专题03 轴对称（期中真题汇编，内蒙古专用）八年级数学上学期人教版2024

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03轴对称 ☆7大高频烤点概览 考点01轴对称概念和性质 考点02垂直平分线的性质和判定 考点03画轴邮对称图形+尺规作图 考点04等腰三角形定义，性质和判定 考点05等边三角形和性质和判定 考点06含30°角的直角三角形性质 考点07最短路径问题 目目 考点01 轴对称的概念和性质 一、 单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中下列四幅图案中，不是轴对称图形的是() A B D 2.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校期中下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是() A.笛卡尔心形线 B.赵爽弦图 C.莱洛三角形 D. 科克曲线 3.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学期中)汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的 符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是() 全发 震 C 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学期中)下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形 的是() B 5.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动.下列折纸作品 中是轴对称图形的有() 信封 飞机 风车 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)下列说法错误的是：（) A.直角三角形的两个锐角互为余角 B.(+1)边形的内角和比n边形的内角和大180° C.连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分 D.△ABC≌△DEF,则△ABC与△DEF一定关于某条直线对称 7.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中下列命题中，不正确的是（) A.关于某条直线对称的两个三角形全等 B.若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线 C.等腰三角形高、中线及角平分线重合 D.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 8.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学期中)下列命题中，是真命题的有()个 ①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高；②角、线段是轴对称图形： ③成轴对称的两个图形一定全等；④全等的两个图形一定是轴对称的； ⑤角的对称轴是这个角的平分线；⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条， A.2 B.3 C.4 D.5 9.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，△ABC与△ABC关于直线对称，则∠B的度 数() 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 509 B B 30 C A.30 B.50° C.90 D.100 10.(24-25八上·内蒙古赤峰期中)如图，△ABC和△ABC关于直线1对称，下列结论中，正确的有() ①△ABC兰△ABC;②∠BAC=∠BAC;③直线1垂直平分CC;④直线1平分∠CAB. 4(4 B A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 11.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中下列命题中，不正确的是() A.关于直线对称的两个三角形一定全等 B,角是轴对称图形 C.等边三角形有3条对称轴 D.等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合 12.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学期中)P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P1、P2,连接OP1、OP,则下列结论正确的是 A.OP1⊥OP2B.OP1=OP2 C.OP1⊥OP2且OP1=OP2D.OP1≠OP2 13.(2425八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)如图，△ABC的面积为6，AC=3,现将△ABC沿AB 所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是() D A.3 B.4 C.5.5 D.10 二、填空题 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)如图，点P为∠A0B内一点，分别作出P点关于0A、0B 的对称点P1,P2,连接P1P2交0A于M,交0B于N,P1P2=15,则△PMN的周长为 P A M 15.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应 是 h2己5E% 目目 考点02 垂直平分线的性质和判定 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是() 2.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校期中)在△ABC中，∠BAC=90°，AB≠AC.用无刻度的 直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是() / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B. D C. D 3.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的 垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=20°，则∠C的度数是() D A.30° B.35° C.40° D.50 4.(24-25八上内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学期中)如图，在△ABC中，分别以A,B为圆心，大于壳AB的 长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,与AB交于点D,与BC交于点E,连接AE.若 △ACE的周长为10，AB=9,则△ABC的周长为() D B A.17 B.19 C.20 D.21 5.(23-24八上内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学期中)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8,AB的 垂直平分线DE交AB于点D交AC于点E,△BEC的周长为13，则BC=(） 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.5 B.6 C.7 D.8 6.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟期中)如图，△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC, AC于D,E,△ABC周长为34cm,△ABD的周长为22cm,则AE的长度为() A.8cm B.4cm C.2cm D.6cm 7.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分 别交AB、BC于点M、N,且M、N分别在PA、PC的中垂线上.若∠ABC=80·,则∠APC的度数为() B M A.120° B.125 C.130° D.135° 二、填空题 8.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=130°，若EM和FN分别垂直平分 AB和AC,垂足分别为E,F,则∠MAN的度数为 B M 9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF, / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 仔细观察作图痕迹，若∠B=42·,∠C=50°，则∠EAF= B 10.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接 BD.若AC=7,BC=5,则△BDC的周长是· 11.(21-22八上江苏无锡锡山区天一实验学校期中)如图，在锐角△ABC中，∠A=75°，DE和DF分别垂直 平分边AB、AC,则∠DBC的度数为°， D B 12.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗期中)如图，己知在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线 DE交于AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,求∠A的度数为. D B 13.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学.期中)如图，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线 DE交AC于D,交AB于E,下述结论：(1)BD平分∠ABC;(2)AD=BD=BC;(3)△BDC的周 长等于AB+BC;(4)D是AC中点.其中正确的命题序号是」 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 14.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)求证：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相等.（已知，求证，证明，画图） 15.(24-25八上，内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗期中)已知：如图，AB=AE,BC-ED,AF是CD的垂直平分 线，求证：∠B=∠E. C F D 16.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学期中)如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°. B (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ,射线AE是∠DAC的 (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数， 17.(24-25八上·内蒙古呼和浩特做业学校期中)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD相交于点G. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AD是EF的垂直平分线： (2)若AB+AC=9,ED=2,求△ABC的面积. 18.(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校期中)如图，△ABC中，AD平分∠BAC, DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. A B G D (1)证明：BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长. 目目 考点03 画轴对称图形 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学期中)点(1,2m-1)关于直线x轴的对称点的坐标是() A.(2m-1,1)B.(-1,2m-1)C.(1,1-2m) D.(2m-1,2m-1) 2.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区期中)平面直角坐标系中，P(3,一2)，则点P关于y轴对称的点的 坐标为() A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(-2,-3) 3.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学期中)在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为 A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1),y轴上有一点P(0,2),作点P关于点A的对称点P1, 作点P1关于点B的对称点P2,作点P2关于点C的对称点P3,作点P关于点D的对称点P4,作点P4关于 点A的对称点P5,作点P5关于点B的对称点P6,,按此规律操作下去，则点P2018的坐标为() / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 P(0,2) D(-1,1) A(1,1) 0 C(-1,-1) B(1,-1) A.(0,2) B.(2,0) C.(0,-2) D.(-2,0) 二、填空题 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)点P(m+2,2n+1)与点Q(3-m,3+2n)关于x轴对称，则 m+2n= 5.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学期中)若点A(a,3)与B(2,b)关于x轴对称，则点 M(a,b)在第象限. 6.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称）， 若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐 标是(x-2,2),此时对应的虚像S的坐标是(3y),则xy的值为一· (3,y) (x-2,2)S S 7.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学期中)如图，在平面直角坐标系中，己知点A的坐标为 (4,4),△ABC是关于直线y=1的轴对称图形，则点B的坐标为】 B 8.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对 称变换，若原来点A的坐标是(V3,V2,则经过第2025次变换后所得的点A对应点的坐标是】 / 专题03 轴对称 7大高频考点概览 考点01 轴对称概念和性质 考点02 垂直平分线的性质和判定 考点03 画轴对称图形+尺规作图 考点04 等腰三角形定义，性质和判定 考点05 等边三角形和性质和判定 考点06 含30°角的直角三角形性质 考点07 最短路径问题 地 城 考点01 轴对称的概念和性质 一、单选题 1．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，把一个图形沿某条直线对折，对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线对称．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知：“全”字是轴对称图形， 故选：A ． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 5.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动．下列折纸作品中是轴对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：观察图形，信封，飞机和裤子三个图形都能找到一条直线，使图形折叠后能够完全重合，是轴对称图形；风车无法找到这样一条直线，不是轴对称图形； 故选C． 6.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)下列说法错误的是：（    ） A．直角三角形的两个锐角互为余角 B．（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大 180° C．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分 D．△ABC≌△DEF，则△ABC与△DEF一定关于某条直线对称 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质、多边形的内角与外角、轴对称图形的概念以及轴对称的性质进行判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互为余角，说法正确，该选项不合题意； B、（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大 180°，说法正确，该选项不合题意； C、连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，说法正确，该选项不合题意； D、△ABC≌△DEF，则△ABC与△DEF不一定关于某条直线对称，说法错误，该选项符合题意； 故选：D． 7.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)下列命题中，不正确的是（　　 ） A．关于某条直线对称的两个三角形全等 B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线 C．等腰三角形高、中线及角平分线重合 D．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】利用轴对称的性质与线段的垂直平分线的定义，等腰三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．关于某条直线对称的两个三角形可以重合，故全等，故A正确，不符合题意； B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，故B正确，不符合题意； C．利用等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，对于两腰则不符合，故C错误，符合题意； D．有一个外角是，可以求出内角的度数是，利用有一个角的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意． 故选：C． 8.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)下列命题中，是真命题的有（    ）个 ①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高；②角、线段是轴对称图形； ③成轴对称的两个图形一定全等；④全等的两个图形一定是轴对称的； ⑤角的对称轴是这个角的平分线；⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质逐一分析，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：①等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高所在的直线，①是假命题； ②角、线段是轴对称图形，是真命题； ③成轴对称的两个图形一定全等，是真命题； ④全等的两个图形一定是轴对称的，是假命题； ⑤角的对称轴是这个角的平分线所在的直线，⑤是假命题； ⑥一个轴对称图形的对称轴可能不止一条，是真命题， 即是真命题的有②③⑥ 故选：B． 9.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，与关于直线对称，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等，根据轴对称的性质得出，根据全等三角形的性质得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵与关于直线对称， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶D． 10.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（   ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称，根据成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点所连线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，直线垂直平分，， ∴直线平分， 综上，正确的有①②③； 故选A． 11.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)下列命题中，不正确的是（   ） A．关于直线对称的两个三角形一定全等 B．角是轴对称图形 C．等边三角形有3条对称轴 D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合 【答案】D 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】A、正确，符合对称的性质； B、正确，角平分线是角的对称轴； C、正确，三个角的角平分线是等边三角形的对称轴； D、错误，等腰三角形底边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合，腰上的高、中线及这边所对角的角平分线不重合． 故选：D． 12.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是 A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2 【答案】B 【详解】试题分析：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2， ∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2． ∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB． ∵∠AOB度数任意，∴OP1⊥OP2不一定成立． 故选B． 13.(24-25八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（　　） A．3 B．4 C．5.5 D．10 【答案】A 【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，利用面积求出高，则BP不可能比高小，因此得解. 【详解】如图： 过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M， ∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处， ∴∠C′AB=∠CAB， ∴BN=BM， ∵△ABC的面积等于6，边AC=3， ∴×AC×BN=6， ∴BN=4， ∴BM=4， 即点B到AD的最短距离是4， ∴BP的长不小于4， 即只有选项A的3不正确， 故选A． 二、填空题 14.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质．利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论 【详解】解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 15.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 地 城 考点02 垂直平分线的性质和判定 1、 单选题 1.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB的垂直平分线，从而得到DA=DB． 【详解】A．AD为BC边的高； B．AD为角平分线， C．D点为BC的中点，AD为BC边上的中线， D．点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB． 故选：D． 2.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图逐一判断即可得． 【详解】解：A．此作图是作∠BAC平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意； B．此作图可直接得出CA＝CD，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； C．此作图是作AC边的中垂线，可直接得出AD＝CD，此作图正确，不符合题意； D．此作图是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； 故选：A． 3.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠C的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 【答案】B 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，根据等边对等角可得∠C＝∠EAC，设∠C＝x°，则∠EAC＝x°，根据三角形内角和公式可得方程 x+x+20+90＝180，再解方程即可． 【详解】∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠C＝∠EAC， 设∠C＝x°，则∠EAC＝x°， ∵∠ABC＝90°，∠BAE＝20°， ∴x+x+20+90＝180，解得：x＝35， ∴∠C＝35°， 故选B． 4.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，是的垂直平分线，，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， 又， ∴的周长为， 故选：B． 5.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点 D交于点E，的周长为13，则（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式可得，进而可知，即，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为13， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故选：A． 6.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，△ABC周长为34cm，△ABD的周长为22cm，则AE的长度为（　　） A．8cm B．4cm C．2cm D．6cm 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据△ABC周长为34cm，△ABD的周长为22cm，作差求出AC的长即可解题. 【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为22， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝22， ∵△ABC周长为34， ∴AB+BC+AC＝34， ∴AC＝34﹣22＝12， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴AE＝AC＝6（cm）， 故选D． 7.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 2、 填空题 8.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，在中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E，F，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则 °． 【答案】 【分析】根据基本作图得到垂直平分，平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再利用三角形内角和定理计算出，则，然后利用角平分线的定义求解． 【详解】解：由作图得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC=7，BC=5，则△BDC的周长是 ． 【答案】12 【分析】首先利用垂直平分线的性质得出，然后通过等量代换求解即可． 【详解】∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ． ∵AC=7，BC=5， ∴△BDC的周长是， 故答案为：12． 11.(21-22八上·江苏无锡锡山区天一实验学校·期中)如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 °． 【答案】15 【分析】连接DA、DC，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=100°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，DA=DC，进而得到DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接DA、DC， ∵∠BAC=75°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=105°， ∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC， ∴DA=DB，DA=DC， ∴DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA， ∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=75°， ∴∠DBC=∠DBC=×（105°-75°）=15°， 故答案为：15． 12.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，已知在中， 的垂直平分线交于于点E，的垂直平分线正好经过点B，与相交于点F，求的度数为 °． 【答案】36 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意连接，利用等腰三角形的性质得出与的关系，根据是线段的中垂线的出，从而根据角平分线的性质得出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 13.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，中，，，的中垂线交于，交于，下述结论：（1）平分；（2）；（3）的周长等于；（4）是中点．其中正确的命题序号是 ．    【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质和特殊等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的顶角为，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ； （1）平分正确； （2）正确； （3）的周长 ，正确； （4），所以不是的中点，故本选项错误． 故正确的命题是（1）（2）（3）． 故答案为：（1）（2）（3）． 三、解答题 14.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)求证：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．（已知，求证，证明，画图） 【详解】已知：如图：是线段的垂直平分线，点A在直线上，求证：． 证明： 在和中， ，      ∴线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 15.(24-25八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E． 【详解】证明：连接AC，AD ∵AF⊥CD且F是CD的中点 ∴可知AF是CD的垂直平分线， 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ∴AC=AD， 在和中 16.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【详解】解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵射线是的平分线， ∴． 17.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 18.(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校·期中)如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． (1)证明：； (2)如果，，求AE、BE的长． 【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD， ∵且平分BC， ∴BD=CD， ∵AD平分，于E，于F， ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF； （2）解：∵AD平分，于E，于F， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∴CF=AF-AC=AE-AC， 由（1）知：BE=CF， ∴AB-AE=AE-AC 即5-AE=AE-3， ∴AE=4， ∴BE=AB-AE=5-4=1， 地 城 考点03 画轴对称图形 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)点关于直线x轴的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以考查关于轴对称的点的坐标特征知识点，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标变化规律． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数来求解． 【详解】已知点，关于轴对称的点横坐标不变，仍为1；纵坐标是的相反数， 即， 所以点关于轴的对称点的坐标是， 故答案选：C． 2.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)平面直角坐标系中，，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题的特征是解题的关键；因此此题可根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为； 故选C． 3.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，y轴上有一点，作点P关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作点关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作点关于点B的对称点，…，按此规律操作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出点P1，P2，P3，P4的坐标，从而发现点的坐标以4为周期，作循环往复的周期变化，即可解决问题． 【详解】解：∵点P坐标为（0，2），点A坐标为（1，1）， ∴点P关于点A的对称点P1的坐标为（2，0）， 点P1关于点B（1，-1）的对称点P2的坐标（0，-2）， 点P2关于点C（-1，-1）的对称点P3的坐标为（-2，0）， 点P3关于点D（-1，1）的对称点P4的坐标为（0，2）， 即点P4与点P重合了； ∵2018=4×504+2， ∴点P2018的坐标为（0，-2）， 故选C． 二、填空题 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相同；是解本题的关键． 根据关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出的值，代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 5.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)若点与关于x轴对称，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】∵点与关于x轴对称， ∴，， ∴点M坐标为，在第四象限． 故答案为：四． 6．(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 7.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， ∴它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故答案为：． 8.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后所得的点对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，平面直角坐标系中图形的变换，理解图形关于坐标轴对称，点的对应关系，找出规律，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据图形关于对称，则对应点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于轴对称，对应点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，由此找出规律，即可求解． 【详解】解：点在第一象限， 第一次关于轴对称，在第四象限，则对应点的坐标为， 第二次关于轴对称，在第三象限，则对应点的坐标为， 第三次关于轴对称，在第二象限，则对应点的坐标为， 第四次关于轴对称，在第一象限，则对应点的坐标为， ∴每4次一循环， ∴， ∴经过第次变换后所得的点对应点的坐标是， 故答案为： ． 3、 解答题 9.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)在由单位正方形（每个小正方形边长都为1）组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)把向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，请画出，并写出点的坐标； (2)请画出关于x轴对称的，并求出的面积． 【详解】（1）因为， 所以向左平移4个单位，再向上平移2个单位后各点坐标为，，，作图如下： 则即为所求． （2）因为， 所以关于x轴对称后各点坐标为，，，作图如下： 所以=． 10.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在图中画出关于x轴对称的图形，并写出顶点和的坐标． (2)若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中描出点与点，并画出这条对称轴； (3)若点关于x轴的对称点为，求m，n的值． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：点与点纵坐标相等， ∴点与点关于直线成轴对称， 即对称轴为直线， 如下图所示； （3）∵点关于x轴的对称点为， ∴， 解得． 11.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，在边长为的正方形网格中，将的三个顶点，，分别关于轴对称得到，，，的对应点分别为，，． (1)请在图中画出，并直接写出的坐标：_____； (2)在轴上有一点，使得的面积为，求点的坐标． 【详解】（1）解：利用关于轴对称的点的坐标特征得到对应点，，，依次连接如图， ∴即为所求，且； 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 则， 解得或， ∴点的坐标为或． 12.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于x轴对称的图形，并用坐标表示_____，_____，_____； (2)求的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作，，，； 故答案为：，，； （2）如图所示，将补充梯形 ∴，，，，， ． 故答案为：9． 13.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在平面直角坐标系中：    （1）请画出关于y轴对称的，并写、点的坐标； （2）直接写出的面积为_________________； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请标出点P的在坐标轴上的位置． 【详解】解：（1）如图所示：   B1(−2，−4)，C1(−4，−1) ； （2）如图：面积为：；    （3）如图所示：点P即为所求点． =   14.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)写出点的坐标：_____，_____，_____； (3)求的面积； (4)在轴上画出点，使的值最小． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵与关于轴对称，， ∴点的坐标为：； 故答案为：； （3）解：的面积； （4）解：如图，连接，与轴交于点，点即为所求． 15.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_________； (3)求出的面积； (4)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）点C关于y轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）； （4）如图，点P即为所求． 16.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，．    (1)作出的高，的中线； (2)求三角形的面积； (3)画出 关于y轴的对称图形． 【详解】（1）解：如图，线段，线段即为所求；    （2）解：； （3）解：如图，即为所求． 17.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【详解】解：（1）如图，即为所求． （2）点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ， ； （3）如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以BC为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以BC为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以BC为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个， 故答案为：10． 18.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． (1)请在平面直角坐标系内，画出关于x轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为、、；并写出的坐标． (2)画出两个与全等且有公共顶点B的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数） (3)请写出点关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，、即为所求， （3）解：设对称点为， ∵直线，且平行于y轴，， ∴，， ∴， ∴点关于直线n对称的点的坐标为． 19.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． (1)作关于y轴对称的图形； (2)写出顶点坐标； (3)如果与全等，则请直接写出点D坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． （3）解：如图所示，点即为所求． 20.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点，按下列要求画图： (1)在图1中，画一条不与线段重合的线段使与关于某条直线对称（，的对应点分别为，），且，均为格点． (2)在图2中，画一个，使与关于直线对称（，，的对应点分别为，，），且，，均为格点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 21.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)写出三个顶点坐标； (3)求的面积； (4)如图，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇P，Q的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，请问发射塔应该建在什么位置？请用尺规作图在图中标记出发射塔所在的位置． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形， （2）根据点在坐标系内的位置可得： ，，； （3）． （4）解：如图所示，点H即为所求， ∵平分m和n的夹角， ∴点H到m的距离等于点H到n的距离， ∵是垂直平分线， ∴点H到P的距离等于点H到Q的距离， ∴点H即为所求． 22.(24-25八上·江苏南京秦淮区钟英中学·月考)如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图） 【详解】解：作直线m和直线n所夹锐角的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 23．(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，两个化工厂A、B即将投产，现要在道路、的交叉区域内设一个产品储藏点P，使点P到两条道路的距离相等便于销售运输，并且两个化工厂运送产品到储藏点的路程一样．储藏点P应修建在什么位置？在图上标出它的位置（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】解：如图，点、即为所求作， 答：储藏点应修建在点或点的位置． 24.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，在中，，D是AB延长线上的一点． （1）尺规作图：作BE平分； （2）在（1）的条件下，判断BE与AC的位置关系，并证明． 【详解】（1）解：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BD、BC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于一点E，连接BE，如图所示： ∴BE平分∠DBC； （2）BE∥AC，理由如下： 由（1）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴BE∥AC． 25.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 【详解】（1）解：如图，射线是的平分线，直线是线段的垂直平分线． （2）解：如图，与交于点F， ∵平分， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点04 等腰三角形的定义、性质和判定 1、 单选题 1.(24-25八上·清单02图形的轴对称（知识梳理16个题型解读真题拔高15题）-·期末)如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 2.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离 海里． 【答案】30 【分析】根据方位角及三角形内角和定理求出∠PAB=∠APB，由此得到PB=AB． 【详解】解：由题意得∠PAB=90°-60°=30°，∠PBA=90°+30°=120°， ∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=30°， ∴∠PAB=∠APB， ∴PB=AB=30（海里）， 故答案为：30． 3.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分的角是底角和顶角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当的角是底角时，底角即为； 当的角是顶角时，底角为； ∴它的一个底角的度数是或， 故选：C． 4.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)等腰三角形的一个外角是，则其底角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质和三角形内角和，根据等腰三角形性质、三角形内角和与外角性质，分两种情况进行讨论即可得到答案． 【详解】解：等腰三角形的一个外角是，则有一个内角是， ②当这个角为底角时，此三角形底角为； ②当这个角为顶角时，底角， 所以其底角为或， 故选D． 5.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（    ） A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为 （2）当的内角为这个等腰三角形的底角 则另两个内角一个为底角，一个为顶角 底角为，顶角为 综上，另外两个内角的度数分别是或 故选：D． 6.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，在中，，过点作，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，根据平行线的性质求出的度数，根据等边对等角求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等．根据等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和可知，当两个等腰三角形的顶角相等时则其底角也相等． 【详解】解： 以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点， ， ， 故选：C． 8.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】D 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 9.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（    ） A．80° B．90° C．100° D．108° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和为180°逐步算出答案． 【详解】解：∵AB=BC， ∴∠ACB=∠A=18°， ∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°， ∵BC=CD， ∴∠CDB=∠CBD=36°， ∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°， ∵CD=DE， ∴∠CED=∠DCE=54°， ∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°， ∵DE=EF， ∴∠EFD=∠EDF=72°， ∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°． 10.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)如图，是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管、、……添加的这些钢管的长度都与的长度相等．如果，那么添加这样的钢管的根数最多是(　　) A．7根 B．8根 C．9根 D．10根 【答案】B 【详解】∵添加的钢管长度都与相等, ， ∴∠FDE=∠DFE=20， … 从图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角形的底角是10,第二个是20,第三个是30,四个是40,五个是50,六个是60,七个是70,八个是80,九个是90就不存在了， 所以一共有8个，故添加这样的钢管的根数最多8根 故选B. 11.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（    ） A．28° B．36° C．45° D．72° 【答案】B 【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB=∠ACD=，再由邻补角得出∠ACB=∠EAC=，结合图形代入求解即可． 【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴∠EAB=∠ACD=， ∴∠ACB=∠EAC=180°， ∴∠BAC=∠EAB-∠EAC =108°， 故选：B． 12.(24-25八上·浙江湖州安吉县·期中)如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角、三线合一的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵中，，是中点， ∴，，平分，， 故选项B、C、D正确，不符合题意， 不能证明，故选项A不一定正确，符合题意， 故选：A． 13．(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点E,已知，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于F， ∵，是等腰三角形底边上的中线， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴的面积， 故答案为：6． 14.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】根据三角形外角定理及等腰三角形的性质解答． 【详解】解：∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OB′， ∵∠OAC＝20°， ∴∠OB′A＝20°， ∴∠A′OA＝20°×2＝40°． 故选B． 15.(24-25八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论： ①和都是等腰三角形；②； ③的周长等于与的和；④． 其中正确的有（    ）    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得，，从而得到，都是等腰三角形；②同①有，，所以；③由②得：的周长；④因为不一定等于，所以不一定等于，所以与不一定相等． 【详解】解：∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵，， ∴，都是等腰三角形．故①正确； ∴，，即有，故②正确； ∴的周长=，故③正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴与不一定相等，故④错误； ①②③正确， 故选：C． 16.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在中，平分，，，若，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，正确添加辅助线、证明是解题的关键． 延长交于点E，如图，证明，得到，，可得，由可得，进而可得答案． 【详解】 解：延长交于点E，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：D． 17.(24-25八上·山东济宁邹城第十中学·月考)如图，已知的面积为12，平分，且于点D，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线平分三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先延长交与点E，根据平分，且于点D，得出，证明，所以,，即，因为，所以的面积是，即可作答． 【详解】解：延长交与点E， ∵平分，且于点D， ∴， ∵， ∴， ∴,， ∴是的中线， ∴， ∵的面积为12，且， 则的面积是， 故选：C． 18.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，由三角形角平分线的定义可得，利用可证得，于是可得，，，由三角形外角的性质可得，则，进而可得，由等角对等边可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长，交于点，   ， ， 平分， ， 又， ， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 19.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】C 【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案． 【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件； ②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件； ③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点 ∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点， 故选：C． 20.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 21.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，连接，根据等腰三角形的性质以及翻折变换的性质即可求解，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断． 【详解】连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、多选题 22.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，在中，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：解：，点在射线上， ， 分以下三种情况讨论：如图， ①当时，则， ∴； ②当时，则； ③当时，则， 又∵ ∴． 综上所述，的度数为或或． 故选：ACD． 三、填空题 23.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)已知等腰三角形的一边长等于3，一边长等于7，则它的周长为 ． 【答案】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】由题意得①当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形； ②当腰为7时，7+7＞3，所以能构成三角形； 故等腰三角形的周长是：7+7+3=17. 故答案为17. 24.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是 . 【答案】21或18 【分析】根据题意要根据腰的情况分类讨论，第一当腰为5cm是计算周长；第二当腰为8cm计算周长. 【详解】解：根据题意可得第一当腰为5cm时，周长为：5+5+8=18； 当腰为8cm时，周长为:8+8+5=21 故答案为21或18 25.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)若等腰三角形的周长是，其中一边长为，则腰长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，当等腰三角形的给定边长不固定时要分情况讨论是解题的关键． 分当腰长为和底边长为两种情况，分别运用三角形的三边关系分出腰的长即可． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： ①当腰长为时，则另一腰也为，则底边为， ∵， ∴边长分别为，，，能构成三角形； ∴该等腰三角形的腰长为； ②当底边长为时，腰的长， ∵， ∴边长为，，，能构成三角形． ∴该等腰三角形的腰长为； 综上，该等腰三角形的腰长为或． 故答案为：或． 26.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 ． 【答案】9cm或21cm 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的腰长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm. 根据题意得 ，或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此三角形的腰长为18cm或12cm. 故答案为：18cm或12cm． 27.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)等腰三角形的两边a，b满足，则三角形的周长是 . 【答案】12 【详解】试题分析：应用非负数的性质求出a，b的值，再利用分类讨论及三角形三角形的关系求出三边长，再求和即可得出三角形的周长. ∵， ∴，， 又∵是等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或5，2，2 （不满足三角形构造条件，舍去）， ∴周长为. 故答案为12 28.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：如图，若等腰三角形为锐角三角形，且，，此时， ∵，， ∴， 即顶角的度数为；   如图，若等腰三角形为钝角三角形，且，，此时， ∵，， ∴ ∴， 即顶角的度数为； 故答案为∶或． 29.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】或 【分析】由等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解． 【详解】①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：， ∴特征值， ②当为底角时，顶角的度数为：， ∴特征值， 综上所述，特征值为或． 故答案为：或． 30.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为 【答案】1 【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度． 【详解】解：延长BD与AC交于点E， ∵∠A=∠ABD， ∴BE=AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∴∠EBC=∠BEC， ∴△BEC为等腰三角形， ∴BC=CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD=BE， ∵AC=5，BC=3， ∴CE=3， ∴AE=AC-EC=5-3=2， ∴BE=2， ∴BD=1． 故答案为：1． 31.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，根据角平分线和垂线的定义，易证，得到，，进而得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 的面积为， ， 故答案为：． 32.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，在中，、的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，则①，都是等腰三角形；②；③；④中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的性质，平行线的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，故结论①正确； ∴，， ∴，故结论②正确； ∴，故结论③正确； ∵与的数量关系不确定，无法判定与相等， ∴，不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 33.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，在中，是的角平分线，过点D作交于点E，平分交于点F，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，同理可得，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，     ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4 34.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为 ． 【答案】10 【分析】由题意，根据等角对等边得到AE=AF=3，再结合AC=AB=7，即可求出答案． 【详解】解：∵于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴AE=AF=3， ∵， ∴； 故答案为：10． 35.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，中，，，平分交于，于点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中结论正确的是 ．    【答案】②③④ 【分析】过作于，可得，进而证明，即可判断①，作，交于，证明，可得，根据等腰三角形的性质与判定得出，，进而判断②③；过作于，证明，则，进而得出，即可判断④ 【详解】解：过作于，   ，平分， ， 在，中， ∴ ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，①错误； 作，交于， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②正确，③正确； 过作于， ， ， ， 平分，，， ， 在和中 ，，， ， ， 在中， ， ， ∴， ∴④正确； 故答案为：②③④． 36.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，在中，，，在上取一点，延长到，使得，连接．如果继续在上取一点，延长到，使得，连接，，依此进行下去，那么以为顶点的锐角的度数等于 度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，进而找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的锐角的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得，，， ∴以为顶点的锐角的度数为． 故答案为：． 37.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图所示，在等腰中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ．    【答案】 或 【分析】过D作，，易证，，再根据角度关系即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为： 或，   ． 三、解答题 38.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长是的等腰三角形吗？为什么？ 【详解】解：（1）设底边长为， 腰长是底边的2倍， 腰长为， ，解得，， ， 各边长为：，，． （2）①当为底时，腰长； ②当为腰时，底边， ， 不能构成三角形，故舍去； 能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，． 39.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)一个等腰三角形的周长为25cm． （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； （2）已知其中一边的长为6cm．求其它两边的长． 【答案】（1）10cm，10cm，5cm（2）9.5cm，9.5cm 【来源】 内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗南片联盟2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】（1）设底边长acm，则腰长2acm，根据等腰三角形的周长为25cm．即可得出答案； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【详解】（1）解：设底边长acm，则腰长2acm ∵三角形的周长是25cm， ∴2a+2a+a＝25， ∴a＝5，2a＝10， ∴三角形的底边长为5cm，腰长为10cm，即各边的长为：10cm，10cm，5cm， （2）解：①底边长为6cm，则腰长为：（25﹣6）÷2＝9.5，所以另两边的长为9.5cm，9.5cm，能构成三角形； ②腰长为6cm，则底边长为：25﹣6×2＝13， ∵6+6=1213，∴不能构成三角形． 因此另两边长为9.5cm，9.5cm． 40.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，在中，，平分，．    (1)求的度数； (2)若，垂足为，交于点，求的度数． 【详解】（1）解：， 设， 平分， ， ∵， ， 在中，， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 41.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，在四边形中，，平分交于点E.求证：． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 42.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，已知，与交于点B，．求证：． 【详解】证明：在和中， ， ， , ． 43.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且．    (1)求证：． (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴． 44.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图，点D、E在的边上，，求证：． 【详解】证明：如图，过点A作C于P． ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 45.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图，在中，，于． (1)求证：； (2)若平分分别交、于，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：，于， ，， ； （2）解：是等腰三角形． 理由如下：在中，， 在中，， 又平分， ， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 46.(24-25八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【详解】证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 47.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，中，，于点，，平分，点是边的中点，连接，交于点． (1)求证：； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明： ，平分， ， ， ， 在和中， ， ； ， 又， ； （2）为等腰直角三角形． 点是边的中点， 垂直平分， ， ， ，， ， 又， 为等腰直角三角形； 48.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． (1)猜想是 三角形； (2)请将猜想到的结论进行证明． 【详解】（1）解：猜想△DOP是等腰三角形； 故答案为：等腰． （2）证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠BOP， ∵DN∥EM， ∴∠DPO=∠BOP， ∴∠DOP=∠DPO， ∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形． 49.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，在中，，分别是和的平分线，且．    (1)求的周长； (2)若，求的度数． 【详解】（1）解：∵分别是∠和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 50.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)如图，在中，是边上一点，以为边在右侧作，使，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答： 的度数为． 51.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)（）如图，，点在上，且，求的大小； （）如图，是的角平分线，于，于，连接交于． ①求证：垂直平分； ②若的面积为，，，求的长． 【详解】（）解：设， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （）①证明：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分； ②解：∵的面积为，，，， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 52.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． (1)若是的角平分线，求证：； (2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【详解】（1）证明：如图，延长，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴, 即的大小不变，为定值． 53.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）延长至点，使，取的中点，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 54.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)如图，在中，，D是上任意一点，过点D分别向、引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高． (1)当D点在什么位置时，？并证明； (2)线段，，的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【详解】（1）解：当点在的中点上时，． 理由如下： 为中点， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）解：，理由如下： 连接， ， ， ， ． 地 城 考点05 等边三角形的性质和判定 1、 单选题 1．(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)下列命题中，假命题是（　　） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．面积相等的两个三角形全等 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题； B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题； C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题； 故选：C． 2.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝ . 【答案】2   【分析】连OQ，由点P关于直线OB的对称点是Q，根据轴对称的性质得到OB垂直平分PQ，则∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，得到△POQ为等边三角形，根据等边三角形的性质得PQ=PO=2． 【详解】 如图，连OQ， ∵点P关于直线OB的对称点是Q， ∴OB垂直平分PQ， ∴∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ， ∴∠POQ=60°， ∴△POQ为等边三角形， ∴PQ=PO=2. 故答案为2. 3.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)已知，如图，中，，，，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AB于点F，则MN的长为（    ） A．18cm B．12cm C．6cm D．3cm 【答案】C 【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可． 【详解】解：连接AM，AN， ∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∴， ∴，， ∴， ∴∠BAM+∠CAN=60°， ∴∠MAN=∠BAC-60°=60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM=AN=MN， ∴BM=MN=NC， ∵BC=18， ∴MN=6． 故选：C． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确 ∵， ∴， ∴．故③正确， ∵．， ∴， ∴，故④正确， 若，则，，与题干条件不符， ∴无法判断，故②错误， 故选C． 5.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 6.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（    ） A．20 B．24 C．36 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质．根据平移性质，判定为等边三角形，然后求解． 【详解】解：由题意，得， ． 由平移性质，可知，， ，且， 为等边三角形， 的周长． 故选：B． 7.(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校·期中)如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案； 【详解】解：过E作， ∵是等边三角形，， ， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8.(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校·期中)如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由SAS即可证明，则①正确；有∠CAE=∠CDB，然后证明△ACM≌△DCN，则②正确；由CM=CN，∠MCN=60°，即可得到为等边三角形，则③正确；由AD∥CE，则∠DAO=∠NEO=∠CBN，由外角的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°， 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS），则①正确； ∴AE=BD，∠CAE=∠CDB， 在ACM和△DCN中， ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM=CN，；则②正确； ∵∠MCN=60°， ∴为等边三角形；则③正确； ∵∠DAC=∠ECB=60°， ∴AD∥CE， ∴∠DAO=∠NEO=∠CBN， ∴；则④正确； ∴正确的结论由4个； 故选D． 9.(19-20八上·江苏苏州姑苏区·期末)如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（    ）    A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=2，得出△A1B1A2的边长为2，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为4，△A4B4A5的边长为：24=16，则△A5B5A6的边长为：25=32． 【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2， ∵∠MON=30°， ∴∠OB1A1=60°-30°=30°， ∴∠MON=∠OB1A1， ∴B1A1=OA1=2， ∴△A1B1A2的边长为2， 同理得：∠OB2A2=30°， ∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=2+2=4， ∴△A2B2A3的边长为4， 同理可得：△A3B3A4的边长为：23=8， △A4B4A5的边长为：24=16， 则△A5B5A6的边长为：25=32， 故选：D． 二、填空题 10.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的三边上三线合一求解即可得到答案； 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴点D为的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 11.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，已知是等边三角形，点是上任意一点，，分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据，可得的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵，等边三角形的高为2， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 12.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，在等边中，，点在线段上，过作于点，延长到点，，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键： 先过点D作交于点H，先根据等边三角形的性质及三线合一得到，证明，推得，求出的长，再根据面积公式求出阴影部分面积． 【详解】解：过点D作交于点H， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴是等边的中线， ∴， ∵和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴ 故答案为：7． 13.(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校·期中)如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键． 依次求出，，的边长，根据发现的规律：等边三角形的边长依次乘以2，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故的边长为2． 同理可得，， 故的边长为． ， 故的边长为． …， ∴的边长为． 当时，的边长为． 故答案为：． 三、解答题 14.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，中，，于D，平分分别与交于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 15.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，为等边三角形，于点，交于点． (1)求证：是等边三角形． (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ∴． ， ∴，． 是等边三角形． （2）解：．           理由如下： 为等边三角形， ． 于点， ． 是等边三角形， ∴． ． 16.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)如图，在△ABC中，，，交于点D，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长度． 【详解】（1）证明：∵平分； ∴； ∵； ∴； ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 17.(23-24八上·湖北武汉武昌区·期末)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 18.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 19.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明． 【详解】（1）∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB（360°﹣60°）=150°． （2）结论：△ABE是等边三角形．理由如下： ∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE．在△ABD和△EBC中，∵∠ADB=∠BCE=150°，BD=BC，∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE． ∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形． 20．(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)在等边三角形中，D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，． (1)如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是______； (2)如图2，当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【详解】（1）解：∵等边三角形，D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：； （2）成立； 理由：过点D作交于点M， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴， 即，在和中， ， ∴， ∴． 21.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为16秒． 22.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 23.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°． （1）试判定△ABO的形状； （2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论． 【详解】解：（1）∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）如图所示：在AC上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为CO的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3），理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则． 24.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点，连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E．    (1)求证：； (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？ 【详解】（1）∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）点C在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵△OBC≌△ABD， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形． 地 城 考点06 含30°角的直角三角形的性质 一、单选题 1.(23-24八上·黑龙江哈尔滨道外区第二十一中学·月考)如图，在中，，是高，，，则的长为（     ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，，从而可得解． 【详解】解：是高，， ， ， ． 故选：C 2.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得到，求出，再结合含的直角三角形的性质推出，进而求出AC即可． 【详解】解：过点D作于E，如图， 则DE为中边上的高，即， ∵，，BD平分， ∴， ∵，， ∴， ∵BD平分， ∴， ∴， ∴， 故选A． 3.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】过点作，交于，先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于， ∵是等边三角形， ， ， ，， ∴是等边三角形， ， ∵点为中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题 4.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得到，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1.5． 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 ． 【答案】2 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴∠A+∠ABC=， ∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E， ∴AD=BD， ∴∠ABD=， ∴， ∵， ∴AD=BD=2CD=2， 故答案为：2． 6.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，将长方形的纸片沿翻折使点C与E重合，若，，则的长为 ．    【答案】12 【分析】由翻折得到 ，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案． 【详解】解：由翻折得 ， 在长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 故答案为：12． 7.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 ． 【答案】60 【分析】本题考查含30度的直角直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， ∵，， ∴，， ∴通过闸机的物体最大宽度为． 故答案为：60． 8.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图，中，，，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的长是 ． 【答案】16 【分析】连接，根据题意，得，结合，，得到，根据直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：连接，根据题意，得， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，． 故答案为：16． 三、解答题 9.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB，AC于点D，E． （1）求证：AE＝2CE； （2）当DE＝1时，求△ABC的面积． 【详解】（1）连接BE． ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=30°， ∵∠C=90°， ∴∠ABC=90°-30°=60°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°， 在Rt△BCE中，BE=2CE， ∴AE=2CE； （2）连接BE． ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°， ∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴∠EBA=∠A=30°， ∴∠EBC=30°， ∴EB=2ED=2，EC=BE=1，BC==， ∴EA=EB=2，AC=EC+EA=3， ∴△ABC的面积=×BC×AC=××3=． 10.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 11.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)已知，如图四，中，是边上的中线，于B，且，求证：． 【详解】证明：过点A作，交的延长线于E． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴ ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图（1），在中，，，则．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图（1），作边上的中线，证明： ①为等边三角形； ②． (2)如图（2），是的中线，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． 【详解】（1）证明：①，， ， 为边上的中线， ， 是等边三角形； ②∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴； （2）． 证明：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ． ， ∴垂直平分， ． ， ； 地 城 考点07 最短路径问题 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 2.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为（   ）    A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】D 【分析】作AH⊥BC于H，交BD于P′，作P′Q′⊥AB于Q′，此时AP′+P′Q′的值最小． 【详解】作AH⊥BC于H，交BD于P′，作P′Q′⊥AB于Q′，此时AP′+P′Q′的值最小．    ∵BD平分∠ABC，P′H⊥BC，P′Q′⊥AB， ∴P′Q′=P′H， ∴AP′+P′Q′=AP′+P′H=AH， 根据垂线段最短可知，PA+PQ的最小值是线段AH的长， ∵AB=4，∠AHB=90°，∠ABH=45°， ∴AH=BH=2． 故选：D． 3.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图在中，，，，P为AD上的一动点，E在AB上，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】过点C作于点E，交于点P，此时有最小值即的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴点C是点B关于的对称点， 过点C作于点E，交于点P，此时有最小值即的长， 在Rt中，， ∴， 故答案为：4． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 5.(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校·期中)如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 二、填空题 6.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．根据将军饮马问题求解即可． 【详解】解：利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 7.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段的性质，线段垂直平分线的性质．由等腰三角形中三线合一，可得垂直平分，进而可得，，由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值． 【详解】解： 中，，是边上的中线， ， 垂直平分， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值， 如图，过点B作于点Q，交于点P，此时取最小值， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 8.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵直线垂直平分， ∴A，B关于直线对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 9.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，钝角三角形△ABC的面积是15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为 【答案】3 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【详解】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N， ∴MN=ME， ∴CE=CM+ME=CM+MN， 根据垂线段最短可知，CE的长即为CM+MN的最小值， ∵三角形ABC的面积为15，AB=10， ∴×10•CE=15， ∴CE=3． 即CM+MN的最小值为3． 故答案为3． 10.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 11.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，点D是内的定点且，若点C、E分别是射线、上异于点A的动点，且周长的最小值是2时，的度数是 ．    【答案】/30度 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质和判定，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为，可得是等边三角形，进而可得的度数．熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 【详解】解：如图，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，，    此时周长最小为， 根据轴对称的性质，得，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $