第二十一章一元二次方程同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 同步练 一、单选题 1．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，， 3．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 4．关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． 且 C． D． 5．设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 6．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（   ） A． B． C． D． 7．关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B． C．3 D．以上都不对 8．用配方法解方程，配方正确的是（    ）． A． B． C． D． 9．已知、是一元二次方程两个不同的根．若，，则（    ） A．c和都小于 B．c和至少一个小于 C．c和都大于 D．c和至少一个大于 10．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题 11．当 时，关于的方程是一元二次方程． 12．若是关于的一元二次方程的两个根，则 13．已知满足，则当最大时，的值为 ． 14．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是 ． 15．如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 三、解答题 16．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 17．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变． (1)求年平均增长率； (2)求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？ 18．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 19．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值； (3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值． 20．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十一章 一元二次方程 同步练2025—2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D C A B C B A 1．A 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是，即可得出这个两位数是36或63． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根，可得，由此可得出m的取值范围． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为， 关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根， ， 解得， 解得， 解得， 解④得，当时，恒成立， m的取值范围是， 故选：D． 5．C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用．解题的关键是理解连续两次降价的含义，根据原价、降价百分率和现价之间的关系列出方程． 分析商品降价过程：原价为每件元，平均每次降价的百分率为x，第一次降价后价格为元；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后价格为元，而现价为元，由此可列出方程． 【详解】解：已知商品原价为每件元，平均每次降价的百分率为x． 第一次降价后，商品价格为元； 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后，商品价格为元． 又因为经过连续两次降价后，售价为每件元， 所以可列方程为． 故选：A． 故选A． 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程0是一元二次方程， 所以 ， 解得． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到b，c与，的关系，通过假设法，推导出A、C错误，此时可假设只有一个大（小）于，即，设出一对符合要求的，求出的大小，即可求解． 【详解】解：、是二次方程两个不同的根， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故C错误； 假设，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，与产生矛盾， 所以假设不成立， 故A错误； ∵B. c和至少一个小于，D. c和至少一个大于 ∴可假设只有一个大（小）于，即另一个等于， 设， ∵ ∴可设， 此时， ， 故选：B. 10．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 12．7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程两根之和等于直接解答即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：7． 13．3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是掌握根的判别式． 根据题意转换成关于的一元二次方程，根据根的判别式求出的最大值，求出的值，再分别求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 将上式看作关于的一元二次方程，且为实数， ∴， 整理得， 当时最大， 此时或， 当时，代入得， ， 解得， ∴； 当时，代入得， ， 解得， ∴； ∴的值为3． 14． 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据不同情况表示出四边形的面积，进而列出方程求解． 分三种情况讨论，分别用含时间t的式子表示出相关线段长度，再根据四边形面积与三角形面积的关系列出方程求解． 【详解】解：①当P在线段上，Q在线段上时， ， ， ， 得（舍去）； ②当P在线段上，Q在线段延长线上时， ， ，得； ③当P在线段的延长线上，点Q在线段延长线上时， ， ， 解得，都不符合题意，舍去， 综上：或． 故答案为：或． 16．(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围； （2）由根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：由根与系数的关系可知：，， ∴， ∴或， ∵； ∴． 17．(1) (2)125 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据该品牌汽车2008年及2010年的年产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该品牌汽车2011年的年产量2010年的年产量（增长率），即可求出结论． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x， 依题意，得， 解得：（不合题意，舍去）． 答：年平均增长率为． （2）解：（万辆）． 答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆． 18．(1)普通票每张为元，票的每张为元 (2) 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 19．(1)； (2)； (3). 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“快乐方程”、“快乐数”的定义探索、之间的关系. 根据“快乐数”的定义计算，即可得到结果； 因为关于的一元二次方程是“快乐方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知； 整理可得：，可知当，时有最小值，最小值为，又因为两个方程的“快乐数”相等，所以有，整理可得：， 分情况求出、的值，然后根据的值分情况讨论，即可得到结果. 【详解】（1）解：中，，，， ， 故答案为：； （2）解：关于的一元二次方程是“快乐方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， 或， 当时，， 当时，， 是完全平方数，不是完全平方数， ； （3）解：一元二次方程的快乐数为： ， 一元二次方程的快乐数为： ， 两个方程的快乐数相等， ， 整理得：， 左边分解因式得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 要取最小值， 当，时有最小值，最小值为， 此时，， ， 不符合题意， 当，或，时，有最小值， 最小值为， 当，时， 方程中， 方程中， 是完全平方数， 符合题意； 当，时， 方程中， 方程中 是完全平方数， 符合题意． 的最小值是． 20．(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $