九上重庆育才中学·期中)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0， 满足ab+cd=bc,那么称这个四位数为“快乐数”.例如：四位数1428，·14+28=42,1428是“快乐数”； 又如：四位数2534，：25+34=59≠53,2534不是“快乐数”.若一个“快乐数”为158，则这个数 为 ；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 11.(24-25九上·重庆江津实验中学&李市中学&白沙中学等五校.半期)如果一个四位数m满足各数位上的 数字都不为0，将它的千位数字与百位数字之积记为S,十位数字与个位数字之和记为S,记G(m)= S,1 若Gm为整数，则称这个四位数为公正数例如：：G3612)=3x6 1+2 6,6是整数，3612是“公正数”， G272号X773不整数，272不是公正数请何最大的公正数是— 若自然数m和 n都是“公正数”，其中m=7801+11x(2≤x≤5，且x为整数)，n的千位上的数字比百位上的数字大1，十位 上的数字比个位上的数字大2，且Gm)-2,规定：K=Gm)-4,则K的最大值是 n 12.(24-25九上·重庆江津中学期中)一个两位正整数八，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0， 则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'.把放在的后面组成第一个四位数，把n'放在n'的后面 组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以101所得的商记为F(),例如： n=53时，H=35,F53到=5353-3535-18.对于两位正整数与，其中5=10a+b,4=10r+y 101 (1≤b<a≤9,1≤x≤9,1≤y≤9，且a、b、x、y为整数).若F(s能被8整除，则a-b的值为 ,在此条件下，若F(s+9my=mF(t),其中m为整数，则此时s与t乘积的最大值为 13.(24-25九上·重庆南开中学期中)一个四位数M各数位上的数字均不为0，若将M的千位数字和个位 数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数N,则称N为M的翻折数，规定F(M)=M+N 11 例如：1235的翻折数为5321，F1235)=1235+5321=596,则F(2678)=一：若 11 M=5001+200x+10(y+1(M,y为整数，5≤x≤9,1≤y≤8)，M的“翻折数”N能被17整除，则 F(M)的最大值为 14.(24-25九上·重庆合川七校联盟期中)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字均不为0，且满足 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ba+d=cb,则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，：23+69=92,3296是“乘风破浪 数”，则1341（填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数的前三个数字组成的三位数abc 和后两个数字组成的两位数cā的差，再减去2c能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 15.(24-25九上·重庆长寿实验中学期中)一个各数位均不为0的四位自然数M=abcd,若满足 a+d=b+c=9,则称这个四位数为“友谊数”.例如：四位数1278,1+8=2+7=9，.1278是“友谊数”.若 abcd是一个“友谊数”，且b-a=c-b=1,则这个数为一；若M=abcd是一个“友谊数”，设 F(M)=号，且FM+a6+d是整数，则病足条件的M的最大值是一 13 16.(24-25九上·重庆朝阳中.半期)如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之 和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”.把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到 新的四位数M.规定F(M)=M'-M 99 例如：M=2335,:2+3=5,3+5=8,2335是“会意数”.则 F235)=3523235=12.那么“会意数”N=4162,则F(N=一：已知四位自然数5=abc7是“会意 99 数”，(b≤4，d≤7，且a、b、c、d均为正整数)，若F(S)恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大 值是 目目 考点02 求满足条件的最小值 17.(24-25九上重庆梁平区梁山初中教育集团期中)一个四位自然数m,若它的千位数字比十位数字大 2,百位数字比个位数字大1，则称m为“倍差数”.例如：最小的“倍差数”为一；将“倍差数”m千位数 字与个位数字之和记为s,百位数字与十位数字之和记为t,当m能被3整除时，求二的最小值为 18.(24-25九上·重庆长寿川维中学期中)一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，个 位上的数字比十位上的数字小5，则称A为“队伍数”，将“队伍数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位 和个位数字组成的两位数的和记为F(A),将“队伍数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字 组成的两位数的差记为G(4).例如：四位正整数7261，：7-2=5,6-1=5,77261是“队伍数”，此时， F(A)=76+21=97,G(A)=72-61=11.判断：8361 (是否)“队伍数”；若A是“队伍数”，且满足 F(A)-G(A)是一个正整数的平方，求F(A)的最小值为一 19.(24-25九上·重庆万州国本中学期中)对于一个四位自然数N,如果N满足各数位上的数字不全相同 且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“差同数”. 对于一个“差同数”N,将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s,将它的 干位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：FN。,例：N=75 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,因为7-3=5-1，故：7513是一个“差同数”.所以：s=73-51=22,t=71-53=18,则： F7513)=2+36=2.已知4373是一个差同数，则F4378)= 若自然数P,2都是“差同数”， 29 其中P=1000x+10y+616,Q=100m+n+3042(1≤x≤9,0≤y≤8,1≤m≤9,0≤n≤7，x,y,m,n都是整数)， 规定：k= 心当玉P-PQ能被川整除，则k的最小佰为 20.(23-24九上·重庆九龙坡育才中学期中)对于一个四位正整数q,如果满足各个数位上的数字互不相 同且均不为零，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数q为“和平数”.在 “和平数”q中，从千位数字开始顺次取出三个数字依次作为百位数字、十位数字和个位数字构成一个三位数， 共形成四个三位数，再把这四个三位数的和与222的商记为F(q)·例如：9=1245， F1245-124+245+451+512=6,由此F(6835列=.若，t都是和平数，其中，=32x0+,1= 222 ml(n+2)6,(x,y,m,n都是整数，且1≤x≤9,0≤y≤8，l≤m≤9,0≤n≤7)，规定k= F(s+F(t是一个完全平方数时，k的最小值为 21.(24-25九上·重庆八中.期末)如果一个四位自然数A,满足千位与十位数字之和为8，百位数字与个位 数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数， P叫444,4的千位数字与百位数字之差记为Q(4,F(A= PA 99 2(A ,若a37b是“宏志数，则a+b= ；若F(A)能被3整除，则满足条件的A的最小值是 22.(2425九上重庆沙坪坝一中期中)若一个四位自然数M=mnpg(其中m,n,p,9均为整数， 1≤mmP9≤9)满足m+p=2n+q,则称M为等和数，并规定F(M)=2m-4n 已知一个四位自然 p+q 数N=1000a+100b+10c+2d(其中a,b,c,d均为整数，1≤a,b,d≤9且d≠5,1≤c≤8)是“等和数”， 且被7除余数为1，则满足条件的F(V)的最小值为. 23.(23-24九上·重庆南开中学·期中)如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数abcd(c≠d),满足 2(a-b)=c+d,则称这个四位数为倍差等和数”.例如：四位数5171，：7≠1,2×(5-1)=7+1，：5171是 “倍差等和数”；又如：四位数6321，：2×(6-3)=2+1，：6321不是倍差等和数”.最大的“倍差等和数” 为_一，将“倍差等和数”M=abcd的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和M的个位数字之差能 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7整除，令GM)=c2-a-d+b,若GM 12 为整数，则满足条件的数M的最小值为 24.(23-24九上·重庆一中.期中)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且ab≠0，满足 a+d=bc,那么称这个四位数为“中和数”，例如：四位数5138，：5+8=13,5138是“中和数”；又如四 位数7162，：7+2≠16，：.7162不是“中和数”.已知一个四位自然数M=abcd（其中a≥3)，若M是一 个“中和数”，且M能被14整除，将M的千位数字与百位数字的和记为P(M),个位数字与十位数字的差 P(M) 记为QM),则满足条件的 (M) 的最小值为 25.(2024重庆开州文峰教育集团.中考)若一个四位数m的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字 与个位数字的和，则称这个四位数m为“行知数”；将“行知数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与 个位数字对调得到新数i,并记Fm二，若四位数m=abcd为行知数，2sa≤6≤c的 b+c≤9，a,b,c,d为整数)且F(m)能被8整除，则b+c=一，在此条件下，则所有满足条件的行 知数”m的最小值为 26.(24-25九上重庆南川三校联盟期中)一个四位数字A=ab1c,其中c=a+b,若将A的个位数字C放 干位数字a之前，格得到一个新四位数B=cab1.规定：F4=，则F32I15=一；若F 为7的倍数，则满足条件的A的最小值为 目目 考点03 求满足条件的最大值与最小值的差 27.(24-25九上重庆一中.半期)我们规定：如果一个四位自然数A,满足千位数字与个位数字之和为6， 百位数字与十位数字之和也为6，则称A为“六六大顺数”，若A、B均为“六六大顺数”，其中A=abcd, B=5xy1(1≤a,b,y≤6,0≤c,d,x≤5，且a,b,c,d,x,y均为整数)，将A的前三位数字组成的三 位数abc记为m,A的后三位数字组成的三位数bcd记为n,若m+n能被l3整除，则a+b=一，在此 条件下，将A的前两位数字组成的两位数ab记为s,将B的后两位数字组成的两位数记为t,若 3s+t=k2(k为整数)，则满足条件的B的最大值与最小值的差为一· 28.(24-25九上·重庆七中.期中)若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字 的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为间位等和数”：将一个“间位等和数”的十位数字和个位 数字去掉后利下的两位数记作A,千位数字和百位数字去掉后剩利下的两位数记作8，令F☑一生，若 四位数M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,则F(1573)=,如果 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F(M)为完全平方数，那么M的最大值与最小值的差为」 29.(24-25九上·重庆巴蜀中学教育集团期中)若一个两位数t满足其十位数字小于个位数字，则称这个 两位数为逐增数”，将“逐增数”t的个位数字与十位数字的差放在t的前面得到的三位数记为，将t的个位 数字与十位数字的差放在t的后面得到的三位数记为，F()=马，如：当1=25时，6=325,6，=253， F口)=325,253=8，若m为最大的遂塔数，则F(m: ,已知x=10a+b,y=10b+c(a,b,c 9 为整数且1≤a,b,c≤9)，，y均为逐增数且满足F+F)+x+y为完全平方数，则x+y的最大值 11 与最小值之差为 30.(24-25九上·重庆万州二中·期中)对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数 m=abcd,且满足a+b+c=d2,则称这个数为“前和幂数”，如：m=5924,因为5+9+2=42，所以5924 是“前和幂数”.若3b74是“前和幂数”，则这个数是；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千 位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B,若A+B能被33整除，则满足条件的A 的最大值和最小值的差是 目目 考点04 求满足条件的字母的值 31.(24-25九上重庆松树桥中学期中)对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m,若千位与百位数 字之和等于十位数字与个位数字之和，则称m为一致数”，设一个“一致数”m=1000a+100b+10c+d,满 足a≤8且d=l,将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m,并记为F(m)=m+m 101, 一个两位数N=10a+2b,将N的各数位数字之和记为G(N),当F(m-G(N）-4a=k2+3(k为整数)时， 则所有满足条件的一致数”m中，满足G(N)为偶数时，k的值为_一，m的值为■ 32.(24-25九上·重庆綦江区联盟校.半期)对于一个四位自然数m=abcd,若满足a+d=b+c,则称这个 四位数为“等和数”，记F(m=a+b+c+d.例如：m=2345,:2+5=3+4,.2345是“等和数”， F(2345)=2+3+4+5=14;则F(2053)=_;已知M,N均为“等和数”，其中 M=1000x+10y+345,N=5000+100x+10y+n(其中2≤x≤9,0≤y≤5,0≤n≤9，xy、n都是整数)，如 果M+FN能被5整除，则N=一 4 33.(24-25九上·重庆开州初中教育集团期中)一个四位自然数M=abcd,若满足b2c，且a=b+c, d=b-c,则称四位数为“神奇数”.例如：四位自然数4312，因为3>1,4=3+1,2=3-1，所以4312是“神 奇数”.若M=abcd是一个“神奇数”，且d=1,则满足条件的M的个数有_个，若M=abcd是一个“神 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数，设hade,F(M)-MSM GIM)M FIM和GM都是整数.UW的佰为 34.(24-25九上·重庆高新区中学联盟·期中)一个四位自然数M,若它的所有数位上的数字均不相同且均 不为0，千位数字与百位数字的和等于11，十位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位自然数M为“双 十一数”.如：6542,6+5=11,4+2=6,6是偶数，6542是“双十一数”. (1)最大的“双十一数”为 (2)若一个“双十一数”M被7整除，M的所有数位上的数字之和为F(M),且M+FM的和被9整除，则 满足条件的M为 35.(24-25九上·重庆渝北区实验中学期中)若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位 数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数.M=abcd（其中1≤a,b ,c,d≤9，且a,b,c,d均为整数)为“吉祥数”，则c+d= 一，定义 F(M）=21a+b-24c+2d+16,若F(M）能被17整除，且存在整数k,使得F(M)=k2+9,则满足条件的 M的值为_ /