第13章 分式（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版五四制2024七年级上册

第13章 分式 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．在，，，，中，分式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．若分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 4．分式方程的解是（  ） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列计算结果正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为千米/小时，则所列方程是(    ) A． B． C． D． 8．下列关于分式的判断，正确的是（     ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论x为何值，的值不可能是正整数 D．无论x为何值，总有意义 9．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．分式的运算结果是 ． 12．分式的最简公分母是 ． 13．计算： ．（结果只含有正整数指数幂） 14．使分式与的值相等的x的值为 ． 15．一项工作由甲单独做，需天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为 天． 16．若方程有增根，则 ． 17．若，，则 ． 18．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（1）约分：； （2）通分：与． 20．计算： (1) (2)． 21．解下列分式方程： (1)； (2) 22．解分式方程：． 23．计算:（结果不含负整数指数幂） 24．先化简，再求值：，其中． 25．某工人原计划在规定时间内加工1500个零件，在加工了1小时后，改进了操作方法，工作效率提升到原来的两倍．因此加工完成后，比预定的时间提前了2个小时．求原计划每小时加工多少个零件？ 26．2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 27．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： …… 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式： ． (2)请猜想第个等式，并说明理由． 28．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 分式 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．在，，，，中，分式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，牢记分式的分母一定含有字母其不是字母是解答本题的关键． 根据分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共有个， 故选：B． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可． 【详解】A、，分子分母没有公因式，故A选项正确； B、，分子分母有公因式a，故B选项错误； C、，分子分母有公因式，故C选项错误； D、，分子分母有公因式，故D选项错误； 故答案选：A． 【点睛】本题考查了最简分式的定义．一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．解题的关键式利用因式分解找到公因式． 3．若分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】将式子中的x，y都扩大2倍代入，即用2x，2y进行整体替换，化简与原式对比即可求解． 【详解】解：将x和y都扩大为原来的2倍， 原式变形为：； ∴分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，属于基础题型． 4．分式方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解法，同时注意检验. 先将分式方程化为整式方程，再求解即可. 【详解】解： 两边同时乘以得： ， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验：是原方程的解， 故选：B 5．下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和倒数的概念，掌握分式的基本性质和倒数概念的区别是解题关键．利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，分式与其倒数不相等，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、，故A项变形错误，不符合题意； B、，故B项变形错误，不符合题意； C、，故C项变形错误，不符合题意； D、，故D项变形正确，符合题意． 故选：D． 6．下列计算结果正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】求出每个式子的值，再进行判断即可． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算等的应用，主要考查学生的计算能力，掌握分式的运算性质是解题的关键． 7．、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为千米/小时，则所列方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，列出方程即可得. 【详解】甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，由题意得 －＝， 故选B. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 8．下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论x为何值，的值不可能是正整数 D．无论x为何值，总有意义 【答案】D 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，平方的非负性．掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据当时，分式无意义可判断A；根据当时，分式无意义可判断B；根据当时，分式可判断C；根据平方的非负性可知，即无论x为何值，总有意义可判断D． 【详解】解：A．当时，分式无意义，故该选项错误，不符合题意； B．当时，分式无意义，故该选项错误，不符合题意； C．当时，分式，为正整数，故该选项错误，不符合题意； D．因为无论x为何值，即， 所以分式总有意义，故该选项正确，符合题意． 故选D． 9．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可． 【详解】设这个数是a， 把x=5代入得：（-2+5）=1-， ∴1=1-， 解得：a=5． 故选D． 【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程是解此题的关键． 10．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式． 先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．分式的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先通分，然后变成同分母，然后根据同分母分式加法进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据题意求得最简公分母即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：分式的最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 13．计算： ．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【分析】根据幂的运算法则和整式的混合运算法则计算可得． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则和整式的混合运算法则． 14．使分式与的值相等的x的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到方程，解出即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为， 即使分式与的值相等的x的值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤． 15．一项工作由甲单独做，需天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为 天． 【答案】 【分析】设总工作量为单位“1”，由工作效率=工作总量÷工作时间可求得甲乙两人的合作效率，然后求得乙的工作效率，从而求解． 【详解】∵一项工作由甲单独做，需a天完成， ∴甲的工作效率为， 又∵由甲、乙两人合作，则可提前2天完成， ∴甲、乙的合作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成该项工作需要的天数为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查列分式以及分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的计算法则及工程问题中“工作效率×工作时间=工作总量”的等量关系． 16．若方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题；将分式方程去分母后，将代入求出值即可. 【详解】解：去分母得 方程有增根， 最简公分母，即增根是，把代入整式方程，得． 故答案为：． 17．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 18．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（1）约分：； （2）通分：与． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）分子，分母都含有，即可得； （2）与的最简公分母是12x2y，即可得 【详解】解：（1）． （2）∵与的最简公分母是12x2y， ∴． 【点睛】本题考查了约分，通分，解题的关键是掌握约分，确定最简公分母． 20．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先将乘除混合运算统一为乘法运算，结合因式分解进行约分计算即可； （2）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 21．解下列分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是先去分母，转化为整式方程，最后不要忘记检验． （1）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可； （2）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可． 【详解】（1）解：， 两边同时乘以，得：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是该方程的解； （2）解： 两边同时乘以，得 去括号得， 移项合并同类项得， 解得： 检验，当时， ∴是原方程的增根，原方程无解． 22．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 先去分母将原方程化为整式方程，解得x的值，然后进行检验即可． 【详解】解：， 整理得， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 23．计算:（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】首先将各负整数指数幂通分，然后约分即可. 【详解】 = = = 【点睛】此题主要考查负整数指数幂的运算，熟练掌握，即可解题. 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 将该分式分子分母因式分解，括号里面进行通分，除法改写为乘法，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 25．某工人原计划在规定时间内加工1500个零件，在加工了1小时后，改进了操作方法，工作效率提升到原来的两倍．因此加工完成后，比预定的时间提前了2个小时．求原计划每小时加工多少个零件？ 【答案】原计划每小时加工300个零件． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时加工x个零件，则改进了操作方法后每小时加工个零件，根据在加工了1小时后，改进了操作方法，比预定的时间提前了2个小时，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每小时加工x个零件，则改进了操作方法后每小时加工个零件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每小时加工300个零件． 26．2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，利用“用1300元购买的A款套装数量比用3000元购买的B款套装数量少20套”再建立方程求解即可． 【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元． 27．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： …… 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式： ． (2)请猜想第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）观察等式，即可求解； （2）由各个等式结构即可得出规律． 本题是与分式有关的规律问题．确定各分式分子、分母的规律即可． 【详解】（1）． （2）第个等式：． 理由：左边右边， 所以猜想结果正确． 28．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $