专题01 勾股定理及勾股定理逆定理（8大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01 勾股定理及勾股定理逆定理 题型一 勾股数的判断（常考点） 题型五 用勾股定理解三角形（重点） 题型二 求图形面积 题型六 勾股定理的证明方法（难点） 题型三 判断能否构成直角三角形 题型七 勾股定理的应用（重点） 题型四 勾股定理与网格问题 题型八 利用勾股定理的逆定理求解（重点） 题型一 勾股数的判断（共3小题） 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股数，勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念逐一验证判断即可． 【详解】解：A 、 即 36， 64，100，，而 ，不满足 ，所以，，不是勾股数，不符合题意； B 、5，12，13，均为正整数，且 ，满足勾股定理，是勾股数，符合题意； C 、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意； D 、 不是正整数，且 ，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意． 故选：B ． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，20 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股数的定义以及勾股定理进行判断即可． 【详解】解：A、1，，不全是正整数，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，且都是整数，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．10，8，6 B．，， C．，， D．10，15， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，解题的关键是掌握两数平方和等于第三个数平方的三个正整数是勾股数． 根据勾股数的定义“满足 的三个正整数，a、b、c称为勾股数”逐项判断即可． 【详解】A．，所以本组是一组勾股数，本选项符合题意； B．，因此，，不是一组勾股数，本选项不符合题意； C．，，都不是正整数，不是一组勾股数，本选项不符合题意； D．不是正整数，因此10，15，不是一组勾股数，本选项不符合题意； 故选：A． 题型二 求图形面积（共3小题） 4．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图，中，，分别以的三条边为一条边在的外部作等腰直角三角形，的面积为，的面积为，的面积为，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，再由等腰直角三角形的性质得，，则，同理，然后由三角形面积得，，，即可解决问题． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 同理： ， ，， 同理：， 是等腰直角三角形，， ， ， 故选项A不符合题意； ， 故选项B不符合题意； ，， ， 故选项C符合题意； ， 故选项D不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为4、9、8，则正方形的面积为（   ） A．21 B．17 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理可得正方形的面积之和等于正方形的面积，正方形的面积之和等于正方形的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图： 由题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的面积为：， 故选：A． 6．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形的面积，根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，用两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积即可得出答案，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型三 判断能否构成直角三角形（共3小题） 7．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．6，7，8 B． C．4，5，6 D．7，24，25 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理解答即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级下·广东韶关·期中）三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 首先将原等式变形为，然后得到，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， ∵ ∴ ∴此三角形是锐角三角形， 故选：B． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是的三角形，或者三角形的三边满足：，则：三角形为直角三角形是解题的关键．根据直角三角形的判定方法：有一个角为的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，是直角三角形，不符合题意； B、，，不是直角三角形，符合题意； C、，，是直角三角形，不符合题意； D、三边的长分别为5、4、3，，是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 题型四 勾股定理与网格问题（共3小题） 10．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到的周长； （2）过作，证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【详解】（1）解：，，， 的周长； （2）过作，    ∵， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上： (1) ； ； ； (2)求出的长 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中线的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理和网格的特点求解即可； （2）可求出，由网格的特点可得点D为的中点，则，，过点D作于H，可求出，则，，据此可得． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 由网格的特点可得点D为的中点， ∴，， 如图所示，过点D作于H，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·新疆伊犁·期中）如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、C均在网格的格点上． (1)求的长； (2)求的面积； (3)点c到边的距离． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据勾股定理计算，求出边的长； （2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算； （3）根据三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：的面积； （3）解：设点C到边的距离为h， 则，即， 解得，． 题型五 用勾股定理解三角形（共3小题） 13．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 【答案】(1)12 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键． （1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解； （2）由题意设，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12； （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 14．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （2）由已知可得，再分别在、和中，利用勾股定理可得，据此即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， 解得． 15．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，点D在边上，已知，，，点E在上，且． (1)试说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，于是结论得证； （2）由（1）可得，进而可得，利用可证得，于是可得，然后在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴ 题型六 勾股定理的证明方法（共3小题） 16．（24-25八年级上·福建漳州·期中）历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是边AB上的点． (1)请用a，b，c分别表示的面积； (2)请你利用等面积法验证勾股定理． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）的面积， 的面积， 的面积， （2）∵四边形ABCD的面积 ， 或四边形的面积的面积的面积的面积 ， ， ∵两种方法求得面积相等 ∴． ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 17．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 题型七 勾股定理的应用（共6小题） 19．（24-25八年级下·全国·期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路； （2）利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形，其中， ， 是从村庄C到河边的最近路 （2）解：设 ，则， 在中，， ， 解得， 即原来的路线的长为2.5千米． 20．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； （2）如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 21．（24-25八年级上·全国·期中）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 22．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米 (2)风筝的牵引线的长是41米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得：                                               ， 答：风筝的牵引线的长是41米． 23．（24-25八年级上·河南郑州·期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 （米）． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，（米）， 米 （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 24．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 题型八 利用勾股定理的逆定理求解（共3小题） 25．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定，先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】证明：在中， ∴， ∴， 在中，，， ， 为直角三角形，， ． 26．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． (3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】(1) (2)宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由见解析 (3)村庄C一共能听到分钟的宣传． 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）证明，则由勾股定理的逆定理可知； （2）利用等面积法求出，再由即可得到结论； （3）在上取两点E、F使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度可得答案． 【详解】（1）解：∵村庄C到A、B两站点的距离分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∵， ∴宣讲车P宣传时，村庄C能听到； （3）解：如图所示，在上取两点E、F使得，连接， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ∵分， ∴村庄C一共能听到分钟的宣传． 27．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01勾股定理及勾股定理逆定理 题型归纳·内容导航 题型一 勾股数的判断（常考点） 题型五用勾股定理解三角形（重点） 题型二求图形面积 题型六勾股定理的证明方法（难点） 题型三判断能否构成直角三角形 题型七勾股定理的应用（重点） 题型四勾股定理与网格问题 题型八利用勾股定理的逆定理求解（重点） 题型通关·靶向提分 题型一勾股数的判断（共3小题】 1.(24-25八年级上·广东佛山期中)下面四组数中是勾股数的一组是() A.62,82,102 B.5,12,13 C.1.5,2,2.5 D.5,√4，√5 2.(24-25八年级下·湖南永州期中)下列各组数中，是勾股数的是() A.1,V2,5B.1,2,3 C.5,12,13 D.10,15,20 3.(24-25八年级上山东枣庄·期中)下列四组数中，是勾股数的是() A.10,8,6B.32,42,5C.√2,5，V5D.10,15,-20 题型二求图形面积（共3小题） 4.(24-25八年级下·湖北咸宁期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为一条 边在Rt△ABC的外部作等腰直角三角形，△ACD的面积为S,△BCE的面积为S2,△ABF的面积为S,,下 列结论一定成立的是() S C B S2 A.S1+S2=S3B.S1+S3=2S2 C.2S1+S2=2S3 D.S,+2S2=2S 1/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2425八年级下·湖南岳阳·期中)如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， 若正方形A、B、C的面积依次为4、9、8，则正方形D的面积为() C B D A.21 B.17 C.13 D.12 6.(23-24八年级下·湖南株洲期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中 阴影部分在数学史上称为希波克拉底月牙”，若BC=6,AC=8,则图中阴影部分的面积为一 题型三判断能否构成直角三角形（共3小题） 7.（24-25八年级下·广西南宁.期中)下列各组线段中，能构成直角三角形的是() A.6,7,8 B.345 C.4,5,6 D.7,24,25 8.(24-25八年级下.广东韶关期中)三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a-b)2-c2,则此三角形是() A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 9.(24-25八年级上江苏泰州·期中)下列三角形中，不是直角三角形的是() A.ABC中，∠A=∠B-∠C B.ABC中，a:b:c=1:2:3 C.ABC中，a2-b2=c2 D.ABC中，三边的长分别为5、4、3 题型四勾股定理与网格问题（共3小题） 10.(23-24八年级下·辽宁鞍山期中)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A (I)求ABC的周长： (②)若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 11.(24-25八年级下·安徽合肥·期中)如图，小正方形的边长为1，三角形ABC的三个顶点都在小正方形 的顶点上： (1)AB=_;BC=_;AC=_; (2)求出BD的长 12.（24-25八年级下·新疆伊犁期中)如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、C均在 网格的格点上 B (I)求AC、AB、BC的长； (2)求ABC的面积： (3)点c到AB边的距离. 题型五用勾股定理解三角形（共3小题） 13.(24-25八年级下·贵州黔东南·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若c=13,b=5,则a=; (2)已知a:b=3:4,c=15,求a、b的值. 3/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(24-25八年级下.湖北孝感·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D. D (I)若AC=3,BC=4,直接写出CD的值为-： (2)若AD=4,BD=9,求CD的长 15.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)如图，在ABC中，点D在边BC上，己知AC=13,CD=5 ,AD=12,点E在AD上，且∠EBD=∠CAD. B (I)试说明：AD⊥BC; (2)若BE=AC,求AB的长 题型六勾股定理的证明方法（共3小题） 16.(24-25八年级上·福建漳州·期中)历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是 边AB上的点. D E (I)请用a,b,c分别表示△DAE,△DEC,△ECB的面积； (2)请你利用等面积法验证勾股定理 17.（24-25八年级下·湖北黄石期中)【课本再现】 (1)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两 直角边长分别为Q,b,斜边长为c,课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了 勾股定理a2+b2=c2.请写出证明过程 【类比迁移】 4/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a=3,b=4,则空白部分的面积为 【能力提升】 (3)如图3，在ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD的长为x,请求出x的 值 5 B D 图1 图2 图3 18.(25-26八年级上全国·期中)综合与实践. 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它 可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于2，另一种是等于四个直角三角形与 一个小正方形的面积之和，即b×4+b-2,从而得到等式c2=】b×4+b-a2,化简便得结论 2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”. R 图1 图2 图3 图4 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在2010年 构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt DEA按如图2所示的方式放置，其三边长分别为a ,b,C,∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD (1)请用a,b,C,分别表示出四边形ABDC,梯形AEDC,BDE的面积，再探究这三个图形面积之 间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2. 【方法迁移】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC, 边BC上的高为 (3)如图4，在ABC中，AD是边BC上的高，AB=5,AC=6,BC=7,设BD=x,求x的值， 5/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型七勾股定理的应用（共6小题） 19.(24-25八年级下·全国·期中)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中 AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米， B (I)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长 20.（23-24八年级上·宁夏银川期中)山青林场准备对一块四边形空地ABCD进行绿化改造，某中学数学 兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB=15m,CD=8m,AD=17m,从点A修一 条垂直BC的小路AE(垂足为点E),AE=12m,点E恰好是BC的中点. (I)求BC边的长； (2)求空地ABCD的面积. 21.(24-25八年级上·全国·期中)如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C,D处，已知 DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,AB=2.2km,AD=1.7km,BC=0.5km.为了更好地满足游客的需求， 公园管理方决定在道路AB的边上建一个游客服务中心E,使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距 离相等. D (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ 6/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求LCED的度数. 22.(24-25八年级下广西南宁.期中)实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下 方案： 课题：测量风筝的高度CE 工具：皮尺，计算器等. 测量示意图：如图1. 说明：如图1，AE表示地面水平线，AB表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且AB垂直于 地面于点A,线段BC表示风筝牵引线（近似为线段），CE表示风筝到地面的垂直高度，CE⊥AE于点E, BD⊥CE于点D. 测量数值：点B到CE的距离BD=9米；风筝牵引线BC的长度：BC=15米；AB的长度：AB=1.6米； 士 B D A E B D LCCKKK 4 E mnmnmmmmmmmmmmmnmmmmm 图1 图2 (1)求风筝的垂直高度CE; (2)如图2，如果风筝沿DC方向上升28米至点F(CF=28)，求风筝牵引线BF的长. 23.(24-25八年级上河南郑州期中)与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者 一一中国消防员.云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼 发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与 楼房的距离为24米。 房 A 消防车 地面F (1)求B处与地面的距离. 7/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撒离，为了能成功地救出小 孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 24.(23-24八年级下山东聊城期中)【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2， A和B是一个台阶两个相对的端点. 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只妈蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的 最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20.宽为15 的长方形，连接AB,经过计算得到AB长度为」 就是最短路程. 【变式探究】 (2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿着玻 璃杯的侧面到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为 A 20 图① 图② 图③ 图④ 【拓展应用】 (3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此 时，一只妈蚁正好在外壁上，离杯上沿1Cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚊从外壁B处到内壁A处所爬行 的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 题型八利用勾股定理的逆定理求解（共3小题） 25.(24-25八年级上·福建漳州·期中)如图，四边形ABCD中，AB=2,BC=4,CD=4,AD=6,且 AB⊥BC.求证：AC⊥CD. 8/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 26.(24-25八年级上·重庆阶段练习)新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开 起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫 标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心.某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员.如 图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别 为600m、800m,且AB=1000m.宣讲车周围500m以内能听到广播宣传. (I)求∠ACB的度数. (②)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由、 (3)如果能听到，己知宣讲车P的速度是100米分钟，那么宣讲车P沿AB方向行驶中，村庄C一共能听到 多少分钟的宣传？ 27.(24-25八年级下·浙江台州期中)如图，在ABC中，CD⊥AB于点D. B D B 备用图 (1)已知AD=4,BD=1,CD=2,求证：∠ACB=90°； (2)已知∠ACB=90°. ①若AD=3,BD=2,求CD的长； ②若设AD=m,BD=n,CD=k,则m,n,k的数量关系为 9/9