精品解析：黑龙江省绥化市海伦市2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025—2026学年度第一学期学期初测试 九年级数学试题 考生注意： 1、考试时间90分钟 2、全卷共四道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的减法法则、平方差公式、积的算术平方根、二次根式的除法进行计算，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项中计算错误，不符合题意； B. ，故选项中计算正确，符合题意； C. ，故选项中计算错误，不符合题意； D. ，故选项中计算错误，不符合题意； 故选：B 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程的定义分别判断即可． 【详解】解：A．的分母含未知数，所以不是一元二次方程； B． 当a=0时，变为，所以不是一元二次方程； C． 是一元二次方程； D． 含有两个未知数，所以不是一元二次方程； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 4. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 5. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( ) A. AB＝36m B. MN∥AB C. MN＝CB D. CM＝AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线性质解答即可. 【详解】解：因为M、N是AC，BC的中点， ∴MN//AB，B正确；MN＝AB， ∵MN的长为18m， ∴AB=2MN=36 m，A正确； ∵CM=AC，D正确. ∵AB不一定等于CB，C错误. 故本题选C. 【点睛】本题考查三角形中位线，熟悉掌握相关性质是解题关键. 6. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角互补 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角均为直角等特有性质．根据矩形和平行四边形的性质，逐一分析选项． 【详解】解：选项A：对角相等 平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除． 选项B：对角互补 矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意． 选项C：对边相等 平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除． 选项D：对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除． 故选：B． 7. 下列分式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出分子分母的公因式约分即可． 【详解】A、分子和分母没有公因式，无法约分，计算错误，该选项不符合题意； B、分子和分母没有公因式，无法约分，计算错误，该选项不符合题意； C、分子和分母没有公因式，无法约分，计算错误，该选项不符合题意； D、，计算正确，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的约分，牢记分式的基本性质是解题的关键． 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出已知方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可判定根的情况． 【详解】解：∵， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 9. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2 【答案】A 【解析】 【分析】据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加． 【详解】解：根据题意得：将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位， ∴平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1． 故选A． 10. 用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 【答案】C 【解析】 【详解】x2+6x+4=0， 移项，得x2+6x=-4， 配方，得x2+6x+32=－4+32， 即（x+3）2=5． 故选C． 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】∵CE//BD，DE//AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC= AC=2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故选C． 12. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( ) A. 3cm2 B. 4 cm2 C. cm2 D. 2cm2 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是菱形，可得菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD，菱形的对角线互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2，易求得OB=1，则可得AC的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， 又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2， ∴AB=AD=BD=2， ∴OB=1， ∴OA==， ∴AC=2， ∴菱形的面积为2， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半． 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当表示小于1的正数时，n为负整数，且为第一个非零数前0的个数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 15. 函数中，自变量x的取值范围是______ ． 【答案】且x≠4 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】 ∴且x-4≠0， ∴自变量x的取值范围是且x≠4. 【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 16. 若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】试题解析：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴3a-4=a+8， 解得：a=6 故答案为6 17. 平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）和点B（1，2），则线段AB的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式可以求得线段AB的长，本题得以解决． 【详解】解：点A（-1，3）和点B（1，2）， 如图，过A作AC⊥轴，过B作BC⊥轴，AC与BC相交于C， ∴AC=3-2=1，BC=1-(-1)=2， 在Rt△ABC中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标内两点间的距离，勾股定理，解题的关键是明确平面直角坐标内两点间距离的计算方法． 18. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 19. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先求每名同学赠的作品，再求x名同学赠的作品，根据总作品182件列方程即可． 【详解】解：设全组共有x名同学，则每名同学所赠的作品为：件， 则， 故答案为：． 20. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围 由图像可知，时二次函数图象在一次函数图象上方． 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD=________ ． 【答案】30° 【解析】 【分析】判断△ABE是顶角为150°的等腰三角形，求出∠EBA的度数后即可求解． 【详解】解：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝45°． 因为△ADE是等边三角形， 所以AD＝AE，∠DAE＝60°， 所以AB＝AE，∠BAE＝150°， 所以∠EBA＝(180°－150°)＝15°， 所以∠EBD＝∠ABD－∠EBA＝45°－15°＝30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了正方形和等边三角形的性质，正方形的四边都相等，四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角． 22. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为_______． 【答案】（100-x）（80-x）=7644 【解析】 【详解】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长为（100-x），宽为（80-x）的长方形， 根据长方形的面积公式列方程：（100-x）（80-x）=7644 故答案为：（100-x）（80-x）=7644 三．解答题（共54分） 23. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）先算除法，再进行加减运算； （2）先用平方差公式进行计算，再计算加减法． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 24. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x、y的值代入求解可得． 【详解】 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】此题主要考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算等知识，解题的关键是熟知分式的运算法则． 25. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解法是解决问题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用求根公式法求解即可； （4）用直接开方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ， ． 26. 已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形． 【答案】 证明：∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=2DE． ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴BC=2DE且 ∴EF=BC． 又 ∴四边形BCFE是平行四边形． 又EF=BE， ∴四边形BCFE是菱形． 【解析】 【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，可得四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，从而可得四边形BCFE是菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查的是菱形的判定，三角形中位线的应用，掌握以上知识是解题的关键． 27. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 【答案】解：（1）k≤0．（2）k的值为﹣1和0． 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值． 【详解】(1)∵方程有实数根， ∴△=22−4(k+1)≥0， 解得k ≤0 故k的取值范围是k≤0． (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得=−2,=k+1， −=−2−(k+1) 由已知,得−2−(k+1)<−1，解得k>−2 又由(1)k≤0， ∴−2<k≤0 ∵k为整数， ∴k的值为−1或0． 28. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 29. 如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． （3）根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 【答案】（1） （2），对称轴为直线 （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． 【小问3详解】 ∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期学期初测试 九年级数学试题 考生注意： 1、考试时间90分钟 2、全卷共四道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( ) A. AB＝36m B. MN∥AB C. MN＝CB D. CM＝AC 6. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角互补 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 7. 下列分式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 9. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2 10. 用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 11. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 12. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( ) A. 3cm2 B. 4 cm2 C. cm2 D. 2cm2 二、填空题（每小题3分，共30分） 13. 用科学记数法表示为__________． 14. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 15. 函数中，自变量x的取值范围是______ ． 16. 若最简二次根式和是同类二次根式，则a的值是_____． 17. 平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）和点B（1，2），则线段AB的长为______． 18. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 19. 绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为_____． 20. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 21. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD=________ ． 22. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为_______． 三．解答题（共54分） 23. 计算 （1） （2） 24. 先化简，再求值：，其中，． 25. 解方程： （1） （2） （3） （4） 26. 已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．求证：四边形BCFE是菱形． 27. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值． 28. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 29. 如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． （3）根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $