重难点03 函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性7考点（期中真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

重难点03 函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性 7大高频考点概览 考点01函数单调性的应用 考点02函数奇偶性的应用 考点03函数周期性的应用 考点04函数的奇偶性与单调性 考点05函数的奇偶性与周期性 考点06函数的奇偶性与对称性 考点07函数性质的综合应用 地 城 考点01 函数单调性的应用 1．（24-25高一上·广东·期中）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A 2．（24-25高一上·广东清远·期中）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】分段函数在是减函数需满足， 解得， 故选：D. 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再判断出，最后确定，进而比较出大小即可. 【详解】因为，所以. 故选B. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，根据其在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，， 故选：D 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【详解】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 6．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 地 城 考点02 函数奇偶性的应用 7．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求得答案. 【详解】依题意，若函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一上·广东广州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数， 所以， 所以. 故答案为： 9．（21-22高一上·广东广州·期中）函数f(x)为R上奇函数，且，则当时，f(x)＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，， 因为函数f(x)为R上奇函数， 所以， 故选：B 10．（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程，求得答案. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得, 而当时，函数是上的偶函数， 所以. 故选：A. 11．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 12．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和定义域可得，解方程并验证即可求解. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数 所以，即，解得. 当时，， 有，函数为奇函数. 所以. 故选：D. 地 城 考点03 函数周期性的应用 13．（21-22高一上·广东·期中）设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】转化条件得，进而可得，再利用条件与奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 则是以为周期的周期函数， 又是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足，当时，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】推导出函数为周期函数，结合对数函数的单调性可得出，结合题中条件、对数恒等式以及指数的运算性质可求得结果. 【详解】因为定义在上的函数满足，则， 所以，， 所以，函数为周期，且为该函数的一个周期， 因为，则，， 所以， . 故答案为：. 15．（23-24高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 . 【答案】338 【分析】由，得到函数的周期为6，再结合当时，，当时，，求得求解. 【详解】解：因为定义在上的函数满足对任意的实数都有， 所以函数的周期为6， 又因为当时，，当时，， 所以 ， ， 所以， 所以， 故答案为：338 地 城 考点04 函数的奇偶性与单调性 16．（2025·广东湛江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 17．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 18．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可. 【详解】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，， 所以区间上单调递增，， 对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，若，则或，解得或，故B正确； 对于C，若，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当，，当，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确； 故选：ABD. 19．（24-25高一下·广东·期中）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先判断为奇函数，再分析其单调性，发现为增函数，故可利用单调性得到自变量的大小，由此可得到解集. 【详解】因为，且函数的定义域为，所以为奇函数， 又因为和在上均为增函数，所以为增函数， 由，得， 故，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 20．（24-25高一上·广东河源·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一判定选项. 【详解】A选项，中，令得，故A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 所以，故为奇函数，故B正确； C选项，中，令，且． 故，即， 当时，，故，即， 故在上单调递增，C错误； D选项，，解得， 则， 又，故，是的增函数，所以，D正确. 故选：ABD. 21．（23-24高一上·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 【答案】； 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性比较大小即可. 【详解】由偶函数性质可知， 又函数 在区间 上单调递增， 所以， 故答案为： 22．（24-25高一下·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得，然后结合指数函数单调性及对数函数的性质得，最后利用的单调性比较大小即可. 【详解】由于为偶函数，则， 因为和为R上的减函数，为上的增函数， 所以， 又，所以， 由于在上单调递增，所以， 即. 故选：D 23．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义域是R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)在R上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解； （2）根据函数单调性的定义进行证明即可； （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【详解】（1）由为定义在上奇函数，可知， 即，解得． 经检验，符合题意， 故； （2）由单调递增可知在上为增函数，证明如下： 对于任意实数，不妨设， ， 递增，且，，，， 故在上为增函数． （3）由为奇函数得：，等价于． 又由在上为增函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 的取值范围是． 地 城 考点05 函数的奇偶性与周期性 24．（21-22高一上·广东·期中）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则 . 【答案】 【分析】由为奇函数，为偶函数可得为周期为4的周期函数，再由，，联立可得，结合周期性，代入解析式即得解 【详解】由题意，为奇函数，所以 又为偶函数，所以 ，即为周期为4的周期函数 因为为奇函数，故 又 联立可得：，故当时， 则 故答案为： 25．（21-22高一下·广东珠海·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知：的周期，，再根据奇函数得，代入求解． 【详解】∵，则的周期 ∴ 故选：A． 26．（24-25高一上·广东东莞·期中）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而得函数为周期函数，再根据周期函数的性质结合黎曼函数的定义求解即可. 【详解】∵是定义在R上的奇函数，且， ∴，∴， ∴函数是以为周期的周期函数， 则 ， ， ∴. 故选：B. 27．（22-23高一上·广东·期中）（多选）已知函数的定义域为R，满足，且，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项：利用赋值的思路，令，，即可得到； B选项：令，得到，即可得到为偶函数； C选项：令，得到，再结合，，即可得到； D选项：令，取得到，令，取得到，再结合C选项的结论即可得到. 【详解】A选项：令，，则，又，则，故A正确； B选项：定义域为R，关于原点对称，令，则，即，所以为偶函数，故B正确； C选项： 令，则，即，则，又，， 所以 ，，故C错； D选项：令，取可得，，整理得， 令，取可得，，整理得，再结合C选项可得，故D正确. 故选：ABD. 地 城 考点06 函数的奇偶性与对称性 28．（24-25高一上·广东·期中）已知是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】分析函数关于直线对称，根据对称性即可得结果. 【详解】若是偶函数，则， 可知函数关于直线对称， 若方程有且仅有两实根，，根据对称性可得. 故选：C. 29．（20-21高一上·广东佛山·期中）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称，若函数的图象对称中心为，那么 ， . 【答案】 【分析】构造奇函数，则其为奇函数，即可求得的值. 【详解】根据题意函数的图象对称中心为， 设，则为奇函数， 则， 所以， 得 即，则有. 故答案为：1；-2； 30．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数和中心对称的性质求解即可. 【详解】因为是奇函数， ，即， 所以是关于对称. 由于函数与函数的图象关于x轴对称 所以的中心对称点为. 故选：B 31．（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对称性可判断A；由，，可推出，从而判断B；由已知条件得，利用赋值法可得到，从而判断C；从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到，进而可判断D. 【详解】对于A，因为的图象关于直线对称， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为， 联立得， 所以图像关于点对称，故B正确； 对于C，因为，所以， 即， 因为，代入得， 即， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，由B选项可知， 因为，所以. 因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算及变形能力，关键在于根据题中函数的对称性，得到求解所需变形即可. 32．（24-25高一下·广东·期中）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C．2022 D．1011 【答案】B 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心为，可得，结合对称性进行配对求和即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 所以的图象的对称中心为，即有， ，，，， 所以， ， . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数，得出图象的对称中心，然后函数值配对求和． 地 城 考点07 函数性质的综合应用 33．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据对称性求出的周期，再利用奇函数的性质以及周期性即可求得. 【详解】因为奇函数，则， 又，则， 于是，即4是函数的一个周期， 而，则，， 则， 又当时，，则， 所以． 故选：A 34．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出的值，结合对称性可求，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D. 【详解】由于函数的定义域为为偶函数， 则，即，则的图象关于直线对称，A正确； 又为奇函数，则，即， 故的图象关于点对称，B正确； 由于，令，则， 又的图象关于直线对称，故，C错误； 又，，则， 故，即，则， 即的一个周期为8，D正确， 故选：ABD 35．（23-24高一上·广东深圳·期中）（多选）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若在内关于x的方程恰有3个不同的实数根则a的可能取值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】BC 【分析】分析题意，先得到的周期性和对称性，作图像，方程根的问题转化为函数交点问题，讨论交点个数即可. 【详解】 ，，且关于对称， 当时，，故，且是偶函数，此时， 若恰有3个不同的实数根，则有三个根， 当时，显然与题意不符，当时，且令， 易知必过，故有三个交点，由图易知， 解得，故，, 故选：BC. 36．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 . 【答案】1 【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为4的周期函数，并求得，，，的值，将所有的式子利用周期进行转化即可求解. 【详解】因为图像关于点对称，所以. 又因为函数是R上的偶函数， 所以，所以， 则. 故函数的周期为4. 所以，又， 所以 . 故答案为：1 37．（23-24高一下·广东梅州·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．当时，的值域是 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD. 【详解】因为，则关于直线对称， 则，因为函数是定义在上的偶函数， 则，则，则B正确， 则 则的图象关于直线对称，故A正确； 对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同， 当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误； 对D，当时，，则， 当时，，根据的周期为4， 则，故D正确； 故选：ABD. 38．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义在上的偶函数满足：，当时，则当时（   ） A．单调递减，且 B．单调递增，且 C．单调递减，且 D．单调递增，且 【答案】A 【分析】利用抽象函数的对称性与周期性计算即可. 【详解】由可知的图象关于轴对称， 且为偶函数，即，即， 所以是的一个周期， 因为当时，此时函数单调递减，故当时，函数仍递减； 又，所以A正确. 故选：A 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性 7大高频考点概览 考点01函数单调性的应用 考点02函数奇偶性的应用 考点03函数周期性的应用 考点04函数的奇偶性与单调性 考点05函数的奇偶性与周期性 考点06函数的奇偶性与对称性 考点07函数性质的综合应用 地 城 考点01 函数单调性的应用 1．（24-25高一上·广东·期中）若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东清远·期中）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 6．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 地 城 考点02 函数奇偶性的应用 7．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 8．（24-25高一上·广东广州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 9．（21-22高一上·广东广州·期中）函数f(x)为R上奇函数，且，则当时，f(x)＝（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 12．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 函数周期性的应用 13．（21-22高一上·广东·期中）设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为 ． 14．（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足，当时，，则的值为 . 15．（23-24高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 . 地 城 考点04 函数的奇偶性与单调性 16．（2025·广东湛江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 17．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 19．（24-25高一下·广东·期中）已知函数，则不等式的解集是 . 20．（24-25高一上·广东河源·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．当时， 21．（23-24高一上·广东江门·期中）设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 22．（24-25高一下·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义域是R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并予以证明； (3)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 地 城 考点05 函数的奇偶性与周期性 24．（21-22高一上·广东·期中）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则 . 25．（21-22高一下·广东珠海·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）. A． B．2 C． D． 26．（24-25高一上·广东东莞·期中）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B． C． D． 27．（22-23高一上·广东·期中）（多选）已知函数的定义域为R，满足，且，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 地 城 考点06 函数的奇偶性与对称性 28．（24-25高一上·广东·期中）已知是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（    ） A．0 B．2 C．4 D． 29．（20-21高一上·广东佛山·期中）研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称，若函数的图象对称中心为，那么 ， . 30．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（    ） A． B．图像关于点对称 C． D． 32．（24-25高一下·广东·期中）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C．2022 D．1011 地 城 考点07 函数性质的综合应用 33．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 35．（23-24高一上·广东深圳·期中）（多选）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若在内关于x的方程恰有3个不同的实数根则a的可能取值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 36．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 . 37．（23-24高一下·广东梅州·期中）（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．当时，的值域是 D．当时， 38．（24-25高一上·广东广州·期中）已知定义在上的偶函数满足：，当时，则当时（   ） A．单调递减，且 B．单调递增，且 C．单调递减，且 D．单调递增，且 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $