第1章一元二次方程 同步达标测试题 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2025-2026学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（   ） A． B．5 C．4 D． 3．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2025 C．2030 D．2035 7．宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户，设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知实数满足，则的值为 ． 10．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 11．已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 12．若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 13．已知：m、n是方程的两根，则 ． 14．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 15．已知关于x的一元二次方程的两个根恰好分别是直角的两边长，则的面积为 ． 16．新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 ． 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1)； (2)； (3)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 19．已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 20．【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 21．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 22．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门． (1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ (2)为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 23．如图，中，，，，动点从点出发以/s速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：______________________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 24．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式． (1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？ 参考答案 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，并且未知数的指数最高是的整式方程是一元二次方程，逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是掌握一元二次方程的一般形式． 根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可． 【详解】解：∵一元二次方程化为一般形式后，常数项为， ∴一般形式为， ∴一次项系数是， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，并能灵活运用是解决此题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 又∵是方程的根， ∴， ∴ ， 故选 D． 5．D 【分析】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 6．解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2025， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据2023年注册用户及2025年注册用户，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为，则2024年用户数为，2025年用户数为， 根据2025年用户数为80万，得方程， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键． 设门对角线长为尺，表示出门高和门宽，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：∵设门对角线长为尺， ∴竿的长度为尺，门高为尺，门宽为尺， 根据题意得：， 故选：A． 9．2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 10．4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由题意可得，，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键．根据一元二次方程有两个同正的实数根，利用一元二次方程根的判别式以及根和系数的关系，得到，，，求出m的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有两个的实数根， ， ， 两个实数根同正， ，， ， m的取值范围是是． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系； 首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，求出，用整体代入法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，， ，， ， ∴ ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的含义，根与系数的关系，求解代数式的值．根据m、n是方程的两根，即可得到，，，，从而得到，，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ； 故答案为：3． 14．， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 15．6或10 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，也考查了三角形的面积．先利用因式分解解方程得到或，再讨论：当斜边为5时，利用勾股定理计算出另一条直角边的长度，然后计算此时三角形的面积；当直角边为5时，直接计算三角形的面积． 【详解】解：， ∴， ∴或， 当斜边为5时，另一条直角边的长度为， 所以的面积， 当直角边为5时，的面积， 综上所述，的面积为6或10． 故答案为：6或10． 16． 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 设应邀请x支球队参赛，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，根据题意得： ． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键． （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）先化简原方程，再用因式分解法解方程即可； （3）先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， 或， ； （3）， ， ， ， ． 18．(1) (2)，另一个根为 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）把方程的一个根为代入求出m，然后利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为． 19．(1)当时，方程的解为，， 当时，方程的解为， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键． （1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程； （2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积． 【详解】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 20．材料理解：，；类比运用：①见解析；② 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 材料理解：根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； 类比运用：①证明即可；②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； 类比运用： ①证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 解得：． 21．(1)证明见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用． （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． （2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． （3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， （3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 22．(1)所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为 (2)矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为，根据等量关系列出方程即可求解； （2）首先求出矩形的另一边长为，然后根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为， 依题意得：， 解得：，， ， ， ∴， 答：所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为； （2）解：∵以房墙的长为矩形猪舍一边的长， ∴矩形的另一边长为 ∴（元）． 答：矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元． 23．(1) (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，勾股定理、一元二次方程的求解． （1）根据路程=速度×时间，即可求解； （2）由题意得：的面积等于三角形的面积的．分别表示出的面积和三角形的面积即可求解； （3）利用勾股定理建立方程，进而判断方程是否有解，即可求解． 【详解】（1）解：根据路程=速度×时间得： ， 则 故答案为： （2）解：∵的面积等于四边形的面积的 ∴的面积等于三角形的面积的 ∴ 即 解得： 即当t为 时，的面积等于四边形的面积的； （3）解：不可以，理由如下： 若，由勾股定理得： 整理得： ∵ ∴原方程无解，的长不可以是4． 24．(1)若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元 (2)该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）表示出，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列出一元一次不等式并结合题意可得，求出，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵公司希望该产品第一年的利润为20万元， ∴， 解得：， ∴若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元； （2）解：∵受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴， ∴， ∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， ∴， 由题意可得：， ∵该公司第二年的利润W2为90万元时， ∴， 整理可得：， 解得：，， 故该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元． 学科网（北京）股份有限公司 $