专题01 一元二次方程（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程定义 考点02 配方法解一元二次方程 考点03 公式法解一元二次方程 考点04 因式分解法解一元二次方程 考点05 根与系数关系 考点06 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程定义 1．（24-25九上·重庆合川合阳中学·半期）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市合川区合阳中学2024-2025学年九年级上学期半期考试数学试题 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 2．（24-25高一上·重庆涪陵十六中·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市涪陵第十六中学校2024--2025学年上学期期中测试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意； B、，有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九上·重庆巫山高唐初中·期中）一元二次方程的一次项系数是(   ) A．2 B． C．3 D．6 【答案】B 【来源】重庆市巫山县高唐初级中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确找出一次项是解题的关键．先找出一次项，再写出其系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项是，其系数是， 故选：B． 4．（24-25九上·重庆开州初中教育集团·期中）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市开州初中教育集团2024-2025学年九年级上期中测试数学试卷 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是整式方程，不符合题意； C. ，最高次数是3，不是2次，不符合题意；     D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 5．（24-25九上·重庆长寿实验中学·期中）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市长寿实验中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可得解． 【详解】解：A、，属于一元二次方程，故符合题意； B、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，故不符合题意； C、的最高次数是3次，故不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：A． 6．（24-25九上·重庆合川七校联盟·期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市合川区初中“七校联盟”2024-2025学年上学期期中质量检测九年级 数学试题 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A. ，当时是一元二次方程，故该选项不符合题意， B. ，是一元二次方程，故该选项符合题意，     C. ，是分式方程，故该选项不符合题意，     D. ，是一次方程，故该选项不符合题意， 故选：B． 7．（24-25九上·重庆渝北区实验中学·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【来源】重庆渝北区实验中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得，求出的值即可． 【详解】解：若是关于的一元二次方程，则， 解得． 故答案为：1． 8．（24-25九上·重庆四川外语学院二外·半期）已知是关于x的一元二次方程，则 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25九上·重庆南开中学·期中）已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25九上·重庆南川·期中）如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ． 【答案】-2 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴=2，m-2≠0， 解得：m=-2． 故答案为：-2． 11．（24-25九上·重庆一中·半期）用配方法解方程 时，原方程应变形为（  ）地 城 考点02 配方法解一元二次方程 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， ， 故选：B． 12．（24-25九上·重庆南开中学·期中）关于x的为一元二次方程，下列配方正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 13．（24-25九上·重庆长寿实验中学·期中）用配方法解方程时，应将其变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市长寿实验中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 14．（24-25九上重庆八中·期中）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：移项得， 配方得， ∴， 故选：B． 15．（24-25九上·重庆二十九中·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 16．（24-25九上·重庆渝北区实验中学·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ， 配方得， 故选：A ． 17．（24-25九上·重庆西南大学附中·期中）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 18．（24-25九上·重庆复旦中学教育集团·期中）将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：， ， 配方，得， ， 即， 故选：D． 19．（24-25九上·重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校·期中）已知方程可以配方成的形式，那么的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2022 【答案】D 【详解】解：由可配方得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 20．（24-25九上·重庆合川合阳中学·半期）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ）地 城 考点03 公式法解一元二次方程 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 【来源】重庆市合川区合阳中学2024-2025学年九年级上学期半期考试数学试题 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 21．（24-25九上·重庆渝北区实验中学·期中）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【来源】重庆渝北区实验中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式判定方程根的情况，本题属于基础题型． 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 22．（24-25九上·重庆合川七校联盟·期中）已知方程关于x的一元二次方程有两个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：由题意得，，． 且． 故选：D． 23．（24-25九上·重庆巴南·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【来源】重庆市重庆市巴南区2024-2025学年九年级上学期期中 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，且， 故选：C． 24．（24-25九上·重庆育才中学·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 25．（24-25九上·重庆万州二中·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 26．（24-25九上·重庆四川外语学院二外·半期）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴即，且， 即有， 解得， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 27．（2024-2025·重庆九龙坡·期中）已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：一元二次方程有实数解， 且，即， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 28．（24-25九上·重庆一中·半期）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 29．（24-25九上·重庆江津中学·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 30．（24-25九上·重庆十一中教育集团·期中）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 31．（24-25九上·重庆綦江·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴的最大整数解为1． 故答案为：1． 32．（24-25九上·重庆江津中学·期中）一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意知，且，解得， 故答案为：且． 33．（24-25九上·重庆江津中学·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2） ，； 34．（23-24九上·重庆江津区12校联盟·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，； 【来源】重庆市江津区12校联盟学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）移项，直接开平方即可得到答案； （2）移项，系数化为1，配方，再直接开平方即可得到答案； 【详解】（1）解：移项得， ， 即：， 两边开平方得， ， ∴，； （2）解：移项得， ， 系数化为1得， ， 配方得， ， 两边开方得， ， ∴，； 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法并选择适当的解法求解． 35．（24-25九上·重庆彭水思源教研共同体五校·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴． 36．（24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）若等腰三角形的两边是方程的两根，则此三角形的周长为（   ）地 城 考点04 因式分解法解一元二次方程 A． B．10 C．8或10 D．6或8 【答案】B 【详解】解：， ∴， 解得，， 当边长分别为时， ∵，不能组成三角形， ∴不符合题意； 当边长分别为时，能构成等腰三角形， ∴此三角形的周长为； 故选：B ． 37．（24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解： 解得，， 故答案为：，． 38．（24-25九上·重庆忠县马灌初级中学·期中）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ． 【答案】10或12 【来源】重庆市忠县马灌初级中学校2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形周长计算，先根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的长的取值范围，再解方程求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和3， ∴第三边的长， 解方程得或， ∴第三边的长为3或5， ∴该三角形的周长为或， 故答案为：10或12． 39．（24-25九上·重庆南川三校联盟·期中）若直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的面积是 ． 【答案】6 【来源】重庆市南川区三校联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（B卷） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求三角形的面积， 先求出一元二次方程的两个根，再根据三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：， 解得， ∴这个直角三角形的两条直角边为3，4， ∴这个直角三角形的面积是． 故答案为：6． 40．（24-25九上·重庆万州二中·期中）方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：， 可得或， 解得：． 故答案为：． 41．（24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 ． 【答案】6或10或12 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 42．（24-25九上·重庆万州二中·期中）一元二次方程的解是： ． 【答案】 卷 【详解】解:原方程分解因式为（x+1）（x-5）=0， 可求得方程的解为． 43．（24-25九上·重庆江津中学·期中）一元二次方程x2＝2x的解为 ． 【答案】x1＝0，x2＝2 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 44．（24-25九上·重庆南开中学·期中）方程的根为 ． 【答案】 【来源】2014年初中毕业升学考试（浙江舟山卷）数学 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 45．（24-25九上·重庆永川中学教育集团·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市永川中学教育集团2024–2025学年九年级上学期期中质量检测 数学试题 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，选取适当的方法能够正确的运算是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，利用因式分解解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 46．（24-25九上·重庆黔江实验中学·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市黔江实验中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 47．（24-25九上·重庆渝北区实验中学·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【来源】重庆渝北区实验中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活的选择合适的方法是解题的关键． （1）找出方程的二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式的值大于0，将，，的值代入求根公式，即可求出方程的解； （2）首先去括号和移项，再进行分解因式，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，，， ， 即， ，． （2）解：， ， ， 即或， ，． 48．（24-25九上·重庆四川外语学院二外·半期）若a，b是方程的两根，则（   ）地 城 考点05 根与系数的关系 A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2024一2025学年上学期 九年级半期质量监测数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求得代数式的值． 【详解】 a，b是方程的两根， ，， ∴， 故选D 49．（24-25九上·重庆万州二中·期中）已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式 ． 【答案】 【来源】重庆市万州第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，再将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（24-25九上·重庆合川七校联盟·期中）已知方程，，则的值为 ． 【答案】/ 【来源】重庆市合川区初中“七校联盟”2024-2025学年上学期期中质量检测九年级 数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．可得出与为方程的两根，利用根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：对于方程，， 整理得，， 根据题意得：与为方程的两根， ，， ． 故答案为：． 51．（24-25九上·重庆朝阳中·半期）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【来源】重庆市朝阳中2024-2025学年九年级上学期半期数学测试卷 【分析】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．由根与系数的关系可求得，，代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 52．（23-24九上·重庆开州区云枫教育集团·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则 ． 【答案】/ 【来源】重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年九年级上学期期中 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可求出，，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为a，b， ∴，， ∴． 故答案为：． 53．（24-25九上·重庆万州二中·期中）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是 ． 【答案】14 【详解】∵m， n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ． 故答案为：14． 54．（24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键． 55．（24-25九上·重庆江津中学·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 56．（24-25九上·重庆一中·半期）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 57．（24-25九上·重庆四川外语学院二外·半期）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵，即， ∴， 整理得， 解得，． 58．（24-25九上·重庆南开中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数a的取值范围； （2）若a为符合条件的最大整数，且一元二次方程的两个根为，，求的值． 【答案】（1）；（2）3 【详解】解：根据题意得， 解得：； ，       的最大整数为0 把代入原方程得， 则，   ． 59．（24-25九上·重庆合川合阳中学·半期）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ）地 城 考点06 实际问题与一元二次方程 A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市合川区合阳中学2024-2025学年九年级上学期半期考试数学试题 【详解】解：设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额在二月份基础上再增长，即万元， 根据题意：， 故选：A． 60．（24-25九上·重庆巴蜀中学教育集团·期中）如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小路的宽度为， 那么草坪的总长度和总宽度应该为，； 根据题意即可得出方程为：， 整理得：． 故选：C． 61．（24-25九上·重庆高新区中学联盟·期中）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据高新区某品牌电动自行车经销商2024年8月至10月的统计，该品牌电动自行车月份销售辆，月份销售辆．若设该品牌电动车销售量的月平均增长率为，则根据题意，以下所列方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市高新区中学联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该品牌电动自行车月份的销售量该品牌电动自行车月份的销售量该品牌电动自行车销售量的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 62．（23-24九上·重庆梁平梁山初中教育集团·期中）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得：． 故选：D． 63．（24-25九上·重庆秀山新星初中·期中）据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 【答案】 【来源】重庆市秀山土家族苗族自治县新星初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设参观人数的月平均增长率为x，列方程为， 故答案为：． 64．（24-25九上·重庆荣昌初级中学·期中）某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【来源】重庆市荣昌初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 65．（24-25九上·重庆巫山初级中学·期中）中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司2022年盈利4000万元，2024年盈利6760万元，且从2022年到2024年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，则列方程得 ． 【答案】 【来源】 重庆市巫山县巫山初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查列一元二次方程，用含x的代数式表示出2024年新能源汽车销售公司的盈利即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：； 故答案为：． 66．（24-25九上·重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校·期中）某超市销售某种礼盒，因销量不好，经过两次降价后，价格由原来的300元调整为243元，则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】10% 【来源】重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查求一元二次方程的应用：求平均变化率．设降价的百分率为x，降价一次后的价格是，第二次降价后的价格是，由“降为243元”作为相等关系可列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设降价的百分率为x，由题意得，， 解得（舍）， 所以平均每次降价的百分率为． 故答案为：10%． 67．（24-25九上·重庆巴蜀中学教育集团·期中）学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次分别购入A、B两款读物若干本．今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元． (1)求第一批购入A、B两款读物的数量； (2)今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨．学校决定，若A款读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本．因B款读物单价与第一批相同，所以B款读物的购入数量在第一批B款读物的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了5000元，求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数） 【答案】(1)第一批购入A款读物1500本，B款读物300本 (2)A款读物的单价上涨了15元 【详解】（1）解：设第一批购入B款读物x本，则第一批购入A款读物本，根据题意，得 ， 解这个方程，得， ∴． 答：第一批购入A款读物1500本，B款读物300本； （2）解：设A款读物的单价上涨了y元，则购入数量为本，根据题意，得： ， 化简，得， 解这个方程，得（不符合题意，舍去）． 答：A款读物的单价上涨了15元． 68．（24-25九上·重庆渝北区实验中学·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低元 【来源】重庆渝北区实验中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可； （2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：平均下降率为． （2）设单价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：单价应降低元． 69．（24-25九上·重庆南开中学·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变. (1)求2，3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 70．（24-25九上·重庆四川外语学院二外·半期）今年国庆七天长假，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超2268万人次，南山火锅作为重庆美食的代表也吸引了很多吃货游客来打卡，不仅自己现场品尝美食，还会给家人带一些火锅底料．某火锅店十年来一直坚持以每袋24元的价格现场销售火锅底料．据统计自2022年以来，该店火锅底料的销量持续增长，2022年国庆期间销售128袋，到2024年国庆销量达到了200袋． (1)求2023、2024这两年国庆期间销售量的平均增长率； (2)今年国庆节，该店现场销售的同时也将火锅底料按原价销售放到网上销售，一个月网上的销量达到了450袋，为进一步打开市场，该店决定采用降价促销方式，经调查发现，火锅底料每降价1元，月销量将增加60件．已知每袋火锅底料成本为16元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到2760元? 【答案】(1) (2)4元 【来源】重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2024一2025学年上学期 九年级半期质量监测数学试题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程成为解答本题的关键． （1）设月两年国庆期间销售量的平均增长率为x，然后根据题意列一元二次方程即可求解． （2）设当商品降价a元，，则销量为件，然后根据利润单件利润数量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该这两年国庆期间销售量的平均增长率为． （2）解：当商品降价a元时，则销量为件，每袋利润为，依题意得： 解得：，（不合题意舍去） 答：当商品降价4元时，该店网上销售的月利润可达到2760元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01一元二次方程 ☆6大高频考点概览 考点01一元二次方程定义 考点02配方法解一元二次方程 考点03公式法解一元二次方程 考点04因试分解法解一元二次方程 考点05根与系数关系 考点06实际问题与一元二次方程 目目 考点01 一元二次方程定义 1.(24-25九上·重庆合川合阳中学.半期)下列方程是一元二次方程的是() A.x-1=3 B.3x2+y=3 C.x3-2x-4=0 D.(x-1)2+1=0 2.(24-25高一上·重庆涪陵十六中期中)下列方程中，是一元二次方程的是() A.3x3+x=20B.2x2-3y+4=0 c.x2-1=4 D.x2-3x-4=0 3.(24-25九上·重庆巫山高唐初中期中)一元二次方程2x2-3x+6=0的一次项系数是() A.2 B.-3 C.3 D.6 4.(24-25九上·重庆开州初中教育集团期中)下列方程中是一元二次方程的是() A.ar2+br+c=0B.x2-1=2 C.3x2-2x=x3-4D.5x2=0 5.(24-25九上·重庆长寿实验中学期中)下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是() A.x2-1=0 B.2y2+3x-5=0 C.x3+x=3 D.ax2+bx+c=0 6.(24-25九上·重庆合川七校联盟期中)下列方程中是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0B.x2+2x-3=0 C.+g3 D.x-5y=6 7.(24-25九上·重庆渝北区实验中学期中)若xm+1-2=0是关于x的一元二次方程，则m的值是」 8.(2425九上·重庆四川外语学院二外.半期)已知(m-1)xm1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m= 9.(24-25九上重庆南开中学期中)已知(m-1)x州-3x-5=0是一元二次方程，则m=_ 10. (2425九上·重庆南川期中)如果(m-2)xm+x-2=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为， 目目 考点02 配方法解一元二次方程 11.(24-25九上·重庆一中.半期)用配方法解方程x2-2x=5时，原方程应变形为() A.(x+12=6B.(x-1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9 12.(24-25九上重庆南开中学期中)关于x的为一元二次方程x2-4x-6=0,下列配方正确的是() A.(x-2)2=10 B.(x-2)2=2 C.(x+2)2=10 D.(x+2)2=2 13。(2425九上重庆长寿实验申学期中)用配方法解方程2-子x-2=0时，应将其变形为(） c()-8 14.（24-25九上重庆八中期中)用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0,下列变形正确的是() A.（x+4)=15 B.（x-22=3 C.（x+22=3 D.（x-2)2=-3 15.(24-25九上·重庆二十九中.期中)用配方法解一元二次方程x2-4x-5=0的过程中，配方正确的是() A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x-2)=9 16.(24-25九上·重庆渝北区实验中学期中)用配方法解方程x2-10x=1,下列配方正确的是() A.（x-5)2=26B.（x-5)2=24 C.(x+5)2=24 D.（x+5)=26 17.(24-25九上·重庆西南大学附中.期中)用配方法解方程x22x=2时，配方后正确的是() A.（x+1)=3B.（x+1)2=6 C.(x-1=3 D.(x-1)2=6 18.(24-25九上·重庆复旦中学教育集团期中)将一元二次方程x2-2x-3=0化成(x-)2=b的形式，则b 的值为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-2 B.2 C.3 D.4 19.(24-25九上重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校期中)己知方程x2-6x+g=0可以配方成 (x-p)2=7的形式，那么2022p-2022q的值为() A.0 B.1 C.-1 D.2022 目目 考点03 公式法解一元二次方程 20.(24-25九上·重庆合川合阳中学.半期)对于一元二次方程x2-x-1=0的根的情况，描述准确的是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法判定根的情况 21.(24-25九上·重庆渝北区实验中学.期中)关于x的方程2x2-3x-2=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 22.(24-25九上重庆合川七校联盟·期中)已知方程关于x的一元二次方程2-6x+3=0有两个解，则k 的取值范围是() A.k≤3 B.k<3 C.k<3且k≠0 D.k≤3且k≠0 23.(24-25九上重庆巴南期中)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值 范围为() A.m4 5 5 B.m< C.ms3且m1 D.m<且m1 4 4 4 24.(24-25九上重庆育才中学期中)关于一元二次方程2x2+5x-2=0根的情况，下列说法正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 25.(24-25九上·重庆万州二中期中)若关于x的方程x2-6x+m+1=0有两个不相等的实数根，则m的取 值范围是 26.(24-25九上·重庆四川外语学院二外.半期)关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有实数根，则a的 取值范围是 27.(2024-2025重庆九龙坡期中)已知一元二次方程k+3)x2-4x+2=0有实数解，则k的取值范围 是 28.(24-25九上·重庆一中.半期)若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0没有实数根，则k的取值范围 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是 29.(24-25九上重庆江津中学期中)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0有两个不相等的实 数根，则m的取值范围是 30.(24-25九上重庆十一中教育集团期中)如果关于x的方程kx2+3x-1=0有两个不相等的实数根，那 么k的取值范围是 31.(24-25九上·重庆綦江·期中)关于x的一元二次方程-x2+2a-5)x-a2+1=0有两个实数根，则a的 最大整数解是」 32.(24-25九上·重庆江津中学期中)一元二次方程x2-4x+2=0有实数根，则k的取值范围是 33.(24-25九上·重庆江津中学期中)解下列方程 (1)9(x-1)2-4=0: (2)x2-4x+2=0. 34.(23-24九上·重庆江津区12校联盟期中)解方程： (1)3(x-1)2-18=0 (2)2x2-4x-8=0 35.(24-25九上·重庆彭水思源教研共同体五校期中)解方程： (1)(x+1)2-16=0 (2)x2+2x-4=0 目目 考点04 因式分解法解一元二次方程 36.(24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)若等腰三角形的两边是方程x2-6x+8=0的两根，则 此三角形的周长为() A.8 B.10 C.8或10 D.6或8 37.(24-25九上重庆凤鸣山中学教育集团校期中)方程x2-4x=0的解为一· 38.(24-25九上·重庆忠县马灌初级中学期中)已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二 次方程x2-8x+15=0的一个实数根，则该三角形的周长是 39.(24-25九上·重庆南川三校联盟·期中)若直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2-7x+12=0 的两个实数根，则该直角三角形的面积是 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40.(24-25九上重庆万州二中.期中)方程x(x-3)=0的解为」 41.(24-25九上·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则 三角形的周长是 42.（24-25九上重庆万州二中期中)一元二次方程x2-4x-5=0的解是： 43.(24-25九上·重庆江津中学.期中)一元二次方程x2=2x的解为」 44.(24-25九上·重庆南开中学期中)方程x2-3x=0的根为 45.(24-25九上重庆永川中学教育集团期中)解下列方程： (1)x2-5x+6=0 (2)3x(x-1=2(1-x 46.(24-25九上·重庆黔江实验中学期中)解方程： (1)x2-7x+12=0. (2)(x-1)2-(x-1=0. 47.(24-25九上·重庆渝北区实验中学.期中)用适当的方法解下列方程 (1)x2-x-1=0 (2)3x(2x+1)=4x+2 目目 考点05 根与系数的关系 48.(24-25九上·重庆四川外语学院二外.半期)若a,b是方程x2+3x-2024=0的两根，则2a-ab+2b=() A.-2030 B.2030 C.-2018 D.2018 49.(24-25九上·重庆万州二中期中)已知4、b是关于x的一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则代数 式a2+5a+3b=—· 50.(2425九上重庆合川七校联盟期中)已知方程a2-2a-5=1,公-2b-5=1,则2+的值为. "a b 51.(24-25九上重庆朝阳中.半期)设a、b是方程x2+x-2024=0的两个实数根，则(a-1)(b-1)的值为 52.(23-24九上重庆开州区云枫教育集团期中)已知关于x的一元二次方程x2+4x+3=0的两根分别为 11 a,b,则三+5=一 a b 53.(24-25九上·重庆万州二中.期中)如果m,n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根，那么多项式 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2n2-mn-2m的值是 54.(24-25九上重庆凤鸣山中学教育集团校期中)若0，B是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，则 02+30+B的值为. 55.(24-25九上·重庆江津中学.期中)己知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-3m=0. (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为x，为，若x2+x3+4xx2=36,求m的值. 56.(24-25九上重庆一中.半期)已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0. (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根： (2)设x2+x+m-2=0的两个实数根为x1,x2,若y=x+x+4xx2,求出y与m的函数关系式： 57.(24-25九上重庆四川外语学院二外.半期)已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1x+k2+k=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若(x1-2)(x2-2)=6,求k的值 58.(24-25九上·重庆南开中学期中)已知关于x的一元二次方程x2-3x+2a+1=0有两个不相等的实数 根. (1)求实数a的取值范围； (2)若a为符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-3x+2a+1=0的两个根为X,x2,求xx2+xx的值 目目 考点06 实际问题与一元二次方程 59.(24-25九上·重庆合川合阳中学.半期)某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万 元，如果平均每月的增长率为x,则由题意列方程为() A.200(1+x)2=288 B.2001+2x=288 C.200+2x=288 D.200+200(1+x）+200(1+x)2=288 60.(24-25九上·重庆巴蜀中学教育集团期中)如图，某小区规划在一个长16m,宽9m的矩形场地ABCD 上修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面 积为112m2,设小路的宽为m,那么x满足的方程是(） / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.2x2-25x+16=0 B.x2-25x+32=0 C.x2-17x+16=0 D.x2-17x-16=0 61.(24-25九上重庆高新区中学联盟·期中)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具.据高新区某品 牌电动自行车经销商2024年8月至10月的统计，该品牌电动自行车8月份销售120辆，10月份销售200辆. 若设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x,则根据题意，以下所列方程正确的是() A.20(1+x=200 B.120(1+2x=200 C.1201+x)2=200 D.120+120(1+x)+1201+x)2=200 62.(23-24九上重庆梁平梁山初中教育集团期中)电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息 相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按 相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x,则方程可以列为() A.3(1+x=10 B.31+x)2=10 C.3+31+x)2=10 D.3+31+x)+31+x)2=10 63.(24-25九上重庆秀山新星初中期中)据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的 参观人数为14.4万人.设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为 64.(24-25九上·重庆荣昌初级中学.期中)某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增 长，预计八月份将提供岗位2500个.设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意， 可列方程为一 65.(24-25九上·重庆巫山初级中学期中)中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司2022 年盈利4000万元，2024年盈利6760万元，且从2022年到2024年，每年盈利的年增长率相同.设每年盈 利的年增长率为x,则列方程得一 66.(24-25九上·重庆九龙坡四川外国语大学附属外国语学校·期中)某超市销售某种礼盒，因销量不好， 经过两次降价后，价格由原来的300元调整为243元，则平均每次降价的百分率为 67.(24-25九上·重庆巴蜀中学教育集团期中)学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次 分别购入A、B两款读物若干本，今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读 / 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元. (1)求第一批购入A、B两款读物的数量； (2)今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨.学校决定，若A款 读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本.因B款读物单价与第一批相同， 童在第一批款读物的基础上增加，最终花费的总资金 求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数） 68.(24-25九上·重庆渝北区实验中学期中)某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元 /件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件. (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率. (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件.为 了减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144 元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 69.(24-25九上·重庆南开中学期中)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2， 3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2,3两个月的销售量 月平均增长率不变， (1)求2,3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种 台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800 元？ 70.(24-25九上·重庆四川外语学院二外.半期)今年国庆七天长假，重庆作为热门旅游城市接待国内游客 超2268万人次，南山火锅作为重庆美食的代表也吸引了很多吃货游客来打卡，不仅自己现场品尝美食，还 会给家人带一些火锅底料.某火锅店十年来一直坚持以每袋24元的价格现场销售火锅底料.据统计自2022 年以来，该店火锅底料的销量持续增长，2022年国庆期间销售128袋，到2024年国庆销量达到了200袋. (1)求2023、2024这两年国庆期间销售量的平均增长率； (2)今年国庆节，该店现场销售的同时也将火锅底料按原价销售放到网上销售，一个月网上的销量达到了450 袋，为进一步打开市场，该店决定采用降价促销方式，经调查发现，火锅底料每降价1元，月销量将增加 60件.已知每袋火锅底料成本为16元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到2760元？