专题02 全等三角形（期中真题汇编，内蒙古专用）八年级数学上学期人教版2024

专题02 全等三角形 6大高频考点概览 考点01 全等三角形的概念和性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 全等三角形基本模型 考点04 角平分线的性质和判定定理 考点05 三角形综合 考点06 三角形动点问题 地 城 考点01 全等三角形的概念和性质 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义，逐一判断即可． 【详解】A．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 故选D． 2.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)下列说法不正确的是（    ） A．全等三角形的对应边上的中线相等 B．全等三角形的对应边上的高相等 C．全等三角形的对应角的角平分线相等 D．有两边对应相等的两个等腰三角形全等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定及性质逐一进行判断即可． 【详解】根据全等三角形的性质有， 全等三角形的对应边上的中线相等，故A正确； 全等三角形的对应边上的高相等，故B正确； 全等三角形的对应角的角平分线相等，故C正确； 有两边对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D错误； 故选：D． 3．图中的两个三角形全等，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的对应角相等，即可得到答案． 【详解】解；因为图中的两个三角形全等，且的对边为c， 所以． 故选：C． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得，则依据可得的长． 【详解】解：，与是对应角，与是对应边， ， 又， ， 故选：C． 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应角相等，，所以，再根据角的和差关系代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 6.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)如图，在中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应角相等、三角形外角性质及内角和定理，将△ABC各个角相加，可求出∠ADC=90°，由于全等三角形对应边相等，所以AD=CD，所以∠ACD=45°，则∠ACE=45°-α． 【详解】解：∵ ∴∠BAD=∠ECD=α，∠B=∠DEC，∠ADB=∠CDE，AD=CD ∵∠DEC=∠EAC+∠ACE ∴∠BAC+∠B+∠ACB=∠BAD+∠EAC+∠B+∠ECD+∠ACE=∠BAD+2∠B+∠ECD=180° ∴∠B= ∴∠ADC=∠ADB=90° ∵AD=CD ∴∠DAC=∠DCA=45° ∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=45°-α 故选 C 7.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．AC＝AF B．∠FAB＝∠EAB C．EF＝BC D．∠EAB＝∠FAC 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，逐项判断即可． 【详解】解：∵△ABC≌△AEF ∴AB＝AE，∠B＝∠E，AC＝AF，EF＝BC 故A，C选项正确． ∵△ABC≌△AEF ∴∠EAF＝∠BAC ∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF即∠EAB＝∠FAC 故D答案也正确． ∠FAB和∠EAB找不到对应关系，故不一定相等． 故选B． 8.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即． 则． ∵，， ∴． 故选：A． 9.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，已知将沿所在直线翻折，点B恰好与上的点C重合，对折边，折痕也经过点C，则下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④； A．只有①②正确 B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形面积计算，根据折叠的性质可得，，，据此可判断①②③；根据三角形面积计算公式可得，据此可判断④． 【详解】解：∵将沿所在直线翻折，点B恰好与上的点C重合， ∴，， ∴，故①正确， ∵对折边，折痕也经过点C， ∴， ∴，故②正确， ∴，故③正确， ∵， ∴故④正确， ∴①②③④正确， 故选D． 二、填空题 10.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，由得到，，即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，，若，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】根据全等三角形的性质，，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 12.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，，，则 ． 【答案】 【分析】根据得到，得到． 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为：． 13.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2= 度．    【答案】90° 【分析】根据图形可判断出△ACM≌△BAN，从而可得出∠1和∠2互余，继而可得出答案． 【详解】在△ACM和△BAN中， AM=BN，∠AMC=∠BNA，CM=AN， ∴△ACM≌△BAN， ∴∠2=∠CAM， ∵∠CAM+∠1=90°， ∴∠1+∠2=90°． 故答案为90°.    三、解答题 14.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中) 如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD=DC=2.4，BC=4.1． （1）若∠ABE=162°，∠DBC=30°，求∠CBE的度数； （2）求△DCP与△BPE的周长和． 【详解】解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°， ∴∠ABD+∠CBE=132°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC=∠DBE， ∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°， 即∠CBE的度数为66°； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE=AD+DC=4.8，BE=BC=4.1， △DCP和△BPE的周长和=DC+DP+CP+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=15.4． 故答案是：（1）66°；（2）15.4 地 城 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列两个三角形中，一定全等的是（  ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．有一个角是100，底边相等的两个等腰三角形 D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与等腰三角形的性质对各项进行判断即可． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形只能得到三个对应角相等，不清楚三边关系，故无法证明全等，故此选项错误； B、两个等边三角形只能得到三个对应角相等，不清楚三边关系，故无法证明全等，故此选项错误； C、100°角只能是两个等腰三角形的顶角，可知底角也相等，由于底相等，利用“ASA”可证得此两个三角形全等，故此选项正确； D、没有指明边是腰还是底，角是顶角还是底角，不能证明全等，故此选项错误， 故选：C． 2.(24-25八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)下列结论错误的是 A．全等三角形对应边上的中线相等 B．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等 C．全等三角形对应边上的高相等 D．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等 【答案】B 【来源】内蒙古自治区锡林郭勒盟苏尼特右旗2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【详解】试题分析：根据全等三角形的性质和判定（全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可． B、如教师用得含30度的三角板和学生用的含30度的三角板就不全等，错误，故本选项正确 考点：全等三角形的性质和判定 3.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，利用全等三角形对应边相等，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 故， 故选：B． 4.(24-25八上·辽宁葫芦岛龙港区·月考)工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识．用证明，则，即可得到解答． 【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是， 证明如下： 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即为的平分线． 故选：A． 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，根据作图方法可得，由此即可求解． 【详解】解：根据直尺和圆规作一个角等于已知角的作图的方法可得，，，， ∴， ∴， ∴作图的依据是， 故选：A ． 6.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明．则判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解：由作图得，，而为公共边，所以（）． 所以． 故选：C． 7.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图以及全等三角形的判定与性质，根据题意得出证即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵， ∴ ∴ ∴ 故选：C 8.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用是解题的关键． 根据图，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以根可以根据画出全等的三角形． 【详解】解：根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以根可以根据画出全等的三角形． 故选： D． 9.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（　　）    A．2；SAS B．4；SAS C．2；AAS D．4； ASA 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定解题即可. 【详解】由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃. 故选D. 10.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（　　） A． B． C． D．选择哪块都行 【答案】C 【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】A块和B块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； C块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．则应带C去． 故选C． 11.(19-20八上·浙江台州黄岩区·期末)用三角尺画角平分线：如图，先在的两边分别取，再分别过点，作，的垂线，交点为．得到平分的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂直得到，再由，即可根据HL证明，由此得到答案. 【详解】∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 12.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD．补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB 【答案】B 【分析】根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果． 【详解】A. 补充BC=BD,根据SAS可推出△ABC≌△ABD，故本选项错误； B. 补充AC=AD，没有两边及其一边的对角相等的两三角形全等的判断方法，不能推出△ABC≌△ABD，故本选项正确； C. 补充∠ACB=∠ADB, 根据AAS可推出△ABC≌△AB，故本选项错误； D. 补充∠CAB=∠DAB, 根据ASA可推出△ABC≌△AB，故本选项错误. 故选B. 13.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(    ) A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF 【答案】D 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 14.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，已知，下列条件中，不能使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出，故本选项不符合题意； B． ，，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出，故本选项不符合题意； C． ，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故本选项不符合题意； D． ，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 15.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 【答案】D 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 16．(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（   ） A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF//BC 【答案】C 【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题． 【详解】解：（1）∵AB//DE，AC//DF，∴∠A=∠D， AB=DE，则△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF，故A选项错误； （2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF，故B选项错误； （3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF；故C选项正确； （4）∵EF//BC，AB//DE， ∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF，故D选项错误； 故选：C． 17.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，中边上的高为，中边上的高为，若，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，由证得≌，得，即可得出结论． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示： 则，， ，， ； ， ， 在和中， ， ≌ ， ， 故选：． 18.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，已知，，则图中全等的三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， 在和中， ∴； 综上分析可知，图中全等三角形共有2对，故A正确． 故答案为：A． 19.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，在等边△ABC中，BD=CE，则∠APE等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠BAD与∠CBE的关系，根据三角形的外交的性质，可得∠APE=∠ABP+∠BAP，根据等量代换，可得答案． 【详解】解：在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE． ∵∠APE是△ABP的外角， ∴∠APE=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠ABP+∠PBD=∠ABC=60°． 故选C． 20.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位量为CD，当一端C下滑至时，另一端D向右滑到，则下列说法正确的是（    ） A．下滑过程中，始终有 B．下滑过程中，始终有 C．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 D．若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至时，另端D向右滑到，当△OCD与全等时，， A、下过程中，与不一定相等，说法错误； B、下滑过程中，当△OCD与△ODC全等时，，说法错误； C、若OC＜OD，则下过程中，不存在某个位置使得，说法错误； D、若OC＞OD，则下过程中，当△OCD与△ODC全等时，一定存在某个位置使得，说法正确； 故选：D． 二、填空题 21．(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：根据可以得到与①全等的三角形是②；③④中的角不是两边的夹角，与①不全等； 故答案为：②． 22.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)已知：如图，相交于点O，，请你再补充一个条件，使，你补充的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由已知条件，有公共边，利用判定即可． 【详解】解：添加， 在与中， ， ∴， 故答案为：． 23.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)在课堂上，老师发给每人一张印有（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个，使得.小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示      老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选 的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定的依据是 【答案】 小刘(或小赵) （或） 【分析】由图可知小赵同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ． 由图可知小刘同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ． 【详解】小赵同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理； 小刘同学画了后，再截取一直角边和一个斜边，所以确定的依据是定理． 故答案为：小刘(或小赵)；（或） 24.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，AD，BE是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件可知，故只要添加一条边相等即可证明． 【详解】解：添加， AD，BE是的两条高线， ， 在与中， ． 故答案为：（答案不唯一）． 27.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0，4)，作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为 ． 【答案】（2,4）或（-2,0）或（-2,4） 【分析】根据全等三角形的性质和已知点的坐标画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 有三个点符合， ∵点A（2，0），B（0，4）， ∴OB=4，OA=2， 若≌， ∴OA=OC1=2 ∴C1（-2，0）； 若≌， ∴OA=BC2=2，∠OBC2=∠BOA=90° ∴C2（-2，4）； 若≌， ∴OA=BC3=2，∠OBC3=∠BOA=90° ∴C3（2，4）； 综上：点C的坐标为（2，4）或（-2，0）或（-2，4） 故答案为：（2，4）或（-2，0）或（-2，4）． 三、解答题 28.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①；②；③；④； 解：我写的真命题是： 在和中， 已知：________________________． 求证：____________．（不能填序号） 证明： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．如果①②④联合，利用易证，从而可得；如果①③④联合，利用易证，从而可得． 【详解】解：已知：，，， 求证：， 证明：， ，即． ，， ， ． （或已知：，，， 求证：， 证明：， ，即． ，， ． ．） 29.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．    【答案】证明过程见解析 【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC． 【详解】∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°， ∴∠5+∠4=∠4+∠3， ∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°， 又∠7+∠CEA=180°， ∴∠B=∠7， 在△ABC和△DEC中 , ∴△ABC≌△DEC（ASA）． 30.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)求证：全等三角形对应中线相等． 【详解】已知：如图，   ，、分别是对应边、的中线． 求证：． 证明：∵， ∴，，， ∵、分别是对应边、的中线， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 31.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）： 已知： 求证： 证明：    【答案】证明见解析 【分析】根据题意画出图形，然后用数学语言叙述命题，然后根据题意求证即可． 【详解】已知：在△ABC和中，，，AD与分别是边上的中线，且AD=， 求证：． 证明：∵分别是和边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． 32.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得到，再利用证即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 33.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【详解】（1）， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 理由：过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 34.(24-25八上·内蒙古通辽·期中)如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2），理由为： 由（1）得 ∴， 又， ∴， 则． 35．(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整）    测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 (1)任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． (2)任务二：①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由． 【详解】（1）解：任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示． （2）任务二：①由△ABC≌△DEC，得AB＝DE＝8（米）， 故答案为：8． ②理由：如图， 由题意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°， ∴AC＝DC，∠A＝∠D， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE＝8米， ∴小明的方案是正确的．    【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． 地 城 考点03 全等三角形的基本模型 1、 单选题 1.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)用如图所示方法测小河宽度：AB⊥BC，OB＝OC，BC⊥CD，点A，O，D在同一条直线上，量出CD的长度即知小河AB的宽度．这里判断△AOB≌△DOC的依据是（    ） A．SAS或SSA B．SAS或ASA C．AAS或SSS D．ASA或AAS 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，即可解答． 【详解】解：∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， 在△AOB和△DOC中，， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， 方法二： ∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵∠AOB＝∠COD，∠AOB+∠BAO＝90°，∠COD+∠CDO＝90°， ∴∠BAO＝∠CDO， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， 故选：D． 2.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，在的两边上截取，连接交于点P．若，则下列结论：①；②；③点P在的平分线上．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法、角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，根据全等三角形的判定和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②正确． 如图：连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上． 故③正确． 综上可知，①②③均正确． 故选D． 3.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于G．下列结论：①；②垂直平分；③垂直平分；④平分．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能求出是解此题的关键．根据角平分线性质求出，证，推出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴平分，故①④正确； ∵，， ∴A、D两点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故②正确； 无法说明垂直平分，故③错误． 综上分析可知：正确的有3个， 故选：C． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，∠CAD=25°，则∠ABE的度数为（　　） A．30° B．15° C．25° D．20° 【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题. 【详解】解:证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC， 又∵∠BFD=∠AFE，∴∠CAD=∠FBD， 在△BDF和△ACD中 ， ∴△BDF≌△ACD（AAS）， ∴∠DBF=∠CAD=25°． ∵DB=DA，∠ADB=90°， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABE=∠ABD﹣∠DBF=20° 故选：D． 5.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，在中，，，垂足分别为D，E．若，，，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，易得，根据，，得出，进而得出，再根据求证，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解： 和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 2、 填空题 7.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接，延长线交于点F．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由和都是等腰直角三角形可得，，，利用可证得，于是可得，，由三角形外角的性质及直角三角形的两个锐角互余可得，即，由线段的和差关系可得，然后利用三角形的面积公式可得，于是得解． 【详解】解：和都是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图，小明用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故答案为10． 9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】如图所示（见详解），过A和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如图所示，过A和分别作于，于，即， ∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案是：． 10．(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，    ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 11.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直并交于点M，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，求C处距离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的实际应用，由题意证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵别为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，CE⊥AE于E，BD⊥AE于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD= ． 【答案】6cm． 【详解】试题分析：利用同角的余角相等求出∠ABD=∠CAE，再利用“角角边”证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，AD=CE，然后计算即可得解． 试题解析：∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵BD⊥AE， ∴∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠ABD=∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD=AE，AD=CE， ∵AE=AD+DE=CE+DE=2+4=6cm， ∴BD=6cm． 13.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在中，，，，，垂足分别为D，E．若，，则DE的长为 ． 【答案】7 【分析】根据题目条件证明，进而得到，，于是根据即可得到答案． 【详解】解：， ， ,， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 14.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠1，BD＝CF＝3，BE＝2，则BC＝ ． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以推出△BED≌△CDF，可得CD=BE=2，可得结论． 【详解】解：∵∠EDC=∠B+∠BED=∠1+∠FDC，且∠1=∠B， ∴∠BED=∠FDC， 在△BED和△CDF中， ∴△BED≌△CDF（ASA）， ∴CD=BE=2， ∵BD=3， ∴BC=BD+CD=3+2=5， 故答案为：5． 15.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正确结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，想办法证明CN＝CM即可判断④正确； 【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°， ∴△ECD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD，（①正确） ∠CBD＝∠CAE， ∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC， ∴△BCF≌△ACG（ASA）， ∴AG＝BF，（②正确） 同理：△DFC≌△EGC（ASA）， ∴CF＝CG， ∴△CFG是等边三角形， ∴∠CFG＝∠FCB＝60°， ∴FG∥BE，（③正确） 过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N， ∵△ECD≌△ACE， ∴∠BDC＝∠AEC， ∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°， ∴△CDN≌△CEM， ∴CM＝CN， ∵CM⊥AE，CN⊥BD， ∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL） ∴∠BOC＝∠EOC， ∴④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题 16.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：AB＝CD．    【答案】证明见解析． 【分析】由条件OA=OC，OB=OD及对顶角∠AOB=∠BOD，可以证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质就可以得出结论． 【详解】证明：在△AOB和△COD中 ∵， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB=CD． 17.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，，，，求的度数和的长． 【答案】， 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，线段的和差关系，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ． 18.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， (1)求证： ； (2)若，，求AD的长． 【详解】（1）证明：， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ． 19.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)已知，如图点、在线段上，．求证：    (1)． (2) 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：∵， ∴， ∴． 20.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【详解】解：他的发现正确，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴，， ∴不仅平分，且平分． 21．(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图所示，为延长线上的一点，，，，求证：． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 22．(24-25八上·专题04全等三角形（16大基础题4大优选提升题）-备战·期中)如图，交于点O，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 23．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，，，，交于点E，．    (1)求的度数； (2)平行于吗？说明理由； (3)求∠BAC的度数． 【详解】（1）解：， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ． ． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 24．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CD是中线．求证：BE＝CD． 【详解】证明：∵、是中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． 25．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，在和中，与相交于点，，．求证： 【详解】解：证明：连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 26．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，四点共线，与相交于点求证：．    【详解】证明： ∵，     ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 27．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ∴， ∴． 28．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：（1）△ACD≌△ABD； （2）DE＝DF. 【详解】证明：（1）在△ACD和△ABD中，， ∴△ACD≌△ABD（SSS）； （2）∵△ACD≌△ABD， ∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF， ∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴DE＝DF． 29．(24-25八上·内蒙古通辽·期中)如图，是的平分线，，，垂足为F，且，求证：．    【详解】证明：∵是的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，在中，平分，，求证： 【详解】证明：如图，在上取点，使得， 平分， 在和中 ， ， ，， ，且， ， ， ． 31．(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，已知为的平分线，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【详解】（1）如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 33．(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE． （1）请说明∠1=∠C； （2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系． 【详解】（1）∵AD⊥BC于D， ∴∠BDE=∠ADC=90°． ∵AD=BD，AC=BE， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）， ∴∠1=∠C． （2）DE=DC．理由如下： 由（1）知△BDE≌△ADC， ∴DE=DC． 34．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，，点D在边上，相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 35．(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，在和中，，且，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 36．(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边 且BE＝CF，AD+EC＝AB． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC， ∴BD＝EC， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（SAS） ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵∠A＝40°， ∴∠B＝∠C＝＝70°， ∴∠BDE+∠DEB＝110°， 又∵△DBE≌△ECF， ∴∠BDE＝∠FEC， ∴∠FEC+∠DEB＝110°， ∴∠DEF＝70°． 37．(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【详解】（1）， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 38．(23-24八上·广东东莞南城开心实验学校·期中)在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 39．(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 45； （2）∵于M，于N， ∴，． 在中， ∴， 同理：． 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 40．(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点在线段上，求证：； (3)在（2）的条件下若、、三点共线，求此时的度数及点坐标．（直接写出答案，无需写解答过程） 【详解】（1）解：如图1，作轴于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）如图2，与都是等腰直角三角形 ，，， ， ， ， ； （3）， 理由如下： 足等数直角三角形， ， 当、，三点共线时，， 由（2）可如， ， ， ， 点坐标为． 故答案为： 41．(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图若于垂直轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足， 请直接写出的值； 求点的坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请直接写出与的数量关系． 【详解】（1） ∵，，， ∴，， ∴，； 由可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）结论： . 理由：如图中，延长交于点， ∵轴平分，轴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 42．(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校·期中)(1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于，过点作于， 点，点， ，， 同（1）可得， ，， ； 同理，， 为的中点， ； 由题意得：四边形与四边形是正方形， 正方形对角的交点坐标为，与正方形对角的交点坐标为， ，． 综上，点的坐标为或或或； （3）解：猜想，证明如下： ①当点运动到点右侧时， 如图中，延长至，使，连接，，． 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 43．(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 44．(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中 ， ； （2）解：， ， ． 45．(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图，B是上的点，，连接，试确定与的位置与数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：，证明如下： 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46．(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，，，，在同一条直线上，连接． (1)请找出图2中与全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：． 【详解】（1）解：图2中， 证明：与均为等腰直角三角形， ， ， 即， 在与中， ， （SAS）； （2）证明：由（1）， 则， 又， ， ． 47．(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)，，，连接、，试着判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 【详解】解：，，证明如下： ∵， ∴，， 在与中， ， ， ； 延长交于，交于，则，    ∵ ∴， ， ， ∴，． 48．(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 【详解】（1）证明：∵、是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形． 49．(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE相交于点P，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N． 求证：； ．    【详解】证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中 ≌， ． 又， ； 在和中 ≌， ． 50．(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)问题发现： （1）如图①，在中，，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则之间的数量关系是 ；与的数量关系是 ． 类比探究： （2）如图②，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．直接写出的度数及与的数量关系． 拓展延伸： （3）如图③，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．请猜想的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （4）在（3）的条件下，若，，求四边形的面积． 【详解】解：（1）根据题意，∵，分别在上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）根据题意，∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴的度数是，； （3）结论：，， 理由：根据题意，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵为中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 51．(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____； ②线段、、之间的关系是_____； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【详解】（1）解：①如图1，∵， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 即； 故答案为：； ②由①可得，， ， ， 故答案为：； （2）解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，当点在边的延长线上时， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 52．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP. （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； （3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【详解】（1）AB=AP且AB⊥AP， 证明：∵AC⊥BC且AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=, 又∵△ABC与△EFP全等， 同理可证∠PEF=45°， ∴∠BAP=45°+45°=90°， ∴AB=AP且AB⊥AP； （2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ， 证明：延长BQ交AP于G， 由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°， ∴∠PQC=45°=∠QPC， ∴CQ=CP， ∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC， ∴在△BCQ和△ACP中 ∴△BCQ≌△ACP（SAS）， ∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBQ+∠BQC=90°， ∵∠CQB=∠AQG， ∴∠AQG+∠PAC=90°， ∴∠AGQ=180°-90°=90°， ∴AP⊥BQ； （3）成立． 证明：如图，∵∠EPF=45°， ∴∠CPQ=45°． ∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ， CQ=CP． 在Rt△BCQ和Rt△ACP中， ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS） ∴BQ=AP； 延长BQ交AP于点N， ∴∠PBN=∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQC=∠APC． 在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°， ∴∠APC+∠PBN=90°． ∴∠PNB=90°． ∴BQ⊥AP． 53．(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)（初步探索） (1)如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________； （灵活运用） (2)如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如 2，延长到点G，使，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ，，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 55．(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 地 城 考点04 角平分线的性质和判定定理 1、 单选题 1．(24-25八上·辽宁辽阳第一中学·)如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D 2.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)等腰中，，用尺规作图作出线段BD，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．的周长 【答案】C 【分析】根据作图痕迹发现BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， 由作图痕迹发现BD平分∠ABC， ∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°， ∴AD=BD，故A、B正确； ∵AD≠CD， ∴S△ABD=S△BCD错误，故C错误； △BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=BC+AB， 故D正确． 故选C． 3.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查角分线的尺规作图和性质，过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．解题的关键是掌握角平分线的性质． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，平分，于点D，若，则P到的距离是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】过点作，根据角平分线的性质，得到，即可． 【详解】解：过点作，    ∵平分，， ∴， ∴P到的距离是； 故选A． 5.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，若，则点D到AB的距离DE是（   ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质得出DE=DC，即可求出点D到AB的距离． 【详解】解：∵的平分线BD交AC于点D，，DE⊥AB， ∴， 故选：C． 6.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 7.(24-25八上·内蒙古通辽·期中)如图，射线平分，，于点，，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质；作于，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：作于， 平分，，， ， 平分，， ， ， ， ， 故答案为：． 8.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，．若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可．熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D，如图所示：      ∵点E在的平分线上，， ∴， ∵，， ∴． ∵，点E在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 9.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意可得到的三边，，的距离相等，则三个三角形的面积比等于，即可求解． 【详解】解：∵三条角平分线将分为三个三角形， ∴到的三边，，的距离相等，设为， 又的三边，，的长分别为，，， ∴ 故选：C． 10.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积． 【详解】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC ＝（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC＝×18＝27（cm2）． 故选：B． 11.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】到三边的距离相等 是三条角平分线的交点 是的角平分线，是角平分线 ， 故选：A． 12.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图的三个内角的平分线相交于一点O，，的面积为9，则的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：∵的三个内角的平分线相交于一点O， ∴点到三边的距离相等， 设到三边的距离均为， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：36． 13.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，解关于的方程即可． 【详解】解： 为的平分线，于点E，于点F， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点F，    ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 15.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：    是的平分线； ； 点在的中垂线上； ④． 其中正确的有（  ） A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D． ①②③④ 【答案】D 【分析】根据作图过程可判断①；根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余可判断②；证明可判断③；利用所对的直角边等于斜边的一半和可得出，再利用三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：根据作图方法可得∶是的平分线，故①正确； ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴点在的中垂线上，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，故④正确， 故选：D． 16.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和35，则的面积为　　 A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【详解】如图，过点D作于H， 是的角平分线，， ， 在和中，， ≌， ， 在和中， ≌， ， 和的面积分别为60和35， ， =12.5， 故选D． 二、填空题 17.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)如图，已知，点到、、的距离相等，则的度数是 . 【答案】90° 【分析】根据点到、、的距离都相等，得、分别是和的平分线，再由，算出∠BPC的度数即可. 【详解】∵点到、、的距离都相等， 、分别是和的平分线， ，， . ， ， ， ， 故答案为：90°. 18.(24-25八上·内蒙古乌兰察布集宁区亿利东方学校四校·期中)如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 ．      【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，面积法，利用角平分线性质定理作辅助线是解答本题的关键．过点D作于点F，根据角平分线性质定理可得，再利用面积法列方程并求解，即得答案． 【详解】过点D作于F， 是角平分线，，， ， ， 解得． 故答案为：4． 19.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，是的外角的角平分线，，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出两对全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明和全等，和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ，， ， 解得． 故答案为． 20.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数； ， 解得：， 故答案为：． 21.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形角平分线的相交于一点 D．角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分． 【详解】∵两把长方形直尺完全相同， ∴P到尺子两边距离相等，即P到角的两边距离相等， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：D． 三、解答题 22.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)如图，在中，，于点E，于点F，若．求证：平分． 请你补全下述证明过程： 证：   在和中， （______） ．，______，______ ∴平分．（______） 【详解】证：， ， 在和中， ， ， ． ，， ∴平分．（到角两边距离相等的点在该角的角平分线上） 故答案为：；；；；到角两边距离相等的点在该角的角平分线上． 23.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，求的长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ，，， ∴， ∴， ∴． 24.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，∠A＝∠D＝90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC＝AB+CD． 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥BC交BC于F， ∵BE平分∠ABC，∠A=90°，EF⊥BC， ∴AE=FE，∠EFC=∠D=90°， 又∵BE=BE， ∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL）， ∴AB=FB， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE=FE， 又∵CE=CE， ∴Rt△CED≌Rt△CEF（HL）， ∴CD=CF， ∴BC=BF+CF=AB+CD． 25.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，于点，于点，，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）解：由（）得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 26.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，中，平分，且于E． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 27.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图1，在中，是它的角平分线． (1)求证：； (2)如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 【详解】（1）证明：作，，垂足为E、F， 平分， ， ； （2）解：在上截取，连接，如图， 平分， ， 又， ， ，，， 又，且， ， ， ， ， 即． 28．(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)综合与实践： 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接． (1)初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ； (2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）还成立，理由如下： 过点P作，，垂足分别为E，F， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作，垂足分别为， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴，四边形为正方形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） 30.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)如图，，，，，交于点，连接.求证：    (1)； (2)平分. 【详解】（1）证明：， 在和中， （2）证明：如图：过点作于点，于点    ， 在和中， ， 又，， 平分 31.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图所示，锐角三角形的两条高相交于点O，． (1)判断点O是否在的平分线上，并说明理由； (2)求证：． 【详解】（1）解：点O在的平分线上，理由如下： 由题得， 在和中， ， 所以， 所以； 因为， 所以点O在的平分线上； （2）证明：由(1)得， 所以； 因为， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 即； 因为， 所以． 32.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG， （1）求证：BD=AE ， 并求出∠DOE的度数； （2）判断△CFG的形状并说明理由； （3）求证：OA+OC=OB； （4）判断下列两个结论是否正确，若正确请说明理由：①OC平分∠FOG；②CO平分∠FCG． 【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°， ∴∠BCD=180°-60°=∠ACE． 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE ，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE， ∵∠DGO=∠CGE， ∴∠DOE=∠DCE=60°； （2）∵△ACB和△DCE是等边三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=180°-60°-60°=60°， ∴∠BCA=∠ACG=60°， 在△BCF与△ACG中， ， ∴△BCF≌△ACG（ASA）， ∴CG=CF， ∵∠FCG=60°， ∴△CFG是等边三角形； （3）在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示． ∵△BCD≌△ACE， ∴∠CDN=∠CEM． 在△CDN和△CEM中，， ∴△CDN≌△CEM（AAS）， ∴EM=DN， CM=CN， ∴OC为∠BOE的角平分线， ∴∠BOC=∠EOC， ∵BD=AE，BF=AG， ∴MG=NF． 在△CMG和△CNF中，， ∴△CMG≌△CNF（SSS）， ∴∠MCG=∠NCF， ∴∠MCN=∠GCF=60°， ∴∠MON=360°-∠MCN-90°-90°=120°． ∵∠BOC=∠EOC， ∴∠BOC=∠EOC=∠MON=60°， ∴∠COD=180°-∠BOC=120°． ∵CP=CO，∠COP=60°， ∴△COP为等边三角形， ∴∠CPO=60°，OP=OC， ∴∠CPE=180°-∠CPO=120°=∠COD． 在△COD和△CPE中，， ∴△COD≌△CPE（AAS）， ∴OD=PE． ∴BO=BD-OD=AE-PE=AO+OP=AO+OC， 即AO+OC= BO； （4）判断：①正确，②不正确， 过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示． ∵△BCD≌△ACE，且CM、CN是对应边AE、BD边上的高， ∴CM=CN， ∴OC为∠BOE的角平分线，故结论①正确； ∵△BCD≌△ACE，而AC、DC不是对应边， ∴O到AC、DC的距离不一定相等， ∴CO不一定平分∠FCG，故结论②不正确． 地 城 考点05 三角形综合 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A.根据，可知，再由平分可知，在与中，，，可求出，由可求出，故可求出； B.由选项Ａ中可直接得出结论； C.由选项Ａ中可知，，故，，在中，，根据可知，，即可求出，即； D.由选项Ｃ可知，是等腰三角形，由于，故，在中，若，则，与选项Ｂ中相矛盾，故； 【详解】解：A.，， ， 平分， ， 在与中，，， ， ，，， ， ； 故选项A正确； B.选项A中， ， 故选项B正确； C.选项A中， ，， ， 在中，， ， ， ，即， 故C正确； D.由选项C可知，是等腰三角形， ， ， 在中，若，则，与选项B中相矛盾， 故， 故选项D错误； 故选：D． 2.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】如果是角平分线，则，而，显然与已知矛盾，故错误． 易证是等腰直角三角形，故． 由，推出，由，推出，即． 由三线合一性质可得出是的垂直平分线，则，由，推出，推出，结合平行线的性质即可推出． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴， 若平分，而 ， ∴， 又∵， ∴不可能平分，故①错误； ∵，，， ∴，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴，故②正确． ，，， ， ， ， ， ，故③正确． ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 3.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 4.(24-25八上·内蒙古通辽·期中)如图，在中，和的平分线，相交于点，过点作于，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与∠C的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于H，    ∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 5.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，在中，，平分，于点E，于点F，连接交于点G，H在上且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据角平分线的性质得出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：平分，于点E，于点F， ，，故①正确； 在和中 ， ， ， 平分， ，故③正确； ∵在中，， 又， ，故②正确； ， ，故④正确； ， , ，， , , ， 即正确的个数是5个， 故选：D． 6.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①；②；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°：④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明∠FDB=∠EDC，即可证明；根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用HL证明△ADE≌△ADF，可得AE=AF，然后求出；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，由可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可证明∠DAF=∠CBD；根据∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补，可得∠FDE=∠BAC，于是可证∠BDC＝∠BAC． 【详解】解：∵AD平分∠FAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE=DF，∠DEC=∠DFB=90°， ∵∠FDE＝∠BDC， ∴∠FDE-∠BDE＝∠BDC-∠BDE，即∠FDB=∠EDC， ∴，故①正确； ∵， ∴CE=BF， ∵DE=DF，AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF， ∵BF=AB+AF， ∴；故②正确； ∵∠FAE是△ABC的外角， ∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°-80°=100°， ∵， ∴∠ABD=∠DCE，BD=DC， ∴∠DBC=∠DCB， ∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC， ∴∠DAF=∠CBD=50°，故③错误； ∵∠DFA=∠DEA=90°， ∴∠EDF+∠FAE=180°， ∴∠FDE=∠BAC， ∵∠FDE=∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC；故④正确； 正确的有①②④， 故选：C． 7.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)如图，，D是中点，点E是延长线上一点，，交延长线于F，连接，且．有下列结论：①平分；②；③；④平分，其中正确的是 （只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，三线合一判断①，证明判断②，三角形的外角，等边对等角，判断③，即可得出结果． 【详解】解：∵，D是中点， ∴，平分，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 条件不足，无法得到平分，故④错误； 故答案为：①②③． 8.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，四边形中，已知，点在上，平分，平分．如下结论中正确结论的个数是（    ） ①；②是的中点；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】首先结合角平分线的性质和平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可证明，可推导；延长，交于点，首先证明为等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即是的中点；根据全等三角形的性质可得，再结合，可判断结论③；由全等三角形的性质可得，易知，再利用三角形面积公式可判断结论④． 【详解】解：如下图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即，故结论①正确； 延长，交于点，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即是的中点，故结论②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有4个． 故选：D． 9.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论： ； ；四边形的面积等于； ． 四个结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；根据即可判断①是否正确；由可判断③正确． 【详解】解：如图，过E作于F，      ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∵， ∴，故①正确． ∵， ∴，故③正确． 综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A． 10.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分， ， ∴ 平分，故①正确； 在上截取，连接， 在和中， ∴ ， 在和中， ，， 故②不正确，④正确； ， ∴， 故③正确； 故选：C． 11.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可． 【详解】解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）， ∴∠MPA=∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC=∠NPC， ∵∠PMA=∠PNC=90°， ∴∠ABC+∠MPN=360°-90°-90°=180°， ∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2（∠ABC+∠CPB）， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 12.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点D，过点D作交的延长线于点F，连接，点E为中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】在中，由内角平分线和外角平分线可得，由此可证；根据三角形的三边关系可知错误；过点作于，可证，，由此可知，． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵点为中点， ∴， 在中，，三角形中，两边之和大于第三边， ∴，故②错误； 如图所示，过点作于， ∵， ∴， 点是中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，为公共边， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； 如图所示，过点作于， 由结论④可知，，， ∴，，， 在中，点是中点， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：B． 13.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学·期中)如图所示，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④，正确的结论是 .    【答案】①②③④ 【分析】因为为等边三角形，根据已知条件可推出，则，故②正确，，所以是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，也是边上的高和中线，即点P是的中点，因为，所以点Q是的中点，所以是边的中线，有，故③正确，又可推出，故④正确． 【详解】解：∵于点，于S点， ∴ ∵， 在和中， ∴， ∴，故②正确， ∴是等边三角形的顶角的平分线，故①正确； ∴是边上的高和中线，即点P是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴，故③正确； ∵是等边三角形， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴，故④正确； ∴全部正确． 故答案为①②③④． 14.(24-25八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)如图中，，平分，于E，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是 （写序号）    【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键．根据角平分线的性质即可判断①；证明得到，，即可判断②，根据即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误． 【详解】解：∵，平分，， ∴，故①正确； 在和中， ∴， ∴，， ∴平分，故②正确； ，故④正确； ∵， ∴，故⑤正确； ∵，而， ∴， ∴平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 15.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯康巴什区第一中学等校·期中)如图，在中，，的平分线交于．过点作于，交于．过点作于．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（  ） A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤ 【答案】B 【分析】由∠C=90°，CG⊥AB，得∠ACE=∠B，再由外角的性质，得∠CED=∠CDE，得CE=CD；根据角平分线的性质，得CD=DF，则S△AEC：S△AEG=AC:AG，得CE=DF，从而得出答案． 【详解】∵∠ACB=90°，CG⊥AB， ∴∠ACE+∠BCG=90°，∠B+∠BCG=90°， ∴∠ACE=∠B， ∵∠CED=∠CAE+∠ACE，∠CDE=∠B+∠DAB，AE平分∠CAB， ∴∠CED=∠CDE，①正确； ∴CE=CD， 又AE平分∠CAB，∠ACB=90°，DF⊥AB于F， ∴CD=DF， ∵E到AC与AG的距离相等， ∴S△AEC：S△AEG=AC:AG，②正确； ∵CE=CD，CD=DF， ∴CE=DF，⑤正确； 无法证明∠ADF=2∠FDB以及， 故选：B． 三、解答题 16.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形． 17.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点06 全等三角形动点问题 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=10cm，DC=4cm．如果点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用含t的代数式表示CM=3t，BM=10-3t,BN=3t，分两种情况：当∠BMN=90°时，根据等边三角形的性质可知∠B=60°，则∠BNM=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半可知BN=2BM，即3t=2×（10-3t），即可求得t的值；当∠BNM=90°时，同理可求t的值. 【详解】点M、N都以3cm/s的速度运动 则CM=3t，BM=10-3t,BN=3t, 当∠BMN=90°时，∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠BNM=30° ∴BN=2BM，即3t=2×（10-3t） 解得： 当∠BNM=90°时，∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠BMN=30° ∴BM=2B2，即2×3t=（10-3t） 解得： 综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形 故选D 2.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（    ）    A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】设t秒后，与全等，表示出相应边长，再分，两种情况，根据对应边相等列出方程，解之即可． 【详解】解：设t秒后，与全等， 由题意可得：，，，， ∵与全等，， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴，， ∴，； ∴a的值为2或， 故选D． 二、多选题 3.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2单位长度秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过（　　）秒时，与全等．（注：点E与点A不重合） A．4 B．12 C．14 D．16 【答案】ABD 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当E在线段上，时，；当E在上，时，；当E在线段上，时，；当E在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上，时， 又∵， ∴， 此时， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时， ∵， ∴， 这时E在A点，不符合题意； ④当E在上，时，， 则， ∴， 点E的运动时间为（秒）． 故选：ABD． 三、填空题 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图，在矩形中，，，延长至点，，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，回到点停止运动．当运动__ 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设运动时间为，则， 当时，即点在上运动时，， ， 解得：； 当时，即点在上运动时，, ， ， ， 解得：； 综上所述，当运动秒或秒时，与全等， 故答案为：或． 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，与点为顶点的三角形全等． 【答案】0或4或8或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，因此时间为0秒； ③当P在上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在BQ上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：0或4或8或． 6.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【答案】4或8/8或4 【来源】 内蒙古自治区/乌兰察布市察右中旗第二中学2024-2025学年 八年级上学期数学期中试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．分和两种情况，根据定理推出和全等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8． 7.(24-25八上·江苏扬州梅岭中学教育集团·月考)如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）解：设点Q的运动速度为， ∵与全等，， ∴，或，， 当P在上，点Q在上时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 当点P在上，点Q在时， 若，， ∴， ∴， 若，， ∴， ∴， 综上所述：点Q的运动速度为或或或． 8.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，求点F的运动速度． 【答案】点F的运动速度为1或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 设点的运动速度为，则，由于，则当时，根据“”判断，即；当时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则， ， ∴当时，根据“”判断， 即，解得：； 当时，根据“”判断， 即，解得：， 综上所述，点的运动速度为1或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02全等三角形 ☆6大高频考点概览 考点01全等三角形的概念和性质 考点02全等三角形的判定 考点03全等三角形基本模型 考点04角平分线的性质和判定定理 考点05三角形综合 考点06三角形动点问题 目目 考点01 全等三角形的概念和性质 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)下列各组中的两个图形属于全等图形的是() 00 A. B 个△.0. 2.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学期中)下列说法不正确的是() A.全等三角形的对应边上的中线相等B.全等三角形的对应边上的高相等 C,全等三角形的对应角的角平分线相等D,有两边对应相等的两个等腰三角形全等 3.图中的两个三角形全等，则Lα=() 50 a 58° 72 b A.72 B.609 C.58° D.50 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区期中)如图，△ABC=△DEF,若AC=5,CF=2,则CD的长为() B 1/50 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.2.5 C.3 D.5 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学.期中)如图，△ABC兰△A'BC,∠ACB=90°，∠ACB=20°，则∠BC B的度数为() B B C A.20° B.40° C.70° D.90° 6.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)如图，在△ABC中，在边BC上取一点D,连接AD,在 边AD上取一点E,连接CE.若△ADB兰△CDE,∠BAD=a,则∠ACE的度数为() E A.a B.a-45° C.45°- D.90°- 7.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图，△ABC兰△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则下列结论 中不一定成立的是() E. B F A.AC=AFB,∠FAB=∠EABC.EF=BC D.∠EAB=LFAC 8.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，锐角△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点， △ADC≌△ADC,△AEB≌△AEB,且C'DIEB'IIBC,BE,CD交于点F,若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是 () 2/50 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1109 B.115° C.120° D.130° 9.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，已知将△ABE沿AD所在直线翻折，点B恰好 与BE上的点C重合，对折边AE,折痕也经过点C,则下列说法正确的是() B D ①LADC=90°；②AB=AC=CE;③AB+BD=DE;④S△ACD:S△AcE=CD:CE; A.只有①②正确 B.①②③ C.①②④D.①②③④ 二、填空题 10.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，△ABD≌△ACE,若AB=6,AE=4,则CD的长度为 B 11.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学期中)如图，△ABC兰△DEF,若BC=10,EC=7,则 CF的长为 E 12.(24-25八上·内蒙古赤峰期中)如图，△ABC兰△DCB,∠DBC=40°，则∠B0C= D 3/50 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25八上·内蒙古鸟兰察布化德县第三中学.期中)在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC,则∠1+∠2 度 B 三、解答题 14.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，己知△ABC≌△DBE,点D在AC上，BC 与DE交于点P,若AD=DC=2.4,BC=4.1. 0 P B E (1)若LABE=162°，∠DBC=30°，求LCBE的度数； (2)求△DCP与△BPE的周长和. 目目 考点02 全等三角形的判定 一、单选题 1,(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列两个三角形中，一定全等的是() A.两个等腰直角三角形 B.两个等边三角形 C.有一个角是100°，底边相等的两个等腰三角形 D,有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 2.(24-25八上·内蒙古锡林郭勒盟苏尼特右旗·期中)下列结论错误的是 A.全等三角形对应边上的中线相等 B,两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等 C.全等三角形对应边上的高相等 D,两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等 4/50 6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学期中)工人师傅设计了如图所示的卡钳，点0为卡钳两柄交点，且 有OA=OB=OC=OD,如果圆形工件恰好通过卡钳AB,则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全 等三角形的判定条件() A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4.(24-25八上·辽宁葫芦岛龙港区·月考)工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠A0B的边 OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线 OP,做法中用到三角形全等的判定方法是() M A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图 的依据是() B D D C A A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 6.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通 过判定三角形全等可说明LBAD=∠CAD,则判定三角形全等的依据是(） E A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 5/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八上·内蒙古鸟海第二中学期中)如图，已知∠A0B,以点0为圆心，以任意长为半径画弧①，分别 交OA,OB于点E,F,再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D,画射线OD.若LAOB=32°， 则LB0D的度数为() ①G F B A.32° B.54 C.64 D.68° 8.(24-25八上·内蒙古赤峰期中)如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很 快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是() A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 9.(24-25八上内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学期中)小明不慎将一块三角形的玻璃碎成 如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三 角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理() A.2:SAS B.4;SAS C.2;AAS D.4:ASA 10.(24-25八上·内蒙古鸟兰察布化德县第三中学期中)小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了 如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快 配得需要的玻璃() B D.选择哪块都行 11.(19-20八上·浙江台州黄岩区·期末)用三角尺画角平分线：如图，先在LA0B的两边分别取0M=ON,再 分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P.得到OP平分LAOB的依据是() 6/50 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.HL B.SSS C.SAS D.ASA 12.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，∠ABC=∠ABD,还应补充一个条件，才能 推出△ABC=△ABD,补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC三△ABD的是() B A.BC=BD B.AC=AD C.∠ACB=LADB D.∠CAB=∠DAB 13.(24-25八上·内蒙古鸟兰察布化德县第三中学.期中)如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF,AB=DE, 若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC兰△DEF,则这个条件是() B A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF 14.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，已知AB=DC,下列条件中，不能使△ABC兰△DCB 的是() B C A.AC=DB B.∠A=∠D=90° C.∠ABC=LDCB D.∠ACB=LDBC 15.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于O 点，已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE兰△ACD的是() 7/50 6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD 16.(24-25八上·内蒙古兴安盟乌兰浩特第五中学期中)如图，ABDE,ACDF,AC=DF,下列条件中，不 能判定△ABC兰△DEF的是() E B A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF//BC 17.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，△ABC中BC边上的高为h1,△DEF中DE边上的高为h2,若 AC=EF,下列结论中正确的是() 309 65 35 B C D E A.hi<h2 B.h1>h2 C.hi=h2 D,无法确定 18.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，已知AB=AC,AE=AD,则图中全等的三 角形共有() A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 19.(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团期中如图，在等边△ABC中，BD=CE,则∠APE等于() 8/50 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D A.30 B.45 C.60° D.75 20.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位 量为CD,当一端C下滑至C时，另一端D向右滑到D',则下列说法正确的是() B A.下滑过程中，始终有CC=DD B.下滑过程中，始终有CC≠DD C.若OC<OD,则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC=DD D.若OC>OD,则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'=DD 二、填空题 21.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校期中)如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是 (填序号)， 2cm 50° 2cm 2cm50° 3cm 3cm50° 3cm 50° 3cm 2cm ① ② ③ ④ 22.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)己知：如图，AC、BD相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个 条件，使△AOB兰△D0C,你补充的条件是一· 9/50 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校期中)在课堂上，老师发给每人一张印有Rt△A'B'C'(如图所示) 的卡片，然后，要同学们尝试画一个Rt△ABC,使得Rt△ABC兰Rt△A'B'C'.小赵和小刘同学先画出了 ∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示 B -M 小赵同学 小刘同学 老师评价：他俩的做法都正确请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选的做法（填“小赵”或 “小刘”)，他作图判定Rt△ABC≌Rt△A'BC的依据是 24.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，AD,BE是△ABC的两条高线，只需添加 一个条件即可证明△ADC三△BEC(不添加其它字母及辅助线)，这个条件可以是（写出一个即 可). C 27.(24-25八上内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学期中)如图，在平面直角坐标系中，点 A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为 10/50