专题02 勾股定理及应用（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理及应用 ☆5大高频烤点概览 考点01 勾股数 考点02 利用勾股启理解直角三角形 考点03 勾股定理相关折叠问题 考点04 勾股定理面积相关问题 考点05 用勾股定理解决实际问题 目目 考点01 勾股数 1.(24-25八上重庆荣昌宝城初中期中)下列各组数中，是勾股数的一组为() A.2,2,5 B.1,,2 C.4,5,6 D.6,8,10 2.(24-25八上·重庆綦江中学期中)在下列四组数中，属于勾股数的是() A.1,2,3 B.1,√2,5 C.4,5,6 D.5,12,13 3.(24-25八上重庆铜梁华兴实验学校期中)下列各组数据中是勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.1,2,3 C.4,5,7 D.5,12,13 4.(24-25八上·重庆渝北松树桥中学期中)下列四组数中，不是勾股数的是() A.3,4,5 B.5,6,7 C.7,24,25 D.9,12,15 5.(24-25八上·重庆育才中学教育集团半期)下列各组数是勾股数的是() A.1,2,3 B.4,5,6 C.6,8,10 D.8,15,16 目目 考点02 利用勾股定理解直角三角形 6.(24-25八上·重庆南开中学期中)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，第三边长是() A.5 B.√万 C.7 D.5或√ 7.(24-25八上·重庆巴蜀中学期中)若直角三角形的两直角边长分别为m,n,且满足 V《m-3)2+n-4=0,则该直角三角形的第三边长为() A.3 B.4 c.万 D.5 8.(24-25八上·重庆两江育才中学期中)一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三 边的长为 9.(24-25八上·重庆长寿中学期中)若在△ABC中，AB=26,AC=30,高AD=24,则BC的长为 面学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 10.(24-25八上·重庆南开中学.期中)已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为」 11.(24-25八上·重庆长寿中学期中)已知直角三角形的斜边长为10，面积为24，则这个直角三角形的周 长为一 12.(24-25八上·重庆南川三校联盟期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,且AB=13, BC=12,则CD长为 B∠ D 13.(24-25八上·重庆复旦中学教育集团期中)已知直角三角形的两边长分别为4、6.则第三边长为 14.(24-25八上·重庆实验外国语·期中)已知在ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长 为 15.(24-25八上·重庆石柱一中期中)如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90° ,D是BC上一点，连接CE.若AB=4√2，CE=3,则DE的长度为· 目目 考点03 勾股定理相关折叠问题 16.(24-25八上·重庆八中.半期)如图，将直角边AC=6cm,BC=8cm的直角ABC纸片折叠，使点B与 点A重合，折痕为DE,则CD等于() A(B) 4m B.7cm c cm D.2cm 4 5 17.(24-25八上·重庆南岸珊瑚中学教育集团·期中)把正方形ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开， 折痕为MN,再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE,若AB长为4，则EF的长为() / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 A B M A.43-6 B.4-2V3 C.8-43 D.4V6-4v2 18.(24-25八上·重庆九十五中.半期)如图所示，长方形纸片ABCD中，AB=5cm,BC=10cm,现将其 沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为() D B 25 A.3cm B.2√5cm C.5cm D. cm 4 19.(24-25八上·重庆实验外国语期中)如图，有一张直角三角形纸片， ∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,现将ABC折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE,则CE的长为() B D E A2- A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 20.(24-25八上·重庆九十四中期中)如图，已知ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4,点E为AC上 一点，且CE=I,点D为边AB上一点，连接DE,将ADE沿DE折叠得到△A'DE,若E的延长线恰好经 过点B,则AD=一 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 21.(24-25八上·重庆巴蜀中学.半期)已知：如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点E处， 己知AB=6cm,BC=10cm,则CF=」 cm A D B E C 22.(24-25八上重庆潼南区·期中)如图，矩形ABCD的长AD=9cm,宽AB=3Cm,将其折叠，使点D与 点B重合 C E (1)求折叠后DE的长； (2)求重叠部分△BEF的面积. 目目 考点04 勾股定理面积相关问题 23.(24-25八上·重庆铜梁华兴实验学校期中)如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别 为S,S2,S,且S=7,S2=9,则AB的长为() S3 S2 B A.2 B.4 C.8 D.16 24.(24-25八上重庆沙坪坝期中)如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若 正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为() / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8 B.9 C.10 D.11 25.(24-25八上·重庆万州二中教育集团期中)勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一.如图，以 Rt△ABC(∠ACB=90)的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大 的正方形中，重叠部分的面积记作S,左下不重叠部分的面积记作S2,若S,=3,则S,的值是() A B S2 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 26.(24-25八上·重庆南岸珊瑚中学教育集团期中)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正 方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E 的面积是() B A D A.15 B.61 C.69 D.72 27.(24-25八上·重庆八中.期中)己知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的 面积是() A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 28.(24-25八上·重庆松树桥中学期中)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的面积分别是35、2、3，则正方形E的面积是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.13 B.11 C.8 D.6 29.(24-25八上重庆凤鸣山中学教育集团校期中)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直 角边长分别为m,n(m>n)·若小正方形面积为5，(m+n)=21,则大正方形面积为 30.(24-25八上重庆西南大学附中.期中)著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长 都为Q,较小的直角边长都为b,斜边长都为©)，大正方形的面积可以表示为2，也可以表示为 由此推出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为☑ a2+b2=c2. b 图① 图② 图③ 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,AB=AC,由于某种原 因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条 直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少 多少千米？ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【问题拓展】 (3)△ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,CH⊥AB,垂足为H,请直接写出CH的值. 31.(24-25八上重庆长寿中学期中)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的 证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.证 法如下：把两个全等的直角三角形(Rt△ABC≌Rt△DAE)如图放置，∠DAB=LB=90°，点E在边AB上， 现设Rt△ACB两直角边长分别为CB=b、AB=a,斜边长为AC=c. A a-b Bb (1)证明AC⊥DE. (2)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理. 32.(24-25八上·重庆大足区邮亭中学&五校期中)如图，已知CD=4,AD=3,∠ADC=90°，BC=12, AB=13. C D B (I)求AC的长 (2)求图中阴影部分图形的面积. 目目 考点05 用勾股定理解决实际问题 33.(24-25八上·重庆九十五中.半期)如图，长方体的长AB为6cm,宽BC为5cm,高CG为4cm,若一 只蚂蚁要沿着长方体的表面从AE的中点P爬到GH的中点Q,那么它需要爬行的最短路程是() H A.5√2cm B.217cm C.58cm D.2√13cm 34.(2425八上·重庆南岸珊瑚中学教育集团·期中)如图，己知圆柱的底面周长为36，高AB为9，点P 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 位于顶面半圆？处，小虫在圆柱侧面爬行，从4点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回4点.小虫爬行 的最短路程为 35.(24-25八上·重庆秀山新星中学期中)如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发， 沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是() A.7 B.√41 C.4+V3 D.3+25 36.(24-25八上重庆开州文峰教育集团期中)如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断， 树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是()米 A.√万 B.5 C.8 D.7 37.(2425八上·重庆八中期中)如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间而变形，中 间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为】6m,已知AB+BF-17m,BC=10m,一只妈蚁从4点 爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程. D 38.(24-25八上·重庆缙云教育联盟期中)如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、 2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚊，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬行到点B的最短路程为dm. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 39.(24-25八上·重庆兼善中学期中)如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上， 梯子底端距离墙ON有3米， B M D M (1)求梯子顶端与地面的距离OA的长. (2)若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离. 40.(24-25八上重庆文德实验中学期中)新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲 车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵， 防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心.某镇政府采用了宣讲车进行宣传动 员，如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距 离分别为600m、800m,且AB=1000m,宣讲车周围500m以内能听到广播宣传， B (1)求∠ACB的度数. (②)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由 (3)如果能听到，己知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿AB方向行驶中，村庄C一共能听到 多少分钟的宣传？ 41.(2425八上·重庆南川区三校联盟·期中)如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已 知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km,且A、B两村相距13km. B 河边 (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少 元？ 42.(24-25八上·重庆巴川中学期中)小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE, 他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. B E (1)求风筝的垂直高度CE; (2)如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，√5≈1.73√2≈1.41） 43.(24-25八上·重庆十一中教育集团期中)如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉 小明，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质 平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD=2米，AD=15米， B A (I)小明猜想立柱AB的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立 柱AB的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF,经测量DE=3米，请你求出要焊接的钢索BF的 长的平方 44.(24-25八上·重庆长寿川维中学.期中)如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断， 顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m. 专题02 勾股定理及应用 5大高频考点概览 考点01 勾股数 考点02 利用勾股定理解直角三角形 考点03 勾股定理相关折叠问题 考点04 勾股定理面积相关问题 考点05 用勾股定理解决实际问题 地 城 考点01 勾股数 1．（24-25八上·重庆荣昌宝城初中·期中）下列各组数中，是勾股数的一组为（    ） A．2，2， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10 【答案】D 【详解】解：A、不是正整数，不符合题意； B、不是正整数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八上·重庆綦江中学·期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意， 故选：D． 3．（24-25八上·重庆铜梁华兴实验学校·期中）下列各组数据中是勾股数的是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、由题可知，三个数都不是正整数，故不符合题意； B、由题可知，数不是正整数，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 4．（24-25八上·重庆渝北松树桥中学·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八上·重庆育才中学教育集团·半期）下列各组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．8，15，16 【答案】C 【详解】解：A、，1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意； D、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八上·重庆南开中学·期中）已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ）地 城 考点02 利用勾股定理解直角三角形 A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 7．（24-25八上·重庆巴蜀中学·期中）若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， ∵，是直角三角形的两直角边， ∴直角三角形的第三条边长为． 故选D． 8．（24-25八上·重庆两江育才中学·期中）一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为 ． 【答案】5 【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为， 故答案为：5． 9．（24-25八上·重庆长寿中学·期中）若在中，，，高，则的长为 ； 【答案】或 【详解】解：如图，   为边上的高， ， 在中，， 在中，， 当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，， 的长为或． 故答案为：或． 10．（24-25八上·重庆南开中学·期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ． 【答案】5或 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 11．（24-25八上·重庆长寿中学·期中）已知直角三角形的斜边长为10，面积为24，则这个直角三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：设两直角边的长分别为a，b， ∵该直角三角形的斜边长为10， ∴由勾股定理得， ∵该直角三角形的面积为24， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）， ∴这个直角三角形的周长为， 故答案为：． 12．（24-25八上·重庆南川三校联盟·期中）如图，在中，，于，且，，则长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八上·重庆复旦中学教育集团·期中）已知直角三角形的两边长分别为4、6．则第三边长为 ． 【答案】或/或 【详解】解：当边长为6的边为直角边时，则第三边长为， 当边长为6的边为斜边时，则第三边长为， 综上所述，第三边长为或， 故答案为；或． 14．（24-25八上·重庆实验外国语·期中）已知在中，，高．则的长为 ． 【答案】或 【详解】解： 如图所示，共有两种情况， 当在点左侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 当在点右侧时，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：或． 15．（24-25八上·重庆石柱一中·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，D是BC上一点，连接CE．若，，则DE的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 16．（24-25八上·重庆八中·半期）如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ）地 城 考点03 勾股定理相关折叠问题 A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市第八中学校2023-2024学年八年级上学期半期模拟数学试题 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 17．（24-25八上·重庆南岸珊瑚中学教育集团·期中）把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市南岸区珊瑚中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可求的长，进而可求的长，再利用勾股定理可求的长． 【详解】解：由折叠可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 18．（24-25八上·重庆九十五中·半期）如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合， ∴，，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：． 即的长为． 故选：D． 19．（24-25八上·重庆实验外国语·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，现将折叠，使边与重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市实验外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长度，再由折叠的性质可得，设，然后在中利用勾股定理即可求出x的值． 【详解】解：∵， ， 由折叠可知， 设，则， 在中， ， ， 解得：， 故选：B． 20．（24-25八上·重庆九十四中·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 21．（24-25八上·重庆巴蜀中学·半期）已知：如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点E处，已知，则 cm． 【答案】 【详解】解：由长方形的性质可知，， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确求出是解题的关键． 22．（24-25八上·重庆潼南区·期中）如图，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合． （1）求折叠后DE的长； （2）求重叠部分△BEF的面积． 【答案】（1）折叠后DE的长为5cm；（2）重叠部分△BEF的面积为7.5cm2． 【详解】解：（1）设DE=xcm． 由翻折的性质可知DE=EB=x，则AE=（9-x）cm． 在Rt△ABE中，由勾股定理得；BE2=EA2+AB2，即x2=（9-x）2+32． 解得：x=5． DE的长为5cm； （2）由翻折的性质可知∠DEF=∠BEF． ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD． ∴∠BFE=∠DEF． ∴∠BFE=∠FEB． ∴FB=BE=5cm． ∴△BEF的面积=×BF×AB=×5×3=7.5cm2． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得△BEF为等腰三角形，从而得到FB的长是解题的关键． 23．（24-25八上·重庆铜梁华兴实验学校·期中）如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为（    ）地 城 考点04 勾股定理面积相关问题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的三边为边向外作正方形， ，得 ， 可得． 故选：B 24．（24-25八上·重庆沙坪坝·期中）如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ∴， 故选：D． 25．（24-25八上·重庆万州二中教育集团·期中）勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若，则的值是（　　）    A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：设的直角边，，． ∴， ∵面积为的矩形的长和宽分别是，， ∴， ∵面积为的正方形的边长是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 26．（24-25八上·重庆南岸珊瑚中学教育集团·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（    ）    A．15 B．61 C．69 D．72 【答案】B 【详解】解：如下图：    由勾股定理可知：， ∴， ∴． 故选：B． 27．（24-25八上·重庆八中·期中）已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 【答案】A 【详解】解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 故选A 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定的值． 28．（24-25八上·重庆松树桥中学·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省广州市花都区秀全外国语学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试题 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 29．（24-25八上·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．    【答案】13 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． 故答案为：13． 30．（24-25八上·重庆西南大学附中·期中）著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3） 【详解】[结论探究] （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； [结论应用]（2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； [问题拓展]（3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 31．（24-25八上·重庆长寿中学·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形（）如图放置，，点E在边上，现设两直角边长分别为，斜边长为． (1)证明． (2)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，三角形内角和定理： （1）根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理证明，据此可证明结论； （2）分别求出梯形的面积，的面积，四边形的面积，根据图形面积之间的关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：， ， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴． 32．（24-25八上·重庆大足区邮亭中学&五校·期中）如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13． (1)求AC的长． (2)求图中阴影部分图形的面积． 【答案】(1)AC＝5 (2)24 【详解】（1）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， 由勾股定理，得：AC＝＝＝5； ∴AC的长为5． （2）∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴图中阴影部分图形的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24． 33．（24-25八上·重庆九十五中·半期）如图，长方体的长为，宽为，高为，若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从的中点爬到的中点，那么它需要爬行的最短路程是（    ）地 城 考点05 用勾股定理解决实际问题 A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年八年级上学期半期检测数学试题 【详解】解：按照上面和左面展开，如下，过作于点 ∴， ∴， 按照正面和上面展开，如图3， ∴，， ∴ ∵ ∴需要爬行的最短距离是， 故选：A． 34．（24-25八上·重庆南岸珊瑚中学教育集团·期中）如图，已知圆柱的底面周长为36，高为9，点P位于顶面半圆处．小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回A点．小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】 【来源】重庆市南岸区珊瑚中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵P点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故答案为：． 35．（24-25八上·重庆秀山新星中学·期中）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是6和3， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短． ∵ ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故选：B． 36．（24-25八上·重庆开州文峰教育集团·期中）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（    ）米 A． B．5 C．8 D．7 【答案】C 【详解】解：米，米，， 折断的部分长为（米）， 折断前高度为（米）． 故选：C． 37．（24-25八上·重庆八中·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【来源】重庆市第八中学校2024－2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 38．（24-25八上·重庆缙云教育联盟·期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 【答案】17 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 39．（24-25八上·重庆兼善中学·期中）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．    (1)求梯子顶端与地面的距离OA的长． (2)若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离． 【答案】(1)4米 (2)1米 【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，米，米， ∴AO＝＝4（米）， 答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米． （2）解：∵（米），米， ∴OD＝＝4（米）， ∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容，如果一个直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么． 40．（24-25八上·重庆文德实验中学·期中）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． (3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】(1) (2)宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由见解析 (3)村庄C一共能听到分钟的宣传． 【详解】（1）解：∵村庄C到A、B两站点的距离分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∵， ∴宣讲车P宣传时，村庄C能听到； （3）解：如图所示，在上取两点E、F使得，连接， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ∵分， ∴村庄C一共能听到分钟的宣传． 41．（24-25八上·重庆南川区三校联盟·期中）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)60000元 【详解】（1）解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过点作直线的垂线，过作直线的平行线，设这两线交于点，则．过作于， 依题意：，， ， （负值已舍去）， 由题意得：， ，， ， （负值已舍去）， ， ， 答：最节约铺设水管的费用为60000元． 42．（24-25八上·重庆巴川中学·期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【答案】(1)米 (2)他应该往回收线6米 【详解】（1）解：由题意可知：米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去)， 米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，    ∴此时的(米)， 即此时在中，米，有(米)， 相比下降之前，缩短长度为(米)， ∴他应该往回收线6米． 43．（24-25八上·重庆十一中教育集团·期中）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 【答案】(1)不正确的，10米 (2)388 【详解】（1）解：小明的猜想是不正确的；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 焊接的钢索BF的长的平方为388． 44．（24-25八上·重庆长寿川维中学·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 45．（24-25八上·重庆育才中学·期中）“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 【答案】(1)米 (2)他应该放出8米 【详解】（1）解：∵米，米 ∴根据勾股定理可得（米）， 由题可知，米， ∴米； （2）解：根据勾股定理可得：放出后（米）， 即他应该放出8米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 46．（24-25八上·重庆巴南·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】(1)海里 (2)最多能收到29次信号 【详解】（1）由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．    ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 47．（24-25八上·重庆铜梁巴川初中·半期）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；（2）能，理由见解析 【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ， 是直角三角形 着火点C受洒水影响 （2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点 则 在中， 着火点C能被扑灭． 48．（24-25八上·重庆南开中学·期中）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上． 【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°． ∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1． 答：A、C两地之间的距离为14.1km． （2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°， ∴C港在A港北偏东15°的方向上． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $