1.1 认识方程 教学设计 2025-2026学年北师大版七年级上册数学

第五章 一元一次方程 第1节 认识方程 教学设计 一、内容和内容解析 内容： 本节课主要内容是通过实际问题引入方程的概念，理解什么是方程、一元一次方程以及方程的解，并初步学会根据题意列出方程。学生将通过具体情境（如购票问题、几何问题、行程问题等）感受方程的建模过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的有效工具。 内容解析： 方程是代数学的核心内容之一，是解决实际问题的数学模型。本节课从学生已有的算术思维出发，引导他们逐步过渡到代数思维，通过设未知数、列方程的方式将实际问题转化为数学问题。教学中应注重引导学生理解“等量关系”是列方程的关键，初步体会方程的思想方法，为后续学习解方程和应用题打下基础。 二、目标和目标解析 目标： 1. 理解方程、一元一次方程及方程的解的概念。 1. 能根据实际问题中的等量关系列出方程。 1. 初步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 目标解析： 通过本节课的学习，学生应能识别出情境中的未知量和等量关系，会用字母表示未知数，并列出相应的方程。学生应能判断一个方程是否为一元一次方程，并能检验某个数是否为方程的解。教学中应注重培养学生的数学建模意识和符号意识，提升其从实际问题中抽象出数学问题的能力。 三、教学问题诊断分析 1. 学生对“设未知数”的理解不足：部分学生习惯于算术方法解题，不习惯用字母表示数，需通过多个实例引导。 1. 找不准等量关系：学生可能能理解题意，但难以准确找出题目中的等量关系，需教师引导分析关键语句。 1. 对方程的解的理解模糊：学生可能认为“解方程”就是“凑数”，需通过检验的方式强化“解”的概念。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1： 秋游活动中，师生共购买45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，总票款为475元。问学生和老师各有多少人？ 问题2： 某长方形操场面积为5850 m²，长比宽多25 m。问长和宽各是多少？ 问题3： 张叔叔从甲地到乙地共22 km，因每小时比原计划多走1 km，提前12分钟到达。问原计划每小时走多少 km？ 设计意图： 通过三个不同背景的实际问题，引导学生发现其中存在的等量关系，初步感受“设未知数—列方程”的数学建模过程，激发学习兴趣，对应目标1和2。 （二）合作探究1：从现实问题到方程模型 探究目标： 引导学生经历“分析问题→设未知数→找等量关系→列出方程”的完整过程，体会方程的建模思想。 情境： 班级秋游购票问题。（师生共45人，学生票10元/张，成人票15元/张，总票款475元。） 师： 面对这个问题，我们以前可能会用“假设法”或“尝试”来解决。今天，我们学习一种更强大、更通用的方法——方程法。大家思考一下，题目中涉及到哪些数量？ 生： 学生人数、老师人数、学生票总价、成人票总价、总人数、总票款。 师： 很好！这些量之间存在着一些非常重要的关系，我们称之为“等量关系”。谁能找到题目中的等量关系？ 生1： 总人数关系：学生人数 + 老师人数 = 45人。 生2： 总钱数关系：学生票总价 + 成人票总价 = 475元。 师： 非常准确！现在我们尝试用数学的符号语言来表达这些关系。如果我们设学生人数为 人，那么老师人数如何表示？ 生： 因为总人数是45，所以老师人数就是 人。 师： 很好，这就用含未知数 的代数式表示了一个量。接下来，学生票总价如何表示？ 生： 单价10元乘以人数 ，就是 元。 师： 成人票总价呢？ 生： 单价15元乘以人数 ，就是 元。 师： 现在，根据我们找到的第二个等量关系，如何用一个等式把总钱数关系表示出来？ 生： 师： （板书方程）太棒了！像这样，含有未知数的等式，我们就把它称为方程。它就像一架天平，左边表示“学生和老师票的总价”，右边表示“实际支付的总价475元”，左右两边相等。我们通过设未知数，成功地把一个现实生活中的问题，转化成了一个数学的方程模型。接下来我们只需要研究如何求出这个方程中未知数 的值，就能解决原来的问题了。 追问（延伸知识点）： 师： 请大家观察这个方程 ，它有什么特征？未知数（我们古代也称为“元”）的个数和次数有什么特点？ 生： 只有一个未知数 ，而且 的次数是1。 师： 像这样，只含有一个未知数，且未知数的次数都是1（等号两边都是整式）的方程，我们给它一个专门的名字，叫做一元一次方程。这是我们初中阶段最先要掌握的最基本、最重要的方程。 （三）巩固练习1 1. 一个数的 与3的差等于9，列出方程。 · 答案： 1. 树苗原高40 cm，每周长高5 cm，几周后长到1 m？ · 答案： （四）合作探究2：辨析概念，理解本质 探究目标： 深化对“一元一次方程”概念的理解，能准确判断方程的类型，并理解“方程的解”的含义。 师： 我们认识了一元一次方程，现在请大家判断一下，下列哪些式子是一元一次方程？并说说你的理由。 (1) (2) (3) (4) 生1： 第(1)个是，它只有一个未知数x，次数是1。 生2： 第(2)个不是，它含有x和y两个未知数。 生3： 第(3)个不是，虽然只有一个未知数，但x的最高次数是2。 生4： 第(4)个……好像只有一个x，而且次数是1？（有学生表示怀疑） 师： 第(4)个是一个很好的辨析点。 可以写成 ，所以未知数x的次数是 -1，不是1。更重要的是，一元一次方程要求必须是整式方程，而 是分式，所以它不属于一元一次方程。判断方程类型，要紧紧抓住“一元”、“一次”、“整式”这三个关键词。 师： 我们列出了方程，那什么样的值才能叫做方程的解呢？我们回到最初的方程 。如果我猜测学生人数 ，它是方程的解吗？如何验证？ 生： 把 代入方程左边算一下。左边= 。右边=475。575 ≠ 475，所以不是。 师： 那如果我猜测 呢？ 生： 左边= 。550 ≠ 475，也不是。 师： 可见，并不是任何一个数代入方程都能让等式成立。我们把那个能使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。求出这个解的过程，叫做解方程。这是我们下一节课要重点学习的内容。 研究3：概念的明确（教师引导学生总结） 通过上面的例子和辨析，我们可以明确： 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程。 1. 方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值。 1. 检验方法：将给出的数值代入方程左右两边分别计算，看是否相等。 设计意图： 本环节通过正例和反例的辨析，引导学生深入理解“一元一次方程”概念的三个核心要素（一元、一次、整式），避免形式上的误解。通过“代入验证”这一活动，让学生亲身感受“方程的解”的本质含义，理解“解方程”的必要性。将概念的辨析与具体操作相结合，符合学生的认知规律，有效突破教学难点，对应目标1。 （五）典例分析 例1： 古埃及纸草书问题：“一个数，它的全部加上它的 等于19。”列出方程。 解： 设这个数为 ，则 设计意图： 通过历史文化情境增强学习兴趣，训练学生从文字中提取等量关系的能力，对应目标2和3。 （六）巩固练习 1. 某球队比赛10场不败，得22分，胜一场3分，平一场1分。列出方程。 · 答案： 1. 检验 是否是方程 的解。 · 答案： 是 1. 正方形铁皮截去宽2 cm的长条后，剩余面积80 cm²，原边长为多少？ · 答案： ，非一元一次方程，后续可解。 设计意图： 通过多类型题目巩固列方程和检验解的能力，提升综合应用能力。 （七）归纳总结 概念 说明 方程 含有未知数的等式 一元一次方程 一个未知数，次数为1，整式 方程的解 使方程成立的未知数的值 列方程的基本步骤 设未知数、找等量关系、列式 （八）感受中考 1. （2024·北京）小华用100元买了单价为8元和5元的两种笔记本共15本，求8元笔记本的本数。 · 答案： 1. （2024·上海）一个数的3倍减去5等于这个数的一半，求这个数。 · 答案： 1. （2025·江苏）某商品原价每件60元，降价后销量增加50%，总收入增加20%，求降价金额。 · 答案： ，可化简 1. （2025·浙江）一段铁路长240 km，一列火车提速后时间减少1小时，若原速为 km/h，则提速后为 km/h，求原速。 · 答案： 设计意图： 通过中考真题训练学生的应试能力和实际应用能力，增强学习动力。 （九）小结梳理 知识点 关联内容 方程的概念 等式、未知数 一元一次方程 次数、整式、一个未知数 方程的解 检验方法 列方程 设元、找关系、列式 （十）布置作业 必做题： 课本P138 习题5.1 第1题（1）（2）（3）、第2题 选做题： 自编一道与年龄相关的方程应用题，并列出方程。 五、教学反思 （本节课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $