第4章 指数与对数 全章复习（知识回顾+7重难点+强化训练）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第4章 指数与对数 知识回顾 知识点01：根式 1 知识点02：指数幂的拓展 2 知识点03：对数的概念 2 知识点04：对数的运算性质 3 题型归纳 题型01 根式与指数幂的运算 3 题型02 指数式与对数式的互化 5 题型03 对数的运算 7 题型04 对数的运算性质的应用 8 题型05 运用换底公式化简计算 12 题型06 指数幂与对数的运算 15 题型07 根式的化简求值与对数的运算 19 强化训练 22 知识点01：根式 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的n次方根等于0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点02：指数幂的拓展 分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义：(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义． 知识点03：对数的概念 1. 对数的概念 　　如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 2. 对数式与指数式的关系 　　当a>0，a≠1时，ab=N⇔b=logaN. 3. 常用对数与自然对数 　　以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N；以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，对数logeN简记为ln N. 4. 对数的性质 (1)零和负数没有对数；(2)loga1=0(a>0，a≠1)；(3)logaa=1(a>0，a≠1)；(4)logaab=b(a>0，a≠1，b∈R)； (5) =N(a>0，a≠1，N>0). 知识点04：对数的运算性质 1.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)loga=logaM-logaN；(3)logaMn=nlogaM(n∈R). 2.换底公式 换底公式：logaN=，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 题型01 根式与指数幂的运算 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中） . 【答案】7 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】利用指数和根式的运算求解. 【详解】解：， ， 故答案为：7 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 4．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）（1）化简：（1）； （2）先化简，再求值．已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则进行计算； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值. 【详解】（1）； （2） ， 因为，， 所以. 题型02：指数式与对数式的互化 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】令，利用指数式与对数式的互化关系，结合对数运算即得. 【详解】令，则， 所以，即的估算值为. 故选：C 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】由得，然后可计算求值. 【详解】由题意得：，得：， 所以：.故A项正确. 故选：A. 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】借助指数与对数的关系及对数运算法则计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 8．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由，可得，然后代入中计算即可. 【详解】由，可得， 所以， 故选：C 题型03 对数的运算 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算公式直接求解. 【详解】. 故选：A. 10．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】由韦达定理可得：，再由对数的运算即可求得. 【详解】由韦达定理可得：， 所以，所以. 故选：C 11．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（   ） A．10 B．100 C． D．10000 【答案】A 【知识点】对数的运算 【分析】代入求值，得到，，得到答案. 【详解】令，则，解得：， 令，则，解得：， 故. 故选：A 题型04 对数的运算性质的应用 12．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）()的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、数与式 【分析】利用完全平方差公式及对数的运算性质化简求值. 【详解】由原式. 故选：C 13．（22-23高一上·江苏南京·期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】先求出的值，结合选项即可判断． 【详解】， ， 所以所在的区间为. 故选：C 14．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】D 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为满足， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 故的最小值为16， 故选：D. 15．（多选）（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 16．（22-23高一上·江苏连云港·期末）设，，则 ．（用a，b表示） 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算即可求解. 【详解】， 故答案为：. 17．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】 根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为 所以，， 两式相减可得：，解得：， . 故答案为： 题型05 运用换底公式化简计算 18．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算性质和换底公式化简求值. 【详解】∵， ∴. 故选：A. 19．（多选）（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数运算法则计算，得到答案. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 20．（23-24高一上·江苏南京·期末） . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数和指数运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 21．（24-25高一上·江苏苏州·期末）计算的值为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为：. 22．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据给定条件，利用换底公式求解即得. 【详解】由，得，又， 所以. 故答案为： 题型06 指数幂与对数的运算 24．（23-24高一上·江苏无锡·期中）求值 (1) (2)已知，求及的值 【答案】(1)8； (2)7，. 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）利用对数运算法则计算及指数运算法则计算得解. （2）利用指数运算法则求解即得. 【详解】（1） （2）由于，所以， . 25．（22-23高一上·江苏常州·期末）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)7 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的运算求解. 【详解】（1）. （2） 26．（22-23高一上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可， （2）利用对数的运算性质求解即可 【详解】（1） . （2） . 27．（23-24高一上·江苏南京·期末）（1）已知，求的值； （2）求值：. 【答案】（1）；（2）4 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）将平方，结合指数幂的运算，即可得答案； （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1）由于，则， 故， 因为， 所以. （2） . 28．（23-24高一上·江苏泰州·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)0 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）直接由分数指数幂的运算即可得解. （2）直接由对数运算性质即可得解. 【详解】（1）. （2） . 29．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可. （2）根据对数运算法则分别化简求值即可. 【详解】（1） （2） . 题型07 根式的化简求值与对数的运算 30．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)2 (3) 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据根式的化简以及分数指数幂的运算，可得答案； （2）根据对数的运算性质，即可求得答案； （3）利用指数幂的运算以及对数的换底公式化简求值，即得答案. 【详解】（1）； （2） ； （3） . 31．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2). 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算性质、换底公式计算即得. 【详解】（1） . （2） . 32．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）化简求值： (1)； (2) 【答案】(1) (2)2 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据根式和指数幂直接计算得到答案. （2）利用对数的运算法则计算得到答案. 【详解】（1） . （2） ． 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， 所以是15位数. 故选：B 2．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算. 【详解】因为，所以，， 由换底公式得：，. 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据指数幂运算法则，先求出为一个定值，从而可得结果. 【详解】， 所以 故选：C. 4．（23-24高一上·江苏泰州·期中）在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数，其中是一个无理数） A．1085 B．2085 C．2869 D．8686 【答案】A 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由题意可知以内的素数的个数为，计算即可得到答案. 【详解】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为， 则以内的素数的个数为 == =2500， 故选:A. 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据对数的运算得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】， 所以，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B. 二、多选题 6．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 【答案】BD 【知识点】指数幂的化简、求值、运用换底公式化简计算 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 7．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质可判断A，C；根据根式和分数指数幂的运算判断B；根据指数式和对数式的互化以及对数运算可判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，若，则， 故，C正确； 对于D，若，则， 则，D正确， 故选：BCD 8．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、对数的运算 【分析】根据指数幂、对数的运算法则逐项判断即可. 【详解】对于A：，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，故错误； 对于D：，正确. 故选：BD 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列运算中正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 【答案】AD 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，所以，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 10．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【详解】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题 11．（22-23高一上·江苏连云港·期末）计算： . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】利用对数运算法则和指数运算法则计算出答案. 【详解】 . 故答案为： 12．（22-23高一上·江苏南京·期末）若，且，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】化指数式为对数式，得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，， 故， 则， 所以，解得. 故答案为： 13．（23-24高一上·江苏·阶段练习）计算： . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算即得. 【详解】. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 【答案】11 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据指数与对数的运算性质，直接求即可 【详解】. 故答案为： 15．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）计算：= . 【答案】/1.5 【知识点】根式的化简求值、对数的运算 【分析】根据对数和根式的运算得解. 【详解】原式. 故答案为：. 四、解答题 16．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算： (1)， (2). 【答案】(1)11 (2)2 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则计算即可； （2）根据对数的运算法则计算． 【详解】（1）原式. （2）原式 . 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）求值：； （2）已知，用表示式子：. 【答案】（1）；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】（1）根据指数幂的运算即可求得答案； （2）根据对数运算化简，再将化为对数式可得，由此可得答案. 【详解】（1）； （2）， 因为，所以，所以， 所以. 18．（23-24高一上·江苏南通·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知x，y，z为正数，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据对数运算法则得到答案； （2）令，得到，，，利用换底公式和对数运算法则得到答案. 【详解】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以，，， 所以； 19．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 【答案】(1) (2)1 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数幂的运算法则以及根式的化简，即可求得答案； （2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案. 【详解】（1） ； （2） . 20．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可; （2）进行对数的运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 21．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）利用指数运算法则计算出答案； （2）利用指数运算和对数运算法则得到答案. 【详解】（1） ； （2） . 22．（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1） （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数性质及运算法则计算即得. 【详解】（1）原式 （2）原式. 23．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答. （2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答. 【详解】（1）. （2） . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数 知识回顾 知识点01：根式 1 知识点02：指数幂的拓展 2 知识点03：对数的概念 2 知识点04：对数的运算性质 3 题型归纳 题型01 根式与指数幂的运算 3 题型02 指数式与对数式的互化 4 题型03 对数的运算 4 题型04 对数的运算性质的应用 5 题型05 运用换底公式化简计算 5 题型06 指数幂与对数的运算 6 题型07 根式的化简求值与对数的运算 8 强化训练 10 知识点01：根式 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的n次方根等于0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点02：指数幂的拓展 分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义：(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义． 知识点03：对数的概念 1. 对数的概念 　　如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 2. 对数式与指数式的关系 　　当a>0，a≠1时，ab=N⇔b=logaN. 3. 常用对数与自然对数 　　以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N；以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，对数logeN简记为ln N. 4. 对数的性质 (1)零和负数没有对数；(2)loga1=0(a>0，a≠1)；(3)logaa=1(a>0，a≠1)；(4)logaab=b(a>0，a≠1，b∈R)； (5) =N(a>0，a≠1，N>0). 知识点04：对数的运算性质 1.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)loga=logaM-logaN；(3)logaMn=nlogaM(n∈R). 2.换底公式 换底公式：logaN=，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 题型01 根式与指数幂的运算 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中） . 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 4．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）（1）化简：（1）； （2）先化简，再求值．已知，，求的值． 题型02：指数式与对数式的互化 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 8．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型03 对数的运算 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 11．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（   ） A．10 B．100 C． D．10000 题型04 对数的运算性质的应用 12．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）()的值等于（   ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·江苏南京·期中）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 15．（多选）（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一上·江苏连云港·期末）设，，则 ．（用a，b表示） 17．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 题型05 运用换底公式化简计算 18．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）（    ） A． B． C． D．2 19．（多选）（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏南京·期末） . 21．（24-25高一上·江苏苏州·期末）计算的值为 . 22．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则 ．（用表示） 题型06 指数幂与对数的运算 24．（23-24高一上·江苏无锡·期中）求值 (1) (2)已知，求及的值 25．（22-23高一上·江苏常州·期末）求值： (1)； (2)． 26．（22-23高一上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 27．（23-24高一上·江苏南京·期末）（1）已知，求的值； （2）求值：. 28．（23-24高一上·江苏泰州·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 29．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 题型07 根式的化简求值与对数的运算 30．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 31．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算下列各式的值： (1)； (2) 32．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）化简求值： (1)； (2) 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 2．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（23-24高一上·江苏泰州·期中）在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数，其中是一个无理数） A．1085 B．2085 C．2869 D．8686 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 二、多选题 6．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 7．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列运算中正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 10．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（22-23高一上·江苏连云港·期末）计算： . 12．（22-23高一上·江苏南京·期末）若，且，则实数的值为 ． 13．（23-24高一上·江苏·阶段练习）计算： . 14．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 15．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）计算：= . 四、解答题 16．（23-24高一上·江苏连云港·期中）计算： (1)， (2). 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）求值：； （2）已知，用表示式子：. 18．（23-24高一上·江苏南通·期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知x，y，z为正数，若，求的值． 19．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 20．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 21．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1) (2) 22．（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1） （2）求的值. 23．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）求值： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $