第11讲 二次函数的概念 （1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第11讲 二次函数的概念 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2023秋•浦东新区期末）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．若函数的函数值为5，则自变量的值应为　　 A．1 B． C． D． 3．（2022秋•宝山区校级期末）如果函数是二次函数，那么　　． 题型二、列二次函数关系式 4．（2022·上海青浦·二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为 ． 5．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）半径为5的圆，如果半径增加x时，面积增加y，那么y与x的函数关系式是 ． 6．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）已知方程组的两组解为，（，是不相等的实数）． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 分层练习 一、单选题 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若是二次函数，则m的值是（   ） A． B．-3 C．3 D．不能确定 4．二次函数的一次项系数是（    ） A． B．1 C． D．6 5．下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 6．用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 二、填空题 7．已知是y关于x的二次函数，那么m的值为 ． 8．若函数（是常数）是二次函数，则的值是 ． 9．若函数是二次函数，则m的值为 ． 10．若函数是二次函数，则 ． 11．已知二次函数，则 ． 13．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 14．若关于x的函数是二次函数，则a必须满足的条件是 ． 15．若y=(m+1)是二次函数，则m的值为 ． 16．二次函数解析式为y＝（m＋1）＋4x＋7，则m的值是 ． 17．矩形的长为，宽为，如果将其长与宽都增加，则面积增加，写出与的关系式 ，是的 函数． 18．如图，在矩形中，，过线段上的点，则的函数关系式为 . 三、解答题 19．证明：对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数． 20．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 21．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 22．综合与探究 问题情境： 某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为元，这种取暖器的销售价为每台元时，每周可售出台． 探究发现： ①销售定价每增加元时，每周的销售量将减少台； ②销售定价每降低元时，每周的销售量将增多台． 问题解决： 若商店准备把这种取暖器销售价定为每台元，每周销售获利为元． （1）当时，这周的“小太阳”取暖器的销售量为______台，每周销售获利为______元． （2）求与的函数关系式（不必写出的取值范围），并求出销售价定为多少时，这周销售“小太阳”取暖器获利最大，最大利润是多少？ （3）若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利元，求的值． 23．某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30时，再次自动加热水箱中的水至60，加热停止；当水箱中的水温下降到30时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度，（单位：）表示接通电源后的时间．下面是小宇的探究过程，请补充完整： （1）小宇记录了从初始温度20第一次加热至设定温度60，之后水温冷却至保温温度30的过程中，随的变化情况，如下表所示： 接通电源后的时间（） 0 2 4 8 10 12 14 16 18 20 … 水箱中水的温度（） 20 30 40 60 51 45 40 36     33     30 ①请写出一个符合加热阶段与关系的函数解析式______________； ②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60时，距离接通电源的时间为________． （2）根据上述的表格，小宇画出了当时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当时的函数图象． （3）已知适宜人体沐浴的水温约为，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二次函数的概念 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2023秋•浦东新区期末）下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、中，的次数是1，不是二次函数，不符合题意； 、是二次函数，符合题意； 、中，的次数是1，不是二次函数，不符合题意； 、含有分式，不是二次函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键． 2．若函数的函数值为5，则自变量的值应为　　 A．1 B． C． D． 【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意，得，， 解得或1． 故选：． 【点评】本题考查给出二次函数的值去求函数自变量的值．代入转化为求一元二次方程的解． 3．（2022秋•宝山区校级期末）如果函数是二次函数，那么　2　． 【分析】直接利用二次函数的定义得出的值． 【解答】解：函数是二次函数， ， ， 解得：，， ， ， 故． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出的方程是解题关键． 题型二、列二次函数关系式 4．（2022·上海青浦·二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解． 【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为， ∴二月份的为 三月份的为 第一季度的总产值为（亿元），则 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）半径为5的圆，如果半径增加x时，面积增加y，那么y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据题意，圆增加的面积等于现在的面积减原来的面积，分别用x表示现在的面积和原来的面积，再相减列出函数关系式． 【详解】解： ． 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意找到等量关系，并用x去表示各个量然后列出函数关系式． 6．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）已知方程组的两组解为，（，是不相等的实数）． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)且 (2)1 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、列二次函数关系式 【分析】（1）由题意知，，由，可得，整理得，，由，是不相等的实数，可得，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，，，由（1）可得，，，由，可得，代值得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴，整理得，， ∵，是不相等的实数， ∴， 解得， ∴且； （2）解：由题意知，，， 由（1）可得， ，， ∵， ∴， ，整理得，， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）， ∴实数的值为1． 【点睛】本题考查了二次函数，一元二次方程根的判别，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 分层练习 一、单选题 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意； D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案. 【详解】解：，当时，函数不是二次函数，故A不符合题意； 是二次函数，故B符合题意； 不是二次函数，故C不符合题意； 是一次函数，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解本题的关键. 3．若是二次函数，则m的值是（   ） A． B．-3 C．3 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ，且， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键． 4．二次函数的一次项系数是（    ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项系数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 5．下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：A. 是一次函数，不是二次函数，故此选项错误； B. ，不是二次函数，故此选项错误； C. 是二次函数，故此选项正确； D.当时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．其中是变量，是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 6．用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：， 即：， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 二、填空题 7．已知是y关于x的二次函数，那么m的值为 ． 【答案】-2； 【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可. 【详解】∵原式是y关于x的二次函数， ∴ ∴ ∴ 故答案为-2. 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键. 8．若函数（是常数）是二次函数，则的值是 ． 【答案】－2 【分析】根据二次函数的定义解答． 【详解】由题意知，且， 解得：， 故答案为：－2． 【点睛】本题考查二次函数的定义，属于基础题型． 9．若函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数． 10．若函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程和不等式，解答即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义列出关于m的方程和不等式． 11．已知二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如，这样的函数叫做二次函数，得到，，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．把函数化成的形式为 ． 【答案】 【分析】把函数右边相乘展开合并成形式即可. 【详解】，则. 【点睛】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题的关键. 13．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的一般式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式． 14．若关于x的函数是二次函数，则a必须满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：形如，进行求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得： 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键． 15．若y=(m+1)是二次函数，则m的值为 ． 【答案】7 【分析】利用二次函数的概念可得，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得 ∴ 解得 故答案为：7 【点睛】此题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是2次，且二次项系数不为零． 16．二次函数解析式为y＝（m＋1）＋4x＋7，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数叫做二次函数，进行求解即可． 【详解】解：∵是二次函数解析式， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义和解一元二次方程，解题的关键在于能够熟知二次函数的定义． 17．矩形的长为，宽为，如果将其长与宽都增加，则面积增加，写出与的关系式 ，是的 函数． 【答案】 二次 【分析】根据增加的面积=新面积-原面积即可求解，根据结果的形式可以判断函数类型． 【详解】y=(2+x)(1+x)−2×1=x2+3x，是二次函数. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键. 18．如图，在矩形中，，过线段上的点，则的函数关系式为 . 【答案】 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE、BE，然后表示出PE、QE，再过点Q作于F，利用△QEF与△BEA相似表示出QF，然后根据三角形的面积公式表示出y与x的关系式即可． 【详解】解：由BE平分∠ABC可得，△ABE为等腰三角形， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴，， ∵QP∥BD， ∴∠EQP=∠EBD，∠EPQ=∠EDB， 又∵EB=DE， ∴∠EBD=∠EDB， ∴∠EQP=∠EPQ， ∴， 作于F，则△QEF∽△BEA， ∴，即， ∴， ∴. 【点睛】本题考查动点问题中求函数表达式，涉及的知识比较综合，熟练掌握等腰直角三角形、平行线性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键. 三、解答题 19．证明：对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数． 【答案】证明见解析． 【分析】由二次函数定义知，证明二次项系数不为零即可． 【详解】∵ 又∵ ∴ ∴对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 20．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 21．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)    （1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)； （2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？ 【答案】（1）平方米；（2）元 【分析】（1）根据图形列出阴影面积计算公式，并利用平方差公式求解； （2）根据（1）的结论，计算得到阴影面积从而完成求解． 【详解】（1）右下角图形另一边长为： ∴图中的阴影部分面积为： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）由（1）可知，当时 ∴ ∴购买草皮需元． 【点睛】本题考查了二次函数和平方差公式，求解的关键是熟练掌握并运用二次函数和平方差公式求解实际问题． 22．综合与探究 问题情境： 某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为元，这种取暖器的销售价为每台元时，每周可售出台． 探究发现： ①销售定价每增加元时，每周的销售量将减少台； ②销售定价每降低元时，每周的销售量将增多台． 问题解决： 若商店准备把这种取暖器销售价定为每台元，每周销售获利为元． （1）当时，这周的“小太阳”取暖器的销售量为______台，每周销售获利为______元． （2）求与的函数关系式（不必写出的取值范围），并求出销售价定为多少时，这周销售“小太阳”取暖器获利最大，最大利润是多少？ （3）若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利元，求的值． 【答案】（1），；（2）当销售定价为元时，利润最大，最大为元；（3）当为或时，每周获利可达元 【分析】（1）根据题意，则当时，销售定价增加元时，则每周的销售量将减少台，根据每周销售获利为：，即可； （2）根据题意，利润为：，对式子进行化简，再根据二次函数的性质，即可； （3）根据题意，当，求出，即可． 【详解】（1）∵ ∴销售定价增加：（元）， ∴销售数量为：（台）， ∴每周销售获利为：（元）， 故答案为：；． （2）由题意得，利润为：， ∴， ， ∵， ∴当时，利润有最大值， ∴， ∴当销售定价为元时，利润最大，最大为元． （3）当时， ∴， 整理得，， 解得：，； ∴当为或时，每周获利可达元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际运用，解题的关键是在一元二次方程的运用，二次函数的图象和性质． 23．某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30时，再次自动加热水箱中的水至60，加热停止；当水箱中的水温下降到30时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度，（单位：）表示接通电源后的时间．下面是小宇的探究过程，请补充完整： （1）小宇记录了从初始温度20第一次加热至设定温度60，之后水温冷却至保温温度30的过程中，随的变化情况，如下表所示： 接通电源后的时间（） 0 2 4 8 10 12 14 16 18 20 … 水箱中水的温度（） 20 30 40 60 51 45 40 36     33     30 ①请写出一个符合加热阶段与关系的函数解析式______________； ②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60时，距离接通电源的时间为________． （2）根据上述的表格，小宇画出了当时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当时的函数图象． （3）已知适宜人体沐浴的水温约为，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________． 【答案】（1）①；②；（2）见详解；（3）否；加热至9点30分的温度为，不在人体适合的温度范围内． 【分析】（1）①根据表格数据特点，应用待定系数法求解即可；②根据表格数据先确定从加热至需要的时间，再将所得时间加上第一次加热至保温的时间即得； （2）根据加热温度变化规律可知从加热至需要，即可确定点， （3）根据表格数据特点，第一次加热需要20分钟，之后每18分钟一次循环，即可确定早上9点30分对应第一次加热的时间段． 【详解】（1）①当时，设解析式为： 将代入并联立得： ，解得： ∴当时， 当时，设解析式为： 将 代入并联立得： 解得： ∴当时， ∴第一次加热阶段与关系的函数解析式为： 故答案为： ②根据表格数据可知从加热至需要 ∴当第二次加热至设定温度60时，距离接通电源的时间为 故答案为：． （2）如下图： （3）从早上8点至早上9点30分，总共用时90分钟，且第一次加热需要20分钟至保温温度，第一次以后每18分钟循环一次． ∵，即最后一次重新加热至9点30分对应第一次的第18分钟的温度：． ∴在上午9点30分时，热水器的水温不适合他沐浴． 故答案为：否，加热至9点30分的温度为，不在人体适合的温度范围内． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式及函数图像的实际应用，解题关键是结合表格数据及图像确定函数类型，注意：线性变化为一次函数，自变量与因变量的乘积不变则为反比例函数，否则为初中多数情况为二次函数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$