精品解析：云南省昆明市第二中学2025--2026学年上学期开学考试九年级数学试卷

昆明二中2025-2026学年秋季学期八月假期作业效果反馈 初三年级数学试卷 （本试卷共27小题，共4页；考试用时120分钟，满分100分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．试题所有的答案请用黑色碳素笔填写在答题卡相应位置上，答在试卷上的答案无效． 3．考生必须按规定的方法和要求答题，不按要求答题所造成的后果由本人自负． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 5. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 8. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 9. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米 C. 报亭到小亮家的距离是米 D. 小亮打羽毛球的时间是分钟 11. 已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D. 若点，在此函数图象上，则 12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 13. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A. 18 B. 20 C. 19 D. 17 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝3，且∠A＝30°，则△ABC的周长为(　　) A. 6 B. 9＋3 C. 6＋3 D. 3 15. 在同一直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②⑤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是______． 17. 已知关于x的方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程，则k的值等于_________． 18. 如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要______厘米． 19. 如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 解方程： （1）； （2）． 21. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 22. 为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 23. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，现从该校七、八年级参加知识竞赛的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩分别是80，82，86，89，90，96，99，99，99，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是90，94，94． 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 （1）填空： ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级共有600人参加此次知识竞赛，请你估计八年级竞赛成绩为优秀（）的学生人数． 24. 盛夏七月，水果进入丰产季，有甜脆的李子，有可口的荔枝……昆明一水果公司前往水果基地批发水果，设批发李子所需费用（单位：元）与批发数量（单位：千克）的函数关系如图所示；荔枝每千克的价格为8元． （1）求与的函数关系式； （2）该水果店共购买李子和荔枝共，其中李子数量不少于，且李子数量不超过荔枝的4倍，设购买总费用为元，问：怎样购进这两种水果，才能使总费用最少？ 25. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 26. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标． 27. 如图①，在正方形中，点E是对角线上任意一点（点E不与A，C重合），连接，． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，，求的长； （3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明二中2025-2026学年秋季学期八月假期作业效果反馈 初三年级数学试卷 （本试卷共27小题，共4页；考试用时120分钟，满分100分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．试题所有的答案请用黑色碳素笔填写在答题卡相应位置上，答在试卷上的答案无效． 3．考生必须按规定的方法和要求答题，不按要求答题所造成的后果由本人自负． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式判断，涉及二次根式定义，根据最简二次根式的定义，按照满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐项判断即可得到答案，熟记二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、中被开方数，无平方因子，且非分数，符合最简二次根式条件，符合题意； B、中被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C、中被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解题的关键．根据中位数的意义进行排除选项即可． 【详解】解：本次比赛共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛， 成绩不低于中位数即可参加复赛， 只需要知道这83名同学成绩的中位数即可， 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意； B、邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，本选项符合题意； D、三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 5. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，直角三角形的两锐角互余．由平行四边形的性质证明，结合，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∵， ． ∴． 故选：B． 6. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键；由正比例函数（）的图象经过第二、四象限，得，则一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大，从而可判断一次函数经过的象限，由此即可判断． 【详解】解：∵正比例函数（）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：B． 7. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ，分别为的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键． 8. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可． 【详解】分． 故选B． 【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 9. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 10. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ） A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟 B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米 C. 报亭到小亮家的距离是米 D. 小亮打羽毛球的时间是分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故该选项正确，不符合题意； B. （米/分钟）， 即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小亮打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键． 11. 已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A. 函数图象经过第一、二、四象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D. 若点，在此函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质，平移规律，函数值比较进行分析即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由，， ∴图象经过第一、二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、当时，，故图象经过点，原选项正确，不符合题意； 、函数由向上平移个单位得到，而非向下平移，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 13. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（　　） A. 18 B. 20 C. 19 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟知配方法是解题的关键．通过配方法将方程转化为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝3，且∠A＝30°，则△ABC的周长为(　　) A. 6 B. 9＋3 C. 6＋3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，30角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理计算即可． 【详解】∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，CD=3， ∴AB=2CD=6， ∵∠A=30°， ∴BC=AB=3， AC=， ∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC=9＋3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理是解题的关键． 15. 在同一直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数与不等式的关系、一次函数与方程的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质，灵活运用数形结合思想是解答的关键．根据相关知识逐个判断即可． 【详解】解：根据图象，一次函数中，y随x的增大而增大，则，故①正确； ∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交，与x轴相交于点， ∴，方程的解是， 故②正确，③错误； ∵一次函数中，当时，， ∴不等式的解集是，故④错误； ∵当时，一次函数的图象在x轴的上方且在一次函数的图象下方，又两函数图象的交点的横坐标为， ∴不等式的解集是，故⑤正确， 综上，正确的结论是①②⑤， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了数据的波动，明确方差越小越稳定即可解题． 【详解】，，，， ， 成绩最稳定的是丙． 故答案为：丙． 17. 已知关于x的方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程，则k的值等于_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，最高次次数是2，且二次项系数不为零，列式子计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程， ∴方程最高次次数是2，且二次项系数不为零， 即： 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的基本概念是解题的关键． 18. 如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要______厘米． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 19. 如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 利用基本作法得到得垂直平分，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出，然后计算出． 【详解】解：由作法得垂直平分，即，， 四边形为菱形， ，， ，， 在中，， 在中，． 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 解方程： （1）； （2）． 【答案】计算（1）0；（2）；解方程：（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程． 计算：（1）先利用二次根式的性质化简，计算乘除法，最后再计算加减法． （2）利用完全平方公式以及平方差公式展开，最后再计算二次根式的加减法． 解方程：（1）利用因式分解解方程即可． （2）先进行方程的整理，再利用十字相乘法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 解方程：（1）， ， 或， ∴，， （2）， 整理得：， ， ∴或， ∴，． 21. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ，F分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． （2） 解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点E为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点E为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是234 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：空地的面积是． 23. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，现从该校七、八年级参加知识竞赛的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩分别是80，82，86，89，90，96，99，99，99，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是90，94，94． 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 （1）填空： ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级共有600人参加此次知识竞赛，请你估计八年级竞赛成绩为优秀（）的学生人数． 【答案】（1）99，94 （2）八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级，方差小于七年级，所以八年级学生成绩的高分人数多于七年级，且必七年级稳定 （3）估计八年级竞赛成绩为优秀（）的学生人数约为420名 【解析】 【分析】本题考查的是频数（率）分布直方图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数和方差的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中C、D等级人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：根据 题意得：七年级成绩的众数； 八年级成绩各组的人数为：A组人数；B组人数：，D组人数， ∵， ∴八年级成绩的第位的成绩为， ∴八年级成绩的中位数， 故答案为：99，94； 【小问2详解】 八年级学生的安全知识竞赛成绩较好， 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级，方差小于七年级， 所以八年级学生成绩的高分人数多于七年级，且必七年级稳定， 故八年级学生的安全知识竞赛成绩较好； 【小问3详解】 （名）， 答：估计八年级竞赛成绩为优秀（）的学生人数约为420名． 24. 盛夏七月，水果进入丰产季，有甜脆的李子，有可口的荔枝……昆明一水果公司前往水果基地批发水果，设批发李子所需费用（单位：元）与批发数量（单位：千克）的函数关系如图所示；荔枝每千克的价格为8元． （1）求与的函数关系式； （2）该水果店共购买李子和荔枝共，其中李子数量不少于，且李子数量不超过荔枝的4倍，设购买总费用为元，问：怎样购进这两种水果，才能使总费用最少？ 【答案】（1） （2）购买李子80千克，购买荔枝20千克费用最少 【解析】 【分析】（1）由图象可得：当时，；当时，； （2）根据李子数量不少于，且李子数量不超过荔枝的4倍，得，故，又，由一次函数性质可得答案． 本题考查待定系数法求解析式，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关系式． 【小问1详解】 解：由图象可得：当时，； 当时，； ； 【小问2详解】 解：根据李子批发数量为千克可知，荔枝批发数量为千克， 李子数量不少于，且李子数量不超过荔枝的4倍， ， 解得， 由题意可得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为， 此时， 购进李子千克，荔枝20千克，才能使总费用最少． 25. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）30 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 26. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的几何应用； （1）把点和代入，再进一步求解即可； （2）先求解，，再利用面积公式建立方程求解即可 【小问1详解】 解：将点和代入得： ， 解得： ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：当，则；当，则； ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P在直线上， ∴或， ∴，， ∴或． 27. 如图①，在正方形中，点E是对角线上任意一点（点E不与A，C重合），连接，． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，，求的长； （3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴； （2）4或 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质证明，从而可得结论； （2）分三种情况讨论：①当时，点E与点C重合，舍去；②当时，③当时，再进一步解答即可； （3）如图，过E作于点M，证明，可得，结合，可得是等边三角形，设，则，，再进一步解答即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，点E与点C重合，舍去； ②当时，， ③当时，由正方形性质可得：， ∴， 即是等腰直角三角形， 设， 在中，由勾股定理可得：， ∴，解得（舍去）； ∴； 综上所述，的长为4或； 【小问3详解】 解：如图，过E作于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $