专题03 勾股定理综合压轴 11大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题03 勾股定理综合压轴 11大高频考点概览 考点01 勾股定理相关的分类讨论问题 考点02 折叠问题与勾股定理 考点03 手拉手全等模型与勾股定理 考点04 一线三等角模型与勾股定理 考点05 倍长中线与勾股定理 考点06 半角模型与勾股定理 考点07 顶角旋转模型与勾股定理 考点08 新定义问题与勾股定理 考点09 勾股定理相关的动点问题 考点10 垂美四边形与勾股定理 考点11 利用勾股定理构图求最值 地 城 考点01 勾股定理相关的分类讨论问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，      当为直角三角形时， 即 解得，， 同理可得：当时， 由勾股定理得，      ∴ ∴ 解得： 当时， 由得： 解得： 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 2．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ， ， ∴点三点共线， ， 由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 当时， ， ， ； 不可能为， 综上，或． 故答案为：或． 3．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．根据条件求出：，分两种情况讨论：当时；当时；分别求解即可． 【详解】解：由题意得：， 当是以为腰的等腰三角形时， 若，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图， 则在中，， 解得：； 故答案为：或． 4．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，是直角三角形．      【答案】或8 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作于点D，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当点P运动到与点D重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当P运动8秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 5．(23-24八上·辽宁铁岭·期中)如图，在中， ，，点是边上一动点，连接将沿着线翻折后得，当时，的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质；作于，勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，进而求得．分两种情形分别画出图形，勾股定理解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：如图中，作于． ，，， ， ， ， ， ， ， ． 如图中，当点在上时同理可得 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 6．(23-24八上·辽宁沈阳大东区·期中)Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 【答案】3.6或4.32或4.8 【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4， ∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6． 沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： ①当AB=AP=3时，如图1所示， S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6； ②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示， 作△ABC的高BD，则BD=， ∴AD=DP==1.8， ∴AP=2AD=3.6， ∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32； ③当CB=CP=4时，如图3所示， S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8； 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8， 故答案为3.6或4.32或4.8．    【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键． 7．(23-24八上·辽宁沈阳东北育才学校·期中)如图，中，，，，点是射线上一点，连接，将沿翻折得到，当直线与射线垂直时，的长为 ．    【答案】1或5 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】分两种情况画图，根据勾股定理可得，再根据三角形面积可得，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：①设直线与射线垂直于点，    在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 由折叠可知：，， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得． ②直线与射线垂直于点，    由①可知：， ， ， 由折叠可知：，， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得． 综上所述：的长为1或5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 地 城 考点02 折叠问题与勾股定理 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上． (1)如图1，当折痕的另一端点在边上时， ①求线段的长； ②的面积为________； (2)如图2，当折痕的另一端点在边上时，，折痕的长为________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了勾股定理，矩形与折叠问题，菱形的性质与判定； （1）①先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出的长，进而利用勾股定理求出的长， ②设，在中，，勾股定理求得，则，再利用三角形的面积公式即可得出的面积； （2）先根据折叠的性质得出，，根据矩形的性质及平行线的性质得出，即可得出四边形是菱形，再利用菱形性质求出的长． 【详解】（1）解：①如图1过作，则四边形是矩形，则 设，则， 在中，，又 解得： ， ② ，， 设，则 在中， ∴ 解得： ∴， 故的面积为： ； 故答案为：． （2）如图2，过作于，连接， 四边形是矩形 ， ∴， 四边形是平行四边形 由折叠性质知，，，， ∴， ∴， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ． 故答案为：． 2．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 3．(23-24八上·辽宁朝阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C的坐标分别是和，E为C点左侧x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，求的长（提示：点E可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上） 【答案】或 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理．分点在轴正半轴上和点在轴负半轴上，两种情况，进行求解即可．解题的关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 【详解】当点在轴正半轴上时，如图：设交轴于点，则：四边形均为长方形， ∵长方形的顶点A、C的坐标分别是和， ∴，，， ∵翻折， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即：， ∴，即：； 当点在轴负半轴上时：如图 同法可得， ∴， 设，则， 在中，， 即：， ∴，即：， 综上：或． 地 城 考点03 手拉手全等模型与勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论为①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁阜新市太平区第四中学·期中)如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接． (1)求证： (2)试说明 (3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的值为或3或或1 【分析】（1）根据等腰直角得出，，结合可证，然后根据“”证明即可得出； （2）由（1）知，则，由可得，可知，由勾股定理可得，，即可得证； （3）分四种情况：①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，结合全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，则， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 由勾股定理可得：， 又∵是等腰直角三角形，则，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ①当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 由（1）（2）可知，，， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去），即：， ∴； ②当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， ∵，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 则， 即 解得：，负值舍去； ③当点在的延长线上，且等腰直角在上方时，连接， 同理，可得，，， 则， 即， 解得：，负值舍去； ④当点在的延长线上，且等腰直角在下方时，连接， 同理，可得，，， 则， ∴ 解得：， ∴； 综上所述，的值为或3或或1． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等，通过“”证明三角形全等是解题的关键． 3．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：    (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可证，进而由勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 4．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．    (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2， ①求证：； ②若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，② 【分析】（1）证明，即可解决问题； （2）①先由全等三角形的性质和三角形的外角性质，证出； ②由勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：，都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ； （2）①证明：由（1）得：， ， ； ②解：，， ， 在中，由勾股定理得： ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握相关知识． 5．(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图，在等腰中，，，点F是直线上一个动点，作等腰，且，连接． (1)写出图中全等三角形______． (2)如图，求证：； (3)若，求______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的综合运用． （1）先证，从而得证； （2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论； （3）中，勾股定理求得，得，分情况得，进而得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． 又，， ； 故答案为：； （2）证明： ， ，， 在等腰中，， ， ， ， ； （3）解：在等腰直角中，， ， ， 当在线段上时，如图， ∵， ， ， ， ； 当在射线上时，如图， 同理可证， ，， ， ， ∵， ； 故答案为：或． 6．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)四边形是正方形，且，，点是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（、、、四个点按照逆时针方向排序），连接，，直线与直线交于点． (1)如图1，当点在线段上时，探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时，连接，直接写出的长度； (3)若，则点到的距离为_______． 【答案】(1)，；理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，可得，，再利用角度之间的互余关系即可证明结论； （2）同（1）可知，，，，则，过点作，，连接，进而可知，则平分，则为等腰直角三角形，得，结合正方形的性质，结合勾股定理可得，再根据等面积法求得即可求解； （3）分两种情况：点E在点A左侧或右侧，由正方形的性质证明，过点作于点，过点作于点，由勾股定理求出，的长，即为的长，证明，可得，由勾股定理列出方程，可求的长，即可得点到的距离． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形、是正方形， ∴，，，， 则，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：； （2）同（1）可知，，，， 则， 过点作，，连接， ∵，， ∴，则平分， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，，，则， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， 当点E在线段上时，如图，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ∴，， ， ∵， ， ， ，， ， ∵，， ， ， ，， ， ， 点到的距离； 当点E在点A右侧时，如图，过点F作于点N，过点C作于点M， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F到的距离， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 7．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解] 如图①，分别以的边，为边向外作等腰直角和，，，．连接、，问与有怎样的等量关系，并说明理由； (2)[深入探究] 如图②，连接DE，若，，______； (3)[实际应用] 如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得，，，米，米，的长为______． 【答案】(1)相等 (2)680； (3)米 【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证； （2）过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G， 根据勾股定理，三角形的全等判定和性质，完全平方公式解答即可． （3）作等腰直角，使得，，利用三角形全等，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G， 根据勾股定理，得 ； ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：680． （3）解：作等腰直角，使得，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 8．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 9．(24-25八上·辽宁丹东第五中学·期中)已知：在中，，．    【初步发现】（1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_________________________． 【深入研究】（2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】（3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）或 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点D在线段上时，如图，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②当点D在线段的延长线上时，如图，    由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理根据知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 地 城 考点04 一线三等角模型与勾股定理 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，直线过等腰三角形顶点B，其中点A到直线的距离是2，长，则点C到直线的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理和等腰直角三角形的性质，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键． 过点A作直线l交直线l于点D，点C作直线l交直线l于点E，证明，推出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作直线l交直线l于点D，点C作直线l交直线l于点E， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵直线l，直线l ∴， ∴ 则 ∴ 则 ∵长， ∴设， 则 解得（负值舍去） ∵点A到直线l的距离是2， ∴ 那么， 即 ∴点C到直线l的距离是3， 故答案为：3． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁本溪·期中)【综合与实践学习】： 阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题：             (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） (3)如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析 (2)米 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质,勾股定理． （1），证明即可求证； （2）过A作，过B作，易证，得出，，由题意知，则，，即即可求出，从而求出； （3）过D作交的延长线于点F，易证，得出，，进而得出，，结合即可求证． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）过A作，过B作，如图： 同理可证， ∴，， 由题意知，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴（米）． （3）证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 地 城 考点05 倍长中线与勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，于点，于点，点是中点，若，则的长是（   ）    A．10 B．12 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于，利用得出，从而得到，再用全等三角形的判定定理证出，利用全等三角形的性质得到和的长，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长交于，   ， ， ， ， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在中，， ． 故选：B． 二、填空题 2．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，E，F分别是边上的点，且，，．则 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．延长至点，使得，连接，，易证，可得，，可证明，再根据线段垂直平分线的性质可得，即可求得的长，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接，，    在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 3．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，， 在中，①，①． 化简得，． ，，∴②．． ． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 【答案】（1）①；②；（2）证明过程见详解；（3）9 【分析】（1）观察推理过程可得答案； （2）仿照（1）可得； （3）延长到，使，连接，，可得，证明，知，，由为锐角，可得，故，从而得长的最大整数值为9． 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ； 故答案为：；； （2）； 证明如下：过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ， ， ， ； （3）延长到，使，连接，， 如图： ，， 是的垂直平分线， ， 为中点， ， 又，， ， ， 为锐角， ， 即为钝角， 由（2）的结论得：， ， ， 长的最大整数值为9． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 4．(24-25八上·辽宁铁岭昌图县七家子中学·期中)【特例研究】 (1)在中，点D是的中点， ①如图 1，点F是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接，求证： 且； ②如图 2，若，，的取值范围为 ． (2)【拓展延伸】 如图3，线段，过点B作一条射线，使得，动线段在射线上运动（点E在点F的下方），且，点D是 的中点，连接． ①请求出的最小值； ②当等于多少时，？请说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）①证明，利用全等三角形的性质，平行线的判定解答即可． ②延长到点Q；使，连接，证明，根据三角形三边关系定理，解答即可． （2）①延长至点N，使得，连接；作，垂足为H，根据等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解答即可． ②利用等腰直角三角形的性质，判定腰相等，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①证明：∵ 点D是的中点， ∴， 在和中，      ∴， ∴，， ∴； ②解：延长到点Q，使，连接． ∵ 点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， 故． 故答案为：． （2）解：①延长至点N，使得，连接；作，垂足为H ∵ 点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，（等号成立时，动点E和定点H重合） ∴， ∴的最小值为． ②当时，如上图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5．(24-25八上·辽宁铁岭昌图县七家子中学·期中)如图1，在中，，是中线． (1)求证：； (2)如图2，若，于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系即可证明结论成立； （2）如图，延长至，使，连接，作于点，在上截取点，使，连接，证明和，推出，，得到，，由，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，作于点，在上截取点，使，连接， 同理， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的外角性质，三角形三边有关系．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 6．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． （1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：点是线段，的中点， ，， 在与中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，如图：   是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图：   为的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 7．(24-25八上·辽宁抚顺·期中)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【详解】解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 8．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)【问题初探】 （1）数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，为的中点，求中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下解题思路： 如图2，延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围是__________． 【类比分析】 （2）老师发现小明的解法运用了转化思想，当题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的条件集中到同一个三角形中．为了帮助学生更好地感语转化思想，老师在图1条件不变的情况下，增加如下条件，并提出新问题，请你写出解答过程． 如图3，点在上，连接．若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在图1条件不变的情况下，，，交边于点，交边于点，连接．若，求的长． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识： （1）延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围； （2）延长至点，使，连接．证明得 ,从而可得结论； （3）延长到点G，使，连结，证明,得，推出，由勾股定理得,设，则代入上式求出x的值即可解决问题 【详解】（1）如图2，延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ 又 ∴ ， ∴ 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： （2）延长至点，使，连接 同（1）可证, ∴ , ∵ ∴ ∴ ∴； （3）延长到点G，使，连结， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴, 设，则， ∴， 解得，， ∴． 9．(23-24八上·辽宁丹东振兴区第五中学·期中)在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：； (2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理． （1）利用“”证明，即可得证结论； （2）延长至点M，使，延长交于G，连接，，由（1）同理可得，得到，，由，，可得，从而有，证得，进而根据得到，得证． 【详解】（1）在和中， ∴， ∴ （2），理由如下： 延长至点M，使，延长交于G，连接，， 在和中， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 10．(23-24八上·辽宁铁岭·期中)（1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，连接．①试猜想线段、、之间的数量关系　　．（不用证明） ②猜想AE与BE有怎样的位置关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点F在线段上，，取中点G，连接，若，，，线段的长为　　． 【答案】（1）；（2）AB＝AD+BC，详见解析；②AE⊥BE，详见解析；（3） 【分析】（1）延长至，使，连接，证，再根据三角形三边关系得出结论即可； （2）①延长，交于点，证，即可得出结论； ②由①知，，得，又，根据等腰三角形的性质得出结论即可； （3）延长交的延长线于点，证，得，作于点，根据特殊直角三角形的性质得出的长即可． 【详解】解：（1）延长至，使，连接， 是边上的中线， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）①如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②， 理由：， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点是的中点， ， 作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键． 地 城 考点06 半角模型与勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，四边形中，，且 ，则的长度是（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定，在上取一点G，使，然后证明可得，；然后再证明可得，设，即，，最后在运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：在上取一点G，使， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 设，即， 在中， ∴，解得：． ∴， 故选A． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)在等腰直角． (1)如图1，D，E是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②当时，求的长． (2)如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当时，则________________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质，用勾股定理解三角形等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路． （1）①先证，再利用全等三角形的判定定理即可求证； ②证，进而在中利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，即可求解． 【详解】（1）①证明：如图1中，    由题意得，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ，， ， ， 在和中， ， ． ②解：如图1中，设，则． ∵，， ， ， ， ， ， ∴在中，，， ∴，解得， ∴． （2）解：当点在线段上时，如图2中所示，连接：   ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接：    同法可证是直角三角形， ， ， 故答案为：或． 3．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）；（2）；理由见解析（3）12.5 【分析】（1）延长到点G，使，连接，先根据证明得，再证明可得，即可得出结论； （2）将绕点C逆时针旋转得，连接，可证，得，可证是直角三角形，即可得出结论； （3）过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，先证，可得，再证，可得,由勾股定理可得长，再求四边形面积，即可求得结论． 【详解】（1）解：结论是：，理由如下： 延长到点G，使，连接， ， ， 在和中 ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 将绕点C逆时针旋转得，连接，   ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在中，， ， ． （3）解：过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，   ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 四边形面积=四边形面积=． 【点睛】本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)如图，在中，，，点是线段上一动点，连接，过点A作，且，连接，作平分交于． (1)写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）利用先证明，结合等腰三角形性质证出，由勾股定理得，再证得，即可解决问题； （2）过A点作于，根据，，由（2）可知，可以得出，又因为，，所以，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明： ，理由如下： 连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过A点作于， ∵，， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∴． 5．(23-24八上·辽宁丹东·期中)通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系    (1)思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论； （2）作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，证明，求出，，继而得到，过A作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质求出，可得，利用勾股定理可得． 【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ， 即点、、共线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）如图2，，理由是： 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，    由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，    由旋转得：，，， ，， ， ， ， ，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 过A作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 6．(23-24八上·辽宁大连·期中)问题初探 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点D，E在BC边上，且，则用等式表示线段之间的数量关系是______；    ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据三角形全筹和勾股定理知识得到线段之间的数量关系______；    ②小强同学经过分析后，将、分别沿，进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系 ______； 请你根据上述两名同学的分析写出用等式表示线段，，之间的数量关系是______；   类比分析 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答； 如图4，在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；   学以致用 （3）如图5，在四边中，，，，若，，，则出的长_______．    【答案】（1） ①，理由见详解． ②．证明过程见解答； （2）．证明过程见解答； （3）． 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． （1）①利用旋转的性质，证明即可； ②根据翻折的性质得，，，，再利用勾股定理即可解决问题； （2）如图4，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，证明，得，再利用勾股定理即可解决问题； （3）如图5中，在上取一点G，使得，证明，推出，，证明，推出，设,则，, ,在中，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：（1）． ①理由如下： 如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． ②如图3，根据题意可知：，，，， ， ． ． 故答案为：． . （2）． 作，使，连接，． 则． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ． 在和中， ，，， ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，，即．    （3）如图5，在上取一点G，使得， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ,则， ， , 在中， ， ， ， ． 故答案为：． 7．(23-24八上·辽宁营口·期中)如图1和 图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°． （1）观察猜想：如图1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____； （2）类比探究：如图2，若∠A、∠C都不是直角，则当∠A与∠C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长． 【答案】（1）EF＝AE＋CF；（2）∠A＋∠C＝180°，见解析；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质得出DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，求出∠EDF＝∠GDF＝45°，根据SAS推出△EDF≌△GDF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； （2）当∠A＋∠C＝180°，可得结论，由（1）同理证明△EDF≌△GDF，根据全等三角形的性质即可证明； （3）同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和全等三角形的判定条件证明△ADF≌△ADE，利用勾股定理求出BC，再利用列出方程求出DE，BE，由等腰三角形的性质得到△AED∽△BEA，故可根据对应线段成比例求出AE的长． 【详解】解：（1）∵把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合， ∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，AE＝CG，∠A＝∠DCG＝90°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠DCB＋∠DCG＝180° ∴F、C、G共线， ∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°， ∴∠ADE＋∠FDC＝45°， ∴∠CDG＋∠FDC＝45°， 即∠EDF＝∠GDF＝45°， 在△EDF和△GDF中， ， ∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵AE＝CG， ∴EF＝GF＝CF＋CG＝CF＋AE， ∴EF＝AE＋CF． 故答案为：EF＝AE＋CF． （2）当∠A＋∠C＝180°时，EF＝AE＋CF．                    理由如下：如图2， ∵AD＝DC， ∴把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，可使AD与DC重合， ∴∠ADE＝∠CDG，DE＝DG， ∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45° ∴∠FDC＋∠ADE＝45°， ∴∠EDF＝∠GDF， ∵∠A＋∠DCF＝∠DCG＋∠DCF＝∠FCG＝180°， ∴点F、C、G三点共线， 在△EDF和△GDF中，， ∴△EDF≌△GDF， ∴EF＝FG＝CG＋CF＝AE＋CF． 故答案为：∠A＋∠C＝180°． （3）如图3，把△ACE旋转到△ABF的位置，连接DF， 则∠FAB＝∠CAE，∠ABF＝∠C，BF＝CE， ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45° ， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠FAB＝∠FAD＝45°， 在△ADF和△ADE中，， ∴△ADF≌△ADE， ∴DF＝DE， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝， ∴BC＝4，∠ABC＝∠C＝∠ABF＝45°， ∴∠FBD＝90°， ∴， ∴， ∵BD＝1， ∴DC＝4－1＝3，EC＝3－DE， ∴， 解得，，    ∴ ∵∠ABC＝∠DAE＝45°，∠AEB＝∠DEA， ∴△AED∽△BEA， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 地 城 考点07 顶角旋转模型与勾股定理 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁丹东振兴区第五中学·期中)如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，，，，连接．连接，则下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，证明为正三角形．得出，，根据等边三角形的性质利用判定，得出，，证出，得出，则可得出结论． 【详解】解：连接， ，， 为正三角形． ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 是直角三角形， ， ， ， 若，则， 由题意可知，， 故①②③正确， 故选：C． 2．(23-24八上·辽宁沈阳辽宁协作体（沈阳7中.锦州实验）·期中)将一副三角板如图所示放置，已知中，，，将另一个三角板的直角顶点放在的中点处，两条直角边分别交、于点、．当另一个三角板在内绕点旋转时（点不与A、重合）给出以下结论：①；②的最小值为1；③；④；⑤，上述结论始终正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】连接，作于点，可证明，得，，可判断①正确；可求得，由，得，则的最小值为1，求得，可判断②错误；取的中点，连接、，则，所以，由，得，所以，可判断③错误；由，可推导出，可判断④错误；由，，可推导出，由勾股定理得，则，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点， ，，为的中点，， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确； ，，于点， ， ， ， ， 的最小值为1， 当时，， 故②错误； 取的中点，连接、， 则， ， ， ， ， 故③错误； ， ， 故④错误； ，， ， ， ， ， 故⑤正确， 故选：D． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、垂线段最短、两点之间线段最短、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁辽阳第一中学协作体·)阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）由，可得，，，即可求解． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ， ，， 为直角三角形， ， ，，， ， 如图③，延长至，使，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．(23-24八上·辽宁抚顺·期中)如图所示，P是等边内的一点，连接，，，将绕B点顺时针旋转得，连接，当时，请猜想出，，三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理；可证是等边三角形，从而可得，再由，即可得证；能根据性质证出是解题的关键． 【详解】； 证明：由绕点B顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， ，， ． 5．(23-24八上·辽宁葫芦岛·期中)（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】此题主要考查几何变换中的旋转变换，勾股定理； （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形． ∴，， 又∵， ， 即 （2） 证明：如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等腰三角形． 且， ∴， ∵， ∴， ． 6．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，，，， 为等边三角形， ， 即， ， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：在中，，，， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在中， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 地 城 考点08 新定义问题与勾股定理 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳南昌中学·期中)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知中，，一条直角边为3，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于 ． 【答案】或3. 【分析】“有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．或另一条直角边为3，利用勾股定理求出即可． 【详解】“有趣中线”有三种情况： 若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意； 若“有趣中线”BD=AC=3； 若“有趣中线”为BD，如图所示， BC=3， 设BD=2x，则CD=x， 在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=32+x2， 解得：x=， 则△ABC的“有趣中线”的长等于或3． 【点睛】此题考查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题的关键，注意分类讨论． 2．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．在中，，，若是“美丽三角形”，则的长 ． 【答案】或/8或6 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中线，根据中线定义，分两种情况进行讨论：①边上的中线等于；②边上的中线等于，利用勾股定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①当边上的中线等于时， ，， ∵， ∴在中， 由勾股定理得； ②当边上的中线等于时 ， ，， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 综上，的长为或， 故答案为：或． 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1） ；（2），见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （2）由可得：，根据勾股高三角形的定义得：，即可推出； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； （2），证明如下： 为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， 由勾股定理得：， ，由于为正数， ； （3）如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 由（2）可知：， 又， ，， ， ， ， ， 而， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 4．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）设等边三角形边长为，则易推出两边的平方和等于第三边平方的倍，因而可得结论；设第三边是（），则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求出的值，然后根据勾股定理的逆定理判断其三边是否构成直角三角形，以及是否满足三角形三边之间的关系，如是，进而可求出的周长； （2）根据勾股定理可得，，由可得，由，可得，于是结论得证；根据勾股定理可得，由得，于是可得，因而可得，设（），则，，，在中根据勾股定理可得，即，于是可求得，进而可求得和，然后利用三角形的面积公式即可求出． 【详解】（1）解：等边三角形是奇异三角形，理由如下： 设等边三角形边长为， 则两边的平方和为， 两边的平方和等于第三边平方的倍， 等边三角形是奇异三角形； 设第三边是（）， 分三种情况： ）当时， 解得：， 但此时， 不是直角三角形，不符合题意； ）当时， 解得：， 此时， 是直角三角形，符合题意， ，符合三边关系， 的周长为：； ）当时， 此时无解， 此种情况不存在； 综上，的周长为：； （2）证明：， ，， ， ， ，， ， 是奇异三角形； 解：当时，根据勾股定理可得： ， 由得：， ， 整理，得：， ， 设（），则，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的算术平方根，勾股定理的逆定理，三角形三边之间的关系，勾股定理，等式的性质，代数式求值，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 5．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”． (1)根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？直接答：“是”与“不是”． (2)若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由． (3)若是“可爱三角形”，．求的长． 【答案】(1)是 (2)是，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、算术平方根，理解题中定义是解答的关键． （1）根据等边三角形的性质和题中定义求解即可； （2）根据“可爱三角形”的定义判断即可； （3）根据“可爱三角形”的定义，结合勾股定理分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：是． 理由：设等边三角形的边长为a， ∵， ∴等边三角形一定是“可爱三角形”； （2）解：是，因为：，，． 所以，满足两边的平方和等于第三边平方的2倍．所以它是“可爱三角形”． （3）解：由勾股定理可得：， 由它是“可爱三角形”可分两种情况： 1），即， 解得（负值舍去）； 2），即， ∴， 解得（负值舍去）． 综上，的长为或． 6．(24-25八上·辽宁葫芦岛·期中)我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 【答案】(1)是 (2) (3)的面积为或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据常态三角形的定义判定即可； （2）根据常态三角形的定义以及勾股定理即可求解； （3）根据常态三角形的定义得出等式求出的长，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵是常态三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ∵， ∴， 在中，， 此时， 当时， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，， 此时， 故的面积为或． 地 城 考点9 勾股定理相关的动点问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论： ①； ②当时，平分； ③连接，周长的最小值为； ④当或或时，为等腰三角形． 其中正确的结论有 个． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短原理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理和线段最短原理是解题的关键． 利用矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短的原理，依次计算判断即可． 【详解】解：长方形中，，， ， 设，则， 则， 解得， 故①正确； 长方形， ， ， 由①知， ， ， ， ， ， 平分； 故②正确， 连接，延长到点，使得，连接，交于点，此时最小，且最小值为的长，根据勾股定理，得， 周长的最小值为， 故③正确； ， 时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， 过点作，垂足为， 长方形中，，， ，， 四边形是矩形， ， ， ； 当时，为等腰三角形， 过点作，垂足为， 长方形中，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 解得； 故当或或时，为等腰三角形； 所以④正确， 综上所述正确的结论有个； 故答案为： 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长度，进而求得，连接，过点作于点，再由三角形的面积公式建立等式求解，即可解题； （2）由题知，，由勾股定理求出，根据建立等式求解，即可解题； （3）根据将周长分为两部分，分两种情况①在上运动，②在上运动，讨论求解，即可解题； 【详解】（1）解：，，， ， 由题知，当秒时，， 连接，过点作于点， 即， 解得， 点到的距离是， 故答案为： （2）解：由题知，，， ， 当时， 可得 整理得， 解得， 故答案为： （3）解：将周长分为两部分， ，， ①在上运动， 由题知，，，，，， ， 解得； ②在上运动， ， ， 解得 综上所述，的值为或； 3．(23-24八上·辽宁丹东第六中学·期中)如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中， ，， ∴， 若，如图，    ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图，    则在中，， 解得：； 若，如图，    则，解得： ∴当为等腰三角形时，的值为或或； 4．(23-24八上·辽宁本溪·期中)如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 5．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)如图，在中，，，，点和点在的边上运动，动点从点出发运动到点后停止，速度为每秒；动点从点出发运动到点，再从点运动到点后停止，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒． (1)当时， （直接填空）； (2)当点在边上运动，且是等腰三角形时，求的值； (3)当点在边上运动，且是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形． 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识． （1）可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长； （2）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：当时，则，， ， ， 在中，由勾股定理可得， 故答案为：； （2）解：由题意可知 ， ， ， ， 当为等腰三角形时，因，则有， 即， 解得， 出发秒后能形成等腰三角形； （3）解：在中，由勾股定理可求得， 当点在上时，， ， 是以为腰的等腰三角形， 有和两种情况， 如图， ①当时，则， 解得； ②当时，则， ， ， ， ， ， 解得； 综上，可知当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形． 地 城 考点10 垂美四边形与勾股定理 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁丹东·期中)材料分析题： 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． 如图1．已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 一、探索证明“垂美四边形”的性质： （1）性质1：如图1，由勾股定理可知，中，，中，，同理，，则，即． （2）性质2：． 二、结合上述学习，解答下列问题： ［学以致用］：（1）如图1．若，，则______．若，则四边形的面积______． ［变式思考］：（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用a表示______． ［拓展应用］：（3）如图3，在长方形中，E为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求：的长．    ［知识延伸］： （4）如图4，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①若，，，则______． ②若，，的面积等于5，则______． 【答案】［学以致用］：（1），；［变式思考］：（2）；［拓展应用］：（3）；［知识延伸］：（4）①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，二次根式的性质；掌握定理内容并熟练运用是解题关键； ［学以致用］：（1）根据“垂美四边形”的性质，，即可求解； ［变式思考］：（2）由（1）可得：，结合即可求解； ［拓展应用］：（3）证明得出，由题意可得，结合即可求解； ［知识延伸］：（4）①先证明，可得，再证，得出四边形是垂美四边形，进而即可求解； ②过点作且，证明得出，证明得出，进而根据，得出，根据，即可求解． 【详解】解：［学以致用］：（1）∵，，， ∴， 若，则四边形的面积=； 故答案为：，． ［变式思考］：（2）∵，是的中线， ∴， ∵， ∴四边形为“垂美四边形”， ∴， ∵，， ∴， 即：， 整理得：， 故答案为：． ［拓展应用］：（3）由题意得：， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴； 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为“垂美四边形”， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ［知识延伸］：（4）①∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． ②如图所示，过点作且，连接交于；    ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 2．(23-24八上·辽宁本溪·期中)我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 【答案】(1)是 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）先证明，可得，再证，由此即可求解； （2）运用直角三角形的勾股定理即可求证； （3）结合（2）中的结论，运用勾股定理即可求解； 本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解图示，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 故答案为：是． （2）证明：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 地 城 考点11 利用勾股定理构图求最值 一、解答题 1．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______； (2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 【答案】(1) (2)①见解析；②8 (3)①相等；②32 (4)94 (5)13 (6)17 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，正确理解勾股定理的几何意义并构造图形是解题的关键． （1）利用差补法，将的面积转化为矩形和直角三角形的面积差； （2）①根据勾股定理的几何意义构造图形即可；②根据长方形面积公式以及直角三角形面积公式计算即可； （3）①过点作于，过点作于，根据三角形全等得出，再根据正方形的性质得出，最后根据三角形面积公式证明即可；②过作于，根据勾股定理求出的高，再根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （4）根据（3）的结论可以得出四个三角形面积相等，再根据勾股定理求出的高，进而根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （5）根据勾股定理的几何意义，构造三角形，利用三级形三边关系求得最小值即可； （6）类比（5）的结论直接求解最小值． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：① ，，， ，， ， 如图所示，为所求： ② 故答案为：； （3）解：①相等，理由如下： 过点作于，过点作于，如图： 正方形，正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：相等； ②过点作于，如图： 由勾股定理可得：，， 两式相减可得：， ， 六边形的面积为 故答案为：32； （4）解：由（3）可知，， 过点作于，如图： 正方形面积为9， ， ， ，， ，， ； 故答案为：94； （5）解：构图如下： 其中，，，，，四边形为矩形， ， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：13； （6）解：由（5）可得： 故答案为：17． 2．(23-24八上·辽宁丹东第六中学·期中)（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）10；（2）13；（3） 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （3）如图所示，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 3．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 试卷第1页，共3页 2 / 131 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理综合压轴 11大高频考点概览 考点01 勾股定理相关的分类讨论问题 考点02 折叠问题与勾股定理 考点03 手拉手全等模型与勾股定理 考点04 一线三等角模型与勾股定理 考点05 倍长中线与勾股定理 考点06 半角模型与勾股定理 考点07 顶角旋转模型与勾股定理 考点08 新定义问题与勾股定理 考点09 勾股定理相关的动点问题 考点10 垂美四边形与勾股定理 考点11 利用勾股定理构图求最值 地 城 考点01 勾股定理相关的分类讨论问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 2．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 3．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 4．(23-24八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，是直角三角形．      5．(23-24八上·辽宁铁岭·期中)如图，在中， ，，点是边上一动点，连接将沿着线翻折后得，当时，的长是 ． 6．(23-24八上·辽宁沈阳大东区·期中)Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 7．(23-24八上·辽宁沈阳东北育才学校·期中)如图，中，，，，点是射线上一点，连接，将沿翻折得到，当直线与射线垂直时，的长为 ．    地 城 考点02 折叠问题与勾股定理 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上． (1)如图1，当折痕的另一端点在边上时， ①求线段的长； ②的面积为________； (2)如图2，当折痕的另一端点在边上时，，折痕的长为________． 2．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 3．(23-24八上·辽宁朝阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C的坐标分别是和，E为C点左侧x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，求的长（提示：点E可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上） 地 城 考点03 手拉手全等模型与勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁阜新市太平区第四中学·期中)如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接． (1)求证： (2)试说明 (3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值． 3．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：    (1)． (2)． 4．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．    (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2， ①求证：； ②若，求的长； 5．(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图，在等腰中，，，点F是直线上一个动点，作等腰，且，连接． (1)写出图中全等三角形______． (2)如图，求证：； (3)若，求______． 6．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)四边形是正方形，且，，点是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（、、、四个点按照逆时针方向排序），连接，，直线与直线交于点． (1)如图1，当点在线段上时，探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上，且时，连接，直接写出的长度； (3)若，则点到的距离为_______． 7．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解] 如图①，分别以的边，为边向外作等腰直角和，，，．连接、，问与有怎样的等量关系，并说明理由； (2)[深入探究] 如图②，连接DE，若，，______； (3)[实际应用] 如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得，，，米，米，的长为______． 8．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 9．(24-25八上·辽宁丹东第五中学·期中)已知：在中，，．    【初步发现】（1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_________________________． 【深入研究】（2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】（3）如图3，若点在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 地 城 考点04 一线三等角模型与勾股定理 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)如图，直线过等腰三角形顶点B，其中点A到直线的距离是2，长，则点C到直线的距离是 ． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁本溪·期中)【综合与实践学习】： 阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题：             (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） (3)如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想． 3．(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，直接写出的长． 地 城 考点05 倍长中线与勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期中)如图，于点，于点，点是中点，若，则的长是（   ）    A．10 B．12 C． D．9 二、填空题 2．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，E，F分别是边上的点，且，，．则 ．    三、解答题 3．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，， 在中，①，①． 化简得，． ，，∴②．． ． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 4．(24-25八上·辽宁铁岭昌图县七家子中学·期中)【特例研究】 (1)在中，点D是的中点， ①如图 1，点F是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接，求证： 且； ②如图 2，若，，的取值范围为 ． (2)【拓展延伸】 如图3，线段，过点B作一条射线，使得，动线段在射线上运动（点E在点F的下方），且，点D是 的中点，连接． ①请求出的最小值； ②当等于多少时，？请说明理由． 5．(24-25八上·辽宁铁岭昌图县七家子中学·期中)如图1，在中，，是中线． (1)求证：； (2)如图2，若，于点F，求证：． 6．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长．    7．(24-25八上·辽宁抚顺·期中)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 8．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)【问题初探】 （1）数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，为的中点，求中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下解题思路： 如图2，延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围是__________． 【类比分析】 （2）老师发现小明的解法运用了转化思想，当题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的条件集中到同一个三角形中．为了帮助学生更好地感语转化思想，老师在图1条件不变的情况下，增加如下条件，并提出新问题，请你写出解答过程． 如图3，点在上，连接．若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在图1条件不变的情况下，，，交边于点，交边于点，连接．若，求的长． 9．(23-24八上·辽宁丹东振兴区第五中学·期中)在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：； (2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明． 10．(23-24八上·辽宁铁岭·期中)（1）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　　． （2）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，连接．①试猜想线段、、之间的数量关系　　．（不用证明） ②猜想AE与BE有怎样的位置关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点F在线段上，，取中点G，连接，若，，，线段的长为　　． 地 城 考点06 半角模型与勾股定理 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，四边形中，，且 ，则的长度是（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)在等腰直角． (1)如图1，D，E是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②当时，求的长． (2)如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当时，则________________． 3．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 4．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)如图，在中，，，点是线段上一动点，连接，过点A作，且，连接，作平分交于． (1)写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在（1）的条件下，若，，请直接写出的长． 5．(23-24八上·辽宁丹东·期中)通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系    (1)思路梳理： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________． (2)类比引申： 如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明． (3)联想拓展： 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长． 6．(23-24八上·辽宁大连·期中)问题初探 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，，点D，E在BC边上，且，则用等式表示线段之间的数量关系是______；    ①小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据三角形全筹和勾股定理知识得到线段之间的数量关系______；    ②小强同学经过分析后，将、分别沿，进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段，，之间的数量关系 ______； 请你根据上述两名同学的分析写出用等式表示线段，，之间的数量关系是______；   类比分析 （2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请你解答； 如图4，在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；   学以致用 （3）如图5，在四边中，，，，若，，，则出的长_______．    7．(23-24八上·辽宁营口·期中)如图1和 图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°． （1）观察猜想：如图1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____； （2）类比探究：如图2，若∠A、∠C都不是直角，则当∠A与∠C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长． 地 城 考点07 顶角旋转模型与勾股定理 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁丹东振兴区第五中学·期中)如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，，，，连接．连接，则下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24八上·辽宁沈阳辽宁协作体（沈阳7中.锦州实验）·期中)将一副三角板如图所示放置，已知中，，，将另一个三角板的直角顶点放在的中点处，两条直角边分别交、于点、．当另一个三角板在内绕点旋转时（点不与A、重合）给出以下结论：①；②的最小值为1；③；④；⑤，上述结论始终正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁辽阳第一中学协作体·)阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 4．(23-24八上·辽宁抚顺·期中)如图所示，P是等边内的一点，连接，，，将绕B点顺时针旋转得，连接，当时，请猜想出，，三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    5．(23-24八上·辽宁葫芦岛·期中)（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 6．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 地 城 考点08 新定义问题与勾股定理 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳南昌中学·期中)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知中，，一条直角边为3，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于 ． 2．(24-25八上·辽宁阜新细河区·期中)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．在中，，，若是“美丽三角形”，则的长 ． 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 4．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． (2)运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 5．(23-24八上·辽宁锦州凌海·期中)我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫“可爱三角形”． (1)根据“可爱三角形”的定义，等边三角形一定是“可爱三角形”吗？直接答：“是”与“不是”． (2)若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形是“可爱三角形”吗？说明理由． (3)若是“可爱三角形”，．求的长． 6．(24-25八上·辽宁葫芦岛·期中)我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）； (2)在中，，，若是常态三角形，则______． (3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积． 地 城 考点9 勾股定理相关的动点问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论： ①； ②当时，平分； ③连接，周长的最小值为； ④当或或时，为等腰三角形． 其中正确的结论有 个． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)已知中，，，，、是边上的两个动点，中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．      (1)当秒时，点到的距离是________； (2)当时，________； (3)若将周长分为两部分，直接写出的值． 3．(23-24八上·辽宁丹东第六中学·期中)如图，在中，，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值． 4．(23-24八上·辽宁本溪·期中)如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 5．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)如图，在中，，，，点和点在的边上运动，动点从点出发运动到点后停止，速度为每秒；动点从点出发运动到点，再从点运动到点后停止，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒． (1)当时， （直接填空）； (2)当点在边上运动，且是等腰三角形时，求的值； (3)当点在边上运动，且是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 地 城 考点10 垂美四边形与勾股定理 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁丹东·期中)材料分析题： 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． 如图1．已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”． 一、探索证明“垂美四边形”的性质： （1）性质1：如图1，由勾股定理可知，中，，中，，同理，，则，即． （2）性质2：． 二、结合上述学习，解答下列问题： ［学以致用］：（1）如图1．若，，则______．若，则四边形的面积______． ［变式思考］：（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用a表示______． ［拓展应用］：（3）如图3，在长方形中，E为中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求：的长．    ［知识延伸］： （4）如图4，点E是四边形内一点，已知，，，对角线与交于O点，与交于点F，与交于点G． ①若，，，则______． ②若，，的面积等于5，则______． 2．(23-24八上·辽宁本溪·期中)我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 地 城 考点11 利用勾股定理构图求最值 一、解答题 1．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______； (2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 2．(23-24八上·辽宁丹东第六中学·期中)（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 3．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $