暑假预习专题06 充分条件和必要条件（2知识+9题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题06 充分条件和必要条件 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养，(难点) 知识点1 充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 知识点2 充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句 与 ，如果既没有 ，又没有 ，那么 既不是 的充分条件也不是 的必要条件，我们称 是 的既非充分又非必要条件． 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 考点一．判断命题的充分不必要条件 例1（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】易知，根据定义即可判断得出结论. 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 1-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】由求得或，然后即可得出答案. 【详解】由可得，解得或. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”能推出“”，而“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 1-3（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可 【详解】因为，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 考点二．根据充分不必要条件求参数 例2（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 2-1（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 2-2（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 2-3（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 考点三．充分条件的判定及性质 例3（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 3-1（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定义，分别验证充分性与必要性即可. 【详解】时满足，而时不一定有， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 3-2（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，则. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 3-3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 【答案】充分不必要 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】依题意，有，则，而推不出，故p是s的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 考点四．判断命题的必要不充分条件 例4（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 4-1（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 4-2（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 4-3（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为不能推出， 所以“”不是“”的充分条件， 因为“”能推出“”， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 考点五．根据必要不充分条件求参数 例5（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 5-1（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】由题意得是的真子集，故. 故答案为：. 5-2（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 5-3（22-23高一上·上海宝山·期中）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的意义列式作答. 【详解】因“”是“”的必要非充分条件，则，即有， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 考点六．必要条件的判定及性质 例6（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 6-1（24-25高一上·上海浦东新·期中）“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【分析】根据条件间的推出关系确定充分、必要性. 【详解】由，有或，充分性不成立； 由，必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 6-2（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 6-3（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)四边形的对角线互相平分，四边形是矩形； (4)，； (5)，关于x的方程有实根. 【答案】(1)必要不充分； (2)既不充分也不必要； (3)必要不充分； (4)充分不必要； (5)充分不必要 【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）解：由可得或， 即由推不出，但由可以推出， 所以条件p是条件q的必要不充分条件； （2）解：由是直角三角形推不出是等腰三角形， 由是等腰三角形推不出是直角三角形， 所以条件p是条件q的既不充分也不必要条件； （3）解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)， 由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分， 所以条件p是条件q的必要不充分条件； （4）解：由可得，即有， 但由只能得， 即由可以推出，但由不可以推出， 所以条件p是条件q的充分不必要不条件； （5）解：由，可得， 从而得方程有实根， 但由方程有实根，可得， 即， 即由可以推出，但由不可以推出， 所以条件p是条件q的充分不必要不条件. 考点七．充要条件的证明 例7（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）是成立的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】先判断充分性：由， 得， 则，即； 再判断必要性，若， 则. 所以是成立的充要条件. 故选：A. 7-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 7-2（23-24高一上·上海·期中）下列命题中，真命题的数量为（    ） ①已知，则是偶数是是偶数的充要条件 ②如果，那么除以4的余数为0或1 ③如果，那么x与y同号或x，y至少有一个为0 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】命题①，由都是偶数或都是奇数，证明充要条件；命题②，分为偶数和为奇数，判断除以4的余数；命题③，由两边同时平方，得，即可判断；命题④，由交集并集的定义判断集合的包含关系. 【详解】命题①， 已知， 若是偶数，则都是偶数或都是奇数，有是偶数； 若是偶数，则都是偶数或都是奇数，有是偶数， 则是偶数是是偶数的充要条件，命题①是真命题； 命题②，时， 当为偶数，记作，，则，除以4的余数为0， 当为奇数，记作，，则，除以4的余数为1. 故命题②是真命题； 命题③，如果，则有，即， 所以，则有x与y同号或x，y至少有一个为0，命题③是真命题； 命题④，当时，有；当时，，此时， 则有，命题④是假命题. 所以真命题有3个. 故选：C. 7-3（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件以及必要条件的定义进行判断即可. 【详解】对于①：因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故①正确； 对于②：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 说明集合中的元素都是集合中的元素，则， 即的必要不充分条件是，故②正确； 对于③：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 如，，则，，满足， 但是集合、没有任何关系，故推不出，即充分性不成立，故③错误； 对于④：集合中的元素与集合中的元素完全相同，则， 但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同， 如，，则，，显然集合、没有任何关系，故④错误． 故选：B 考点八．探求命题为真的充要条件 例8（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的性质以及集合运算和自己概念可判断. 【详解】对A，若，则，故A错误： 对B，若，则不能得到，故B错误； 对C，若，故C正确； 对D，，当是真子集时，不能得到，故D错误. 故选：C 8-1（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【答案】 【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解. 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 8-2（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意、、，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要非充分条件； ④“”是“”的充分非必要条件. 其中真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用等式的性质以及特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断①；利用充分条件、必要条件的定义可判断②；利用集合的包含关系可判断③；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断④. 【详解】对于①，当时，由等式的性质可知，，即“”“”， 若，当时，则、不一定相等，即“”“”， 所以，“”是“”的充分不必要条件，①错； 对于②，若是无理数，则是无理数， 另一方面，若是无理数，则是无理数， 所以，“是无理数”“是无理数”， 因此，“是无理数”是“是无理数”的充要条件，②对； 对于③，因为， 所以，“”是“”的必要非充分条件，③对； 对于④，若，取，，则，即“”“”， 若，不妨取，，则，即“”“”， 所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，④错. 故真命题的个数为， 故选：B. 8-3（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 【答案】真 【分析】根据绝对值不等式以及分式不等式进行判断. 【详解】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当且时，， 因为，所以，即， 当且时，， 因为，所以，即， 所以“的充要条件是 是真命题， 故答案为：真. 考点九．既不充分也不必要条件 例9（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）设为全集，是的子集，则“存在集合使得”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】   若“存在集合使得”，如图所示，推不出“”，故充分性不满足；    反之，若“”，如图所示，推不出“存在集合使得”，故必要性不满足； 所以“存在集合使得”是“”的既非充分又非必要条件. 故选：D 9-1若a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例和反例即可判断. 【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出， 同样时，满足，但此时，故反向也无法推出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9-2（24-25高一上·上海·期中）已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件和必要条件即可求解. 【详解】若，满足，，但不成立， 所以是的不充分条件； 若，则或， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：C 9-3（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 1．（判断命题的必要不充分条件）（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 2．（判断命题的必要不充分条件）（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 3．（判断命题的充分不必要条件）若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据由充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】由：，即，：， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4．（判断命题的充分不必要条件）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，反之不成立，如：，满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（判断命题的充分不必要条件）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的并集运算来判断与之间的条件关系. 【详解】若，根据并集的定义,所以当时，一定有，即由能推出，所以是的充分条件. 若，则可能属于，也可能属于，不一定有. 例如，，当时，，但，即由不能推出，所以不是的必要条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 6．（判断命题的充分不必要条件）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】若“”，则有，可推出“”成立， 若“”，则有或，解得或，推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 7．（判断命题的充分不必要条件）（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可 【详解】因为，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 8．（根据充分不必要条件求参数）（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 1．（取整函数）（23-24高三上·河南焦作·开学考试）用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如不能得到， 由，又，所以一定能得到. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 2．（根据充分不必要条件求参数）（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（探求命题为真的充要条件）（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 4．（必要条件的判定及性质）（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题06 充分条件和必要条件 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养，(难点) 知识点1 充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ． （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件，亦称 不是 的必要条件． （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 知识点2 充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句 与 ，如果既没有 ，又没有 ，那么 既不是 的充分条件也不是 的必要条件，我们称 是 的既非充分又非必要条件． 判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 考点一．判断命题的充分不必要条件 例1（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 1-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 1-2（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 1-3（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 考点二．根据充分不必要条件求参数 例2（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 2-1（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 2-2（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 2-3（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 考点三．充分条件的判定及性质 例3（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3-1（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3-2（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 3-3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 考点四．判断命题的必要不充分条件 例4（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 4-1（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4-2（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4-3（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 考点五．根据必要不充分条件求参数 例5（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 5-1（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 5-2（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 5-3（22-23高一上·上海宝山·期中）若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 考点六．必要条件的判定及性质 例6（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6-1（24-25高一上·上海浦东新·期中）“”是“”的 条件 6-2（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 6-3（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)四边形的对角线互相平分，四边形是矩形； (4)，； (5)，关于x的方程有实根. 考点七．充要条件的证明 例7（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）是成立的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件 7-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 7-2（23-24高一上·上海·期中）下列命题中，真命题的数量为（    ） ①已知，则是偶数是是偶数的充要条件 ②如果，那么除以4的余数为0或1 ③如果，那么x与y同号或x，y至少有一个为0 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 7-3（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①④ 考点八．探求命题为真的充要条件 例8（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 8-1（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 8-2（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意、、，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要非充分条件； ④“”是“”的充分非必要条件. 其中真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8-3（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 考点九．既不充分也不必要条件 例9（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）设为全集，是的子集，则“存在集合使得”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 9-1若a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 9-2（24-25高一上·上海·期中）已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 9-3（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（判断命题的必要不充分条件）（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．（判断命题的必要不充分条件）（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（判断命题的充分不必要条件）若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（判断命题的充分不必要条件）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（判断命题的充分不必要条件）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（判断命题的充分不必要条件）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（判断命题的充分不必要条件）（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 8．（根据充分不必要条件求参数）（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 1．（取整函数）（23-24高三上·河南焦作·开学考试）用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要 2．（根据充分不必要条件求参数）（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 3．（探求命题为真的充要条件）（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 4．（必要条件的判定及性质）（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$