专题01 三角形（期中真题汇编，内蒙古专用）八年级数学上学期人教版2024

专题01 三角形 4大高频考点概览 考点01 三角形分类以及三边关系 考点02 三角形高线、中线和角平分线 考点03 三角形的稳定性 考点04 三角形内角和、外角和定理 地 城 考点01 三角形分类以及三边关系 1、 单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   2.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)已知，，则为（   ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 3.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)在下列条件中：①， ②，③，④中， 能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 6.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 8.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A．   B． C． D．    9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)若a，b，c是的三边的长，化简的结果为（     ） A． B．0 C． D． 二、填空题 12.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为 ． 三、解答题 13.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 地 城 考点02 三角形高线、中线和角平分线 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（　　） A．B．C．D． 2.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B．C． D． 3.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　） A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD 4.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，是的中线，是的中线．若的面积是12，则的面积是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 5.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)如图，AD是△ABC的中线，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面 cm2． 6.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（    ）    A．14 B．21 C．28 D．32 8.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于（　　）    A．16 B．14 C．12 D．10 9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A．4.8 B．6 C．8 D．12 10.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)如图，在中，点D、E、F分别为、、的中点，且阴影部分的面积，则为 ． 二、填空题 11.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，在中，是边的中点，连接，是的中点，连接，，且的面积为，则 ．    12.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)在中，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 三、解答题 13.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．   （1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长． 14.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠EAD的度数． 地 城 考点03 三角形的稳定性 一、单选题 1．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是（    ） A．三角形的稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 2.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)下列设计中，没有利用三角形的稳定性的是（   ） A．伸缩晾衣架 B．三角形房架 C．自行车的三角形车架 D．人字梯 地 城 考点04 三角形的内角和、外角和定理 1、 单选题 1.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 2.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．4 D．5 3.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35°，则∠ADB的度数为（     ） A．55° B．65° C．75° D．85° 6.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，在中，，，．若平分，则=（    ） A． B． C． D． 8.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9.(24-25九上·山东滨州邹平鹤伴中学·月考)如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为 ． 10.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（　　） A． B． C． D． 11.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 12.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，把一副三角板叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 13.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 14.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)将一副普通的直角三角尺和如图放置，点恰好落在边上，三角尺中，较长的边AEBC，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是【   】 A．15° B．25° C．30° D．10° 16.(24-25八上·内蒙古通辽·期中)如图，在中，，将沿着折叠，点落在点的位置，则的度数是（ ） A． B． C． D． 17.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 18.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，在中，，沿图中虚线截去∠C，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 19.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，为的外角，则 ． 20.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)已知，如图DC平分，DB平分的外角，若，则 ． 21.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图， °． 22.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图， ． 23.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，在中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为 ． 24.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则 ． 25.(22-23八上·广西贵港覃塘区·期中)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 26.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ． 27.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 度． 28.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，△ABC中，点D为、平分线的交点，，则 ． 29．(24-25八上·内蒙古通辽·期中)一个零件的形状如图，测得，，，则 = ．    30.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，是中的平分线，是的外角的平分线，，则 ． 31.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ．    32.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，，将一副直角三角板如下摆放，图中点、、在同一直线上，则的度数为 ． 33.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)三个全等三角形按图的形式摆放，则的度数等于 ． 三、解答题 34.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，求的度数． 35.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，在 中，，、分别是边，上的点，连接，．若、分别是 的中线和角平分线，，求的度数．    36.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，已知平分，F是反向延长线上的一点，于点E，，．求的度数． 37.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且，求的度数． 38.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，在中，是边上的高，平分交边于，，，求的度数． 39.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数． 40.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：    (1)； (2)． 41.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP//AC交EF于点P． （1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数． （2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP． 42.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)一般地，我们把如图1这样的图形称为“8字形”，它满足，请利用以上信息，试求出图2中的度数． 43.(21-22八上·青海西宁湟源县第一中学·月考)如图所示，在△ABC中： (1)画出BC边上的高AD和中线AE． (2)若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数． 44.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，在中，于点D，，． 求： (1)的度数（填空，把解答过程补充完整）； (2)的度数（写出解答过程）． 解：（1）∵（已知）， ∴________（垂直的定义）． ∵________________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴________________． 答：的度数为________． 45.(24-25八上·内蒙古通辽·期中)试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：______； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是______个； (3)在图2中，若，，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．求的度数．        46.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 47.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 48.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 4大高频考点概览 考点01 三角形分类以及三边关系 考点02 三角形高线、中线和角平分线 考点03 三角形的稳定性 考点04 三角形内角和、外角和定理 地 城 考点01 三角形分类以及三边关系 1、 单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 2.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)已知，，则为（   ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形定义，先由三角形内角和定理得到，进而由直角三角形的定义即可判定答案，熟记三角形内角和定理及直角三角形定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， 由三角形内角和定理可得， 为直角三角形， 故选：C． 3.(24-25八上·内蒙古/乌兰察布察右中旗第二中学·期中)一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理．由题意知：把这个三角形的内角和平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可． 【详解】解：因为， ， ， 所以这个三角形里最大的角是锐角， 所以另两个角也是锐角， 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形， 所以这个三角形是锐角三角形． 故选：C． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)在下列条件中：①， ②，③，④中， 能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理进行判断求解． 【详解】解：①∵，， ∴，则是直角三角形； ②∵，， ∴，则是直角三角形； ③，即，则，则是直角三角形 ④∵， ∴， ∴， 故不是直角三角形． 故选：C． 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.若两条较短边的和小于或等于最长边，则不能构成三角形，据此分析即可. 【详解】A、，不满足三角形的三边关系，不符题意 B、，不满足三角形的三边关系，不符题意 C、，满足三角形的三边关系，符合题意 D、，不满足三角形的三边关系，不符题意 故选：C. 6.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：5-2＜a＜5+2， 即3＜a＜7， ∵a为整数， ∴a的最大值为6， 则三角形的最大周长为6+2+5=13． 故选：D． 7.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键． 由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 8.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A．   B． C． D．    【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，利用三角形三边的关系可知，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．据此判断． 【详解】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比上面那根木棒长，这两段相减比上面那根木棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形； B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根木棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和下面那根木棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形． 故选：A． 9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质．确定的取值范围是解题的关键． 由题意以及三角形三边关系得，，即，然后利用不等式的性质求周长的范围即可． 【详解】解：由题意以及三角形三边关系得，，即， ∴，即， 故选：C． 10.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 11.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)若a，b，c是的三边的长，化简的结果为（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，化简绝对值，根据三角形三边间的关系判断出原式中每个绝对值符号里面的式子的值的正负，再结合绝对值的代数意义进行化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边的长， ∴，，， ∴ ； 故选：A． 二、填空题 12.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系判断：，，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴，， ∴ ； 故答案为：． 三、解答题 13.(24-25八上·内蒙古兴安盟科右前旗兴安北京中学·期中)小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴小明证明用到的判定定理是； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点02 三角形高线、中线和角平分线 一、单选题 1.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】由题可得，过点A作BC的垂线段，垂足为D，则AD是BC边上的高， ∴表示△ABC中BC边上的高的是D选项． 故选D． 2.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线． 故选：D． 3.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　） A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD 【答案】D 【分析】根据三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 故选：D． 4.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，是的中线，是的中线．若的面积是12，则的面积是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据的面积是12，三角形中线将三角形面积两等分，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 5.(24-25八上·内蒙古乌兰察布化德县第三中学·期中)如图，AD是△ABC的中线，点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面 cm2． 【答案】15 【分析】根据轴对称的性质可得和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【详解】解：，是的对称轴， 点，是的三等分点， 阴影部分面积． 故答案为：15． 6.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，在中，D，E，F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，同理，则． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故选：B． 7.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（    ）    A．14 B．21 C．28 D．32 【答案】C 【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故选：C． 8.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于（　　）    A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故选：A． 9.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A．4.8 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】连接CD，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵点D是AG的中点， ∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC， ∴S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝24， ∴S△BCD＝S△ABC＝24， ∵点E是BD的中点， ∴S△CDE＝S△BCD＝12， ∵点F是CE的中点， ∴S△DEF＝S△CDE＝6． 故选B． 10.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔衡越实验学校·期中)如图，在中，点D、E、F分别为、、的中点，且阴影部分的面积，则为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形分别计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的中点，即是的中线， ∴ 又点是的中点， ∴ ∴ 故答案为：12 二、填空题 11.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)如图，在中，是边的中点，连接，是的中点，连接，，且的面积为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键.根据三角形中线的定义，可以知道，，从而计算出答案. 【详解】解： 是边的中点 的面积为 是的中点 ， 故答案为： 12.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)在中，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，作出适当的辅助线构建三角形全等是解题的关键． 如图，过作， 交的延长线于 证明可得 再利用三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：如图，过作 交的延长线于    是边上的中线， ∵ ∴， ，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13.(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．   （1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长． 【详解】（1）∵∠BED=∠ABE+∠BAE， ∴∠ABE=40°-25°=15°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=30°， ∵AF为高， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-30°=60°； （2）∵AD为中线， ∴BD=CD=5， ∵S△ABC=AF•BC=40， ∴AF==8． 14.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠EAD的度数． 【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝30°， ∵FG⊥AE， ∴∠AHG＝90°， ∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠AED＝∠B+∠BAE＝40°+30°＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°． 地 城 考点03 三角形的稳定性 一、单选题 1．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是（    ） A．三角形的稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】利用三角形的稳定性直接回答即可． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 2.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．空调在墙上的固定方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 3.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)下列设计中，没有利用三角形的稳定性的是（   ） A．伸缩晾衣架 B．三角形房架 C．自行车的三角形车架 D．人字梯 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：A、伸缩晾衣架，利用了四边形的不稳定性，没有利用三角形的稳定性，此选项符合题意； B、三角形房架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； C、自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； D、人字梯，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意． 故选：A ． 地 城 考点04 三角形的内角和、外角和定理 1、 单选题 1.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 2.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程． n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得： ， 解得， 故选：A． 3.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 4.(24-25八上·内蒙古呼和浩特内蒙古农业大学附属中学·期中)如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 5.(24-25八上·内蒙古呼和浩特实验中学·期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35°，则∠ADB的度数为（     ） A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义得到∠DAC，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−65°−35°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝40°＋35°＝75°， 故选：C． 6.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图，在中，，，．若平分，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，据此即可求解． 【详解】解：平分，， ， ， ， ． 故选：B． 8.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：C． 9.(24-25九上·山东滨州邹平鹤伴中学·月考)如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出，根据翻折变换的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：，， ， 折叠后点落在边上处， ， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 10.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边对等角得到，根据翻折的性质以及三角形内角和定理得到，再利用外角性质得到，进一步求出． 【详解】解：∵， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴， 故选：A 11.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据三角形内角和定理及平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质可得出，，由，利用平行线的性质可得出，再结合，即可求出的度数，于是得到结论． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，． ， ， ， 即， ． ， 故选：A． 12.(24-25八上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，把一副三角板叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与三角板有关的三角形内角和问题，由三角板可知，，再根据三角形内角和为180度可得． 【详解】解：由题意知，，， 中，， ， 故选C． 13.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 【答案】A 【分析】由题意可得∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°，则可求得∠2=15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°， ∴∠2=∠ABC∠1=15°， ∴∠α=∠2+∠C=105°． 故选：A． 14.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)将一副普通的直角三角尺和如图放置，点恰好落在边上，三角尺中，较长的边AEBC，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，结合，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案． 【详解】解：，， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 15.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是【   】 A．15° B．25° C．30° D．10° 【答案】A 【分析】先根据外角的性质求出∠BDF，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°， ∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120° ∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°， ∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°． 故选A． 16.(24-25八上·内蒙古通辽·期中)如图，在中，，将沿着折叠，点落在点的位置，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形外角的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可得，由三角形外角的定义和性质可得，，然后求解即可． 【详解】解：如下图， ∵将沿着折叠，点落在点的位置，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 17.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图所示，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和等于360°，是解题的关键，根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：如图，先标注顶点， ∵，， 又∵， ∴， 故选：C． 18.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，在中，，沿图中虚线截去∠C，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，四边形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 19.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，为的外角，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：40． 20.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)已知，如图DC平分，DB平分的外角，若，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点D作DG⊥BE交BE延长线于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延长线于H，由角平分线的性质可得DF=DH，证明Rt△AFD≌Rt△AHD得到∠HAD=∠FAD；然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质求出∠BAC=2∠BDC=40°，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥BE交BE延长线于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延长线于H， ∵CD、BD分别是∠ACB和∠ABE的角平分线， ∴DF=DG，DH=DG， ∴DF=DH， 又∵AD=AD， ∴Rt△AFD≌Rt△AHD（HL）， ∴∠HAD=∠FAD； ∵CD、BD分别是∠ACB和∠ABE的角平分线， ∴，， ∵∠BAC+∠ACB=∠ABE，∠BDC+∠BCD=∠DBE， ∴∠BAC+2∠BCD=2∠BCD+2∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDC=40°， ∴， 故答案为：． 21.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图， °． 【答案】360 【分析】本题考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理； 先根据三角形外角的性质可得，再结合四边形内角和定理即可求解 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：360 22.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗中片联盟·期中)如图， ． 【答案】540 【分析】利用三角形外角性质得到，然后利用五边形的内角和求的度数． 【详解】解：如图， ∵， 而， ∴， ∵． 故答案为：540． 23.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗南片联盟·期中)如图，在中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为 ． 【答案】/5度 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键． 根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出、的度数，再计算即可． 【详解】解：∵在中，是高，是角平分线，，， ∴，， ∴． 故答案为： 24.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理．根据两直线平行，同位角相等求出，，再根据翻折的性质求出和，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵沿翻折得， ∴，， 在中， ． 故答案为：． 25.(22-23八上·广西贵港覃塘区·期中)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】75°/75度 【分析】根据三角板的内角的度数和外角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵的三角板的另一个锐角度数为：， ∴； 故答案为：． 26.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，先由折叠的性质，再由三角形外角的性质可得，，由此即可得到． 【详解】解：由折叠的性质知：． 由三角形的外角性质知：，； ∴，即． 故答案为：． 27.(24-25八上·内蒙古呼和浩特敬业学校·期中)如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和及三角形的外角，延长交于点M，首先根据三角形的内角和求出的值，然后利用三角形的外角可得，进而即可得出结论． 【详解】延长交于点M， ，， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：20． 28.(24-25八上·内蒙古呼和浩特玉泉区·期中)如图，△ABC中，点D为、平分线的交点，，则 ． 【答案】/100度 【分析】求出的度数即可解决问题． 【详解】解：， ， 点是和角平分线的交点， ， ， 故答案为：． 29．(24-25八上·内蒙古通辽·期中)一个零件的形状如图，测得，，，则 = ．    【答案】 【分析】本题主要利用三角形的外角性质求解.延长交于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出的度数，再求出即可. 【详解】解：如图，延长交于点E     ， ° 故答案为 ： 30.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗联盟校·期中)如图，是中的平分线，是的外角的平分线，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角相等， 由对顶角相等得出，再由三角形内角和定理可得出，变形即可得出答案． 【详解】解∶设与交于点D， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 31.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ．    【答案】 【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】由外角的性质可得：， 故答案为：． 32.(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期中)如图，，将一副直角三角板如下摆放，图中点、、在同一直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平行公理、平行线的性质、邻补角、直角三角板的特征，解题关键是梳理掌握平行线性质． 过点作，由平行公理推得后，再根据平行线的性质得，最后根据直角三角板的特征即可得解． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 依题得：，，， ， ． 故答案为：． 33.(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯伊金霍洛旗·期中)三个全等三角形按图的形式摆放，则的度数等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， 三个三角形全等， ， 又， ， 的度数是． 故答案为：． 三、解答题 34.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗全旗·期中)如图，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了方位角，三角形内角和，平行线性质；根据方位角及平行线性质，可分别求得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 35.(24-25八上·内蒙古通辽科尔沁左翼中旗·期中)如图，在 中，，、分别是边，上的点，连接，．若、分别是 的中线和角平分线，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了是等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据三线合一得出，进而根据等角对等边以及三角形的内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，即可求解． 【详解】解：∵，是 的中线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 36.(24-25八上·内蒙古乌兰察布初中联盟校·期中)如图，已知平分，F是反向延长线上的一点，于点E，，．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余的性质．利用三角形内角和定理求出的度数．利用三角形外角的性质及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 37.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质求出∠BAD的度数，利用三角形内角和求出∠B的度数，由此得到∠ADE的度数，利用三角形外角性质求出∠ADC，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 38.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)如图，在中，是边上的高，平分交边于，，，求的度数． 【详解】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 39.(24-25八上·内蒙古呼和浩特启秀中学·期中)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数． 【详解】解：∵AD是BC边上的高，∠B=42°， ∴∠BAD=48°， ∵∠DAE=18°， ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠BAE=60°， ∴∠C=180°-∠B-∠BAC=78°． 40.(23-24八上·内蒙古呼和浩特和林格尔县第三中学·期中)如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：    (1)； (2)． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 41.(24-25八上·内蒙古呼和浩特回民区·期中)如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP//AC交EF于点P． （1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数． （2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP． 【详解】解：（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP//AC， ∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC， ∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°； （2）∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C， ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC＝2∠A＝2∠ABP． 42.(24-25八上·内蒙古赤峰·期中)一般地，我们把如图1这样的图形称为“8字形”，它满足，请利用以上信息，试求出图2中的度数． 【详解】解：如图，连接． 由题意易知，， ． 43.(21-22八上·青海西宁湟源县第一中学·月考)如图所示，在△ABC中： (1)画出BC边上的高AD和中线AE． (2)若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数． 【详解】（1）如图，线段AD、AE就是求作的BC边上的高线、中线； （2）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=90° ∵∠ACB=130°， ∴∠ACD=180°-130°=50° 又∵三角形的内角和等于180° ∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60° ∠CAD=180°-∠ACD-∠ADB=40° 44.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，在中，于点D，，． 求： (1)的度数（填空，把解答过程补充完整）； (2)的度数（写出解答过程）． 解：（1）∵（已知）， ∴________（垂直的定义）． ∵________________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴________________． 答：的度数为________． 【详解】（1）解：（1）∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴． 答：的度数为． （2）解：∵，， ∴． 45.(24-25八上·内蒙古通辽·期中)试解答下列问题： (1)在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：______； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数是______个； (3)在图2中，若，，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．求的度数．        【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：如图： ①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：因为， 所以，① 同理得，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， 得：， 即， 又∵，， ∴， ∴； 46.(24-25八上·内蒙古巴彦淖尔乌拉特前旗第三中学·期中)如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 47.(24-25八上·内蒙古通辽科左中旗·期中)我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 48.(24-25八上·内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学·期中)探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    【详解】解：探究一：（1）∵在中，， ∴， ∵，分别是两个内角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：122； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∵，分别是两个外角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：55； 探究二：，证明如下： ∵在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $