精品解析：湖南省永州市宁远一中崇德学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期宁远一中崇德学校高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解指数不等式和一元二次不等式得出集合，再利用并集运算求得结果. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果. 【详解】依题意，设，又是两个不共线的向量， 所以，所以． 故选：D 3. 椭圆经过点，则其离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入椭圆方程得，即可得椭圆方程，由题意离心率公式求解即可. 【详解】将代入可得， 化简可得，解得或（舍去）， 故椭圆方程为， 所以，故， 故， 故选：A 4. 已知是等比数列的前项和，且，，则（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】由是等比数列的前项和得成等比数列，结合，列方程求解即可． 【详解】因为是等比数列，是等比数列的前项和， 所以成等比数列，且， 所以， 又因为，， 所以，即，解得或， 因为， 所以， 故选：C． 5. 设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则与异面 D. 若，，，则与相交 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断. 【详解】对于A，根据面面垂直的性质定理可得A正确； 对于B，若，，，则，或与异面，故B错误； 对于C，若，，则，或与异面，故C错误； 对于D，若，，，则，或与异面，或与相交，故D错误． 故选：A. 6. 已知复数，其中且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离. 【详解】复数，其中且， 复数在复平面内对应的点，在直线上， 的几何意义是点到点的距离， 其最小值为点到直线的距离，最小值为. 故选：D 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知结合同角的三角函数关系化简求得，再由同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】因为， ，且，则或， 由，得， 即，解得， 则，则， 又，，故， 解得， 故选：A 8. 已知，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，根据导函数得出函数在上单调递增，即可得出，所以；构造，根据导函数得出函数在上单调递增，可判断，再根据对数函数的运算性质得到. 【详解】令，则. 当时，有，所以， 所以，在上恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，， 所以，，即，所以. 令，则在时恒大于零，故为增函数， 所以，而，所以， 所以， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ） A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同 C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的乘法可得出，设，利用中位数的概念可判断A选项；利用极差的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用平均数公式可判断D选项. 【详解】因为，则，则， 所以，，不妨设，则， 对于A选项，值的中位数为，值的中位数为，且，A错； 对于B选项，值的极差为，值的极差为， 且，故两组数据的极差相同，B对； 对于C选项，记， ， 值的方差为， 值的方差为 ， 故两组数据的方差相同，C对； 对于D选项，由C选项可知，，D错. 故选：BC. 10. 若是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 一定为正数 B. 2是的一个周期 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数满足的条件，求解函数的周期性和单调性，对选项进行判断. 【详解】因为符合条件，故A错误； 因为偶函数的图像关于直线对称，所以，故B正确； 因为对任意，，都有，所以对任意，取得； 若，即，故， 由2是的周期得，故C正确； 假设，由及，，得，， 故，这与在上单调递增矛盾，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛： 由题意，函数图像有两条对称轴，则函数具有周期性；抽象函数求函数值，经常使用特殊值法. 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 【答案】AD 【解析】 【分析】根据可求的表达式，判断A的真假；利用导数求二次函数在处切线的斜率，进一步写出在处的切线方程，求出直线与轴的交点横坐标，得，进一步判断数列的结构特征，得到数列是等比数列，可判断BC的真假；利用公式法可求数列的前项和，判断D的真假. 【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确. 二次函数有两个不等式实根，， 不妨设， 因为， 所以， 在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为 所以，即： 所以为公比是2，首项为1的等比数列. 所以故BC错. 对于D选项，，得故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式求得集合，再由得到，即可求得. 【详解】由集合中，当时，，当且仅当，即时等号成立， 故．因为，所以，所以，故实数m的取值范围为． 故答案为：. 13. 若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件求出正四面体的棱长为，设，利用几何关系得到空间四边形的四条边长之和，即可求出结果. 【详解】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球， 设正四面体的棱长为，所以正方体的边长为， 易知正方体的外接球直径为体对角线的长，又，所以正四面体的半径， 依题有，得到，即正四面体的棱长为， 因为面，面面，面，所以， 设 因为，则，， 在中，因为，所以， 在中，，，则， 所以空间四边形的四条边长之和， 又，当时，， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出后，利用几何关系得出，，，从而得出空间四边形的四条边长之和，转化成求的最小值来解决问题. 14. 已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，令，，求导得到其单调性，结合特殊函数值，得到若，则或，即或，再对求导，得到其单调性和最值，得到，求出答案. 【详解】不等式对恒成立， 等价于，即， 所以, 设，其中， 则，令得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，又，， 所以存在使得， 所以若，则或，即或， ，， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得， 所以实数a的取值范围为． 故答案为： 【点睛】思路点睛：隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知函数 （1）求函数的最小值和最小正周期； （2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换的公式，化简，利用三角函数的图象与性质，即可得到函数的最小值和最小正周期； （2）由（1），令，求得的值，再由正弦定理和余弦定理，即可得到的值. 【详解】⑴ ⑵ 又 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质以及利用正弦、余弦定理解三角形问题，其中熟记三角函数的图象与性质，以及合理利用正弦、余弦定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值. 【答案】 （1）因为底面，底面， 所以，因为，分别为正方形的边，的中点， ， 所以，所以，由 所以，所以， 因为平面，平面，， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由底面，得，由，得，可得答案. （2）由可知平面，连接，则即为直线与平面所成线面角，在中，由可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面， 设，如图，连接，则即为直线与平面所成线面角， 因为，所以，， 在中，由于，所以， 所以，所以， 所以在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为. 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法，对于线面角的求法的步骤,作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 17. 已知椭圆及直线： （1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线与椭圆有交点，转化为有解，判别式大于等于即可；（2）联立直线与椭圆，根据弦长公式得到，代入韦达定理和的值即可得到结果. 【详解】（1）由消去，并整理得……① ∵直线与椭圆有公共点 ∴，可解得： 故所求实数的取值范围为 （2）设直线与椭圆的交点为， 由①得： ， 当时，直线被椭圆截得的弦长为 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、直线被椭圆截得的弦长问题.对于直线与椭圆的位置关系的判断，采用的方式是联立整理为一元二次方程，根据判别式得到解得个数，从而得到位置关系. 18. 我省实行的新高考方案3＋1＋2模式，其中统考科目：3指语文、数学、外语三门，不分文理；学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，1指首先在物理、历史2门科目中选择一门；2指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为． （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X． ①求随机变量的概率； ②求X的分布列以及数学期望． 【答案】（1）； （2）； ②分布列如下表所示： 0 1 2 3 【解析】 【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可； (2)①根据二项分布概率计算公式计算即可；②先利用二项分布概率计算公式分别求出 时的概率，进而得到随机变量X的分布列，结合二项分布数学期望计算公式即可得出结果. 【小问1详解】 该校最终选地理的学生为事件A， ， 所以该校最终选地理的学生为； 【小问2详解】 ①：由题意知， X的所有可能取值为0、1、2、3，且， 所以； ②：由，得 ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在定义域上单调递增，此时无减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分和讨论，分别写出单调区间； （2）由（1）知，时，至多一个零点，不符合题意；当时，要有两个零点，需满足，求出的取值范围并检验． 【详解】（1）函数，定义域为，， 当时，. 故在定义域上单调递增，此时无减区间. 当时，令，得； 当时，，故单调递增； 当时，，故单调递减. 综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，时，至多一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 要有两个零点，需满足，即. 此时，. 因为，所以在有一个零点； 因为，. 令，， 所以在单调递增，， 所以，所以在上有一个零点. 所以，有两个零点. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查导数研究函数的零点，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期宁远一中崇德学校高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆经过点，则其离心率（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列的前项和，且，，则（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 5. 设，为不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则与异面 D. 若，，，则与相交 6. 已知复数，其中且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则有（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ） A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同 C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同 10. 若是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. 一定为正数 B. 2是的一个周期 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为__________． 13. 若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________. 14. 已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ___________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知函数 （1）求函数的最小值和最小正周期； （2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值. 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值. 17. 已知椭圆及直线： （1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长 18. 我省实行的新高考方案3＋1＋2模式，其中统考科目：3指语文、数学、外语三门，不分文理；学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，1指首先在物理、历史2门科目中选择一门；2指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为． （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X． ①求随机变量的概率； ②求X的分布列以及数学期望． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $