精品解析：甘肃省武威第八中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年甘肃省武威八中九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题 1. 以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 4. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，在抛物线的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的下列结论，不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 图象的对称轴是直线 7. 抛物线与直线的一个交点为，那么b的值是（） A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 8. 已知实数x满足，则代数式的值是（ ） A. 7 B. C. 7或 D. 或3 9. 如图，A、B、C是上的三点，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程的两个根，则 A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 如果抛物线有最低点，那么的取值范围是___________． 13. 如图是一张长的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为，则根据题意，可列方程为___________． 14. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为，，则的长为____． 15. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 16. 如图，是的直径，，，则________． 17. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是______米 18. 如图，四边形是的内接四边形，四边形为平行四边形，则的度数为_____． 19. 如图，的直径和弦相交于点E，已知 ______． 三、解答题 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 已知二次函数． （1）求出这个二次函数的最小值； （2）求出这个二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出时x的取值范围． 22. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 23. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并写出、两点的坐标； （2）在图中画出与关于原点对称的图形，并写出、两点的坐标． 24. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，，求． 25. 如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接，求的长． 26. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 27. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省武威八中九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题 1. 以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：B项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 即， 解得：，， 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 4. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行分析求解即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线得：，， ∴抛物线开口向下，与轴交点在负半轴上， ∴图象大致是： 故选：． 5. 已知，在抛物线的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，根据对称轴为直线，结合性质求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴时，随增大而增大， ∵，，， ∴， 故选：A． 6. 关于二次函数的下列结论，不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象性质解题． 【详解】二次函数，，二次函数开口向上，故A正确； 顶点坐标为，对称轴为，故D错误； 当时，随的增大而减小，故B正确； 当时，，经过点，故C正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 抛物线与直线的一个交点为，那么b的值是（） A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数一次函数的交点问题．把代入即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 把代入得到，解得， ∴一次函数为， 故选：B 8. 已知实数x满足，则代数式的值是（ ） A. 7 B. C. 7或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法解一元二次方程，代数式求值是解题的关键． 设，，则，可求满足要求解为，然后代值求解即可． 【详解】解：设，， ∴， ， 解得，（舍去）或， ∴， 故选：A． 9. 如图，A、B、C是上的三点，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∴． 故选D． 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程的两个根，则 A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等内容，关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．①根据抛物线的性质判断a、b、c的正负性，即可判断；②由抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，得当时，函数值为负，则，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③由函数与方程的关系，即可判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点A在点和之间，抛物线开口向下， ，，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，函数值为负， ∴，即， ∴，故②正确． ∵是方程的两个根， ∴是直线与抛物线两个交点的横坐标， ∴，故③正确． 故选：C． 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 如果抛物线有最低点，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 如图是一张长的矩形铁皮，将其按如图方式分别剪去两个全等的矩形和两个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）可制成表面积为的长方体铁盒．若设剪去的小正方形的边长为，则根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出长方体中四个长方形的长为，宽为，两个小正方形的边长均为，再利用长方体的表面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意得：在组成铁盒的长方体中，四个长方形的长为，宽为，两个小正方形的边长均为， ∵长方体铁盒的表面积为， ∴可列方程为， 故答案为：． 14. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用旋转的性质可以得出四边形的面积就等于正方形的面积，算出正方形的边长后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵把绕点顺时针旋转到的位置， ∴的面积等于的面积， ∴四边形的面积就等于正方形的面积，即正方形的面积为25， ∴边长， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质及勾股定理，能够熟练通过旋转的性质得出四边形的面积就等于正方形的面积是解题关键． 15. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【详解】试题分析：令x＝1，则y1＝m，y2＝n， 由图象可知当x＝1时，y1＞y2， ∴m＞n． 故答案为＞． 点睛：本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键． 16. 如图，是的直径，，，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质与的判定；根据同弧所对的圆周角相等，可得，得出，进而判断是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 17. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是______米 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即在线段上离中心处米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 18. 如图，四边形是的内接四边形，四边形为平行四边形，则的度数为_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据平行四边形的性质得出，由圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 19. 如图，的直径和弦相交于点E，已知 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，作，连接，先求出半径，进而得出，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，最后根据垂径定理得出答案． 【详解】过点O作于点F，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 三、解答题 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键： （1）移项，两边直接开平方求解即可得到答案； （2）配方，两边直接开平方求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：移项得， ， 两边直接开平方得， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：配方得， 即：， 两边开平方得， ， ∴，． 21. 已知二次函数． （1）求出这个二次函数的最小值； （2）求出这个二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）； （2），； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用： （1）先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数性质求解即可得到答案； （2）令解方程即可得到答案； （3）根据函数图象与x轴的交点坐标，结合抛物线的开口方向即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的对称轴：直线， ∵， ∴当时，y最小， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ∴， 解得：，， ∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为：，； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴时x的取值范围是或． 22. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【小问1详解】 解：的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并写出、两点的坐标； （2）在图中画出与关于原点对称的图形，并写出、两点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到、两点的坐标，顺次连线即可得到； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数得到点、，顺次连线得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了旋转作图，关于关于原点对称作图，正确掌握旋转的性质及中心对称的性质是解题的关键． 24. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用圆周角定理即可证明； （2）作于点，作于点，利用三线合一性质得到，，得到，利用全等三角形的判定证出，得到，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点，作于点， ，， ，，， 由（1）得，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 25. 如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）将抛物线化成顶点式，利用对称轴求得对应线段的长度，结合勾股定理可求得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴将A与B坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点D的坐标是， ∵对称轴与x轴交于点E， ∴，， ∵B点的坐标是， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 26. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应为元或元； （3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， 故与的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得： ， 解得：，， 答：销售单价应为元或元； 【小问3详解】 由题意可知： ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，有最大值，． 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $