专题01 一元二次方程 4大高频考点（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 一元二次方程的解法 考点03 一元二次方程的根与系数关系 考点04 一元二次方程的应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，排除； B. 右边为分式，不是整式方程，排除； C. 整理为 ，是只含未知数的整式方程，且最高次数为2，符合定义； D. 化简后为 ，是一元一次方程，排除； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．若添加，是一元一次方程；     B．若添加，是一元一次方程； C．若添加，是一元二次方程；     D．若添加，含2个未知数，不是是一元二次方程； 故选C． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程即可． 【详解】解：A．∵原方程可整理得，未知数的最高次数是1， ∴方程不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．∵方程含有两个未知数， ∴方程不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．方程是一元二次方程，选项C符合题意； D．∵方程不是整式方程， ∴方程不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程．据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元二次方程，本选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、未知数最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、未知数的次数为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、该含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，关键是首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A．，最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； C．，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； D．是一元二次方程，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 10．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程整理，得：，不含有二次项，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义：一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．根据方程是一元二次方程，可得且，求出结果即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把代入一元二次方程，可得，然后代入原式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：2025． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】此题主要考查由一元二次方程的根求代数式的值．首先将代入方程，得出，然后转换所求代数式即可得解． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴，即， ∴， 故答案为：2024． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根；根据一元二次方程的解的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个实数根是， ， ， 的值是， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把代入，得，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 则． 故答案为：2025． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义得到，代入变形后的式子，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）一元二次方程 的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则一次项系数为． 故答案为：． 地 城 考点02 一元二次方程的解法 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，移项，配方，变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：，， ∴丁同学计算正确， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A．12 B．11 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∵， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．首先将方程的常数项移到等号右边得到，方程两边同时加上9，再利用完全平方公式配方即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(  ) A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元一次方程的定义；先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方在，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤是解本题的关键． 根据配方法解题步骤：先移项、把二次项系数化为1，然后利用完全平方公式配方，即可作出判断． 【详解】解：， 方程移项得， 配方得，即． 故选：D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴， ∴为， ∴， 配方，得，即， 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 10．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)无解； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． 根据一元二次方程根的判别式可知方程无解； 利用公式法解一元二次方程； 利用平方差公式分解因式，可得：，可得两个关于的一元一次方程，解一元一次方程求出一元二次方程的解； 利用完全平方公式分解因式可得：，两边同时开平方求出方程的根． 【详解】（1）解：， 其中，，， ， 方程无解； （2）解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； （3）解：， 用平方差公式分解因式得：， 整理得：， 可得：或， 当时，， 当时，， 方程的解为，； （4）解：， 移项得：， 利用完全平方公式分解因式得：， 解得：． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： 化为一般式得， 则， ∴， ∴， 解得． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，可以通过配方法求出即可； （2）先整体移项，然后分解因式，即方程左边可得出两个一元一次方程相乘，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或 14．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）利用因式分解即可求解． （2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 配方得，即， 开方得， 解得． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）可得，，，求出利用公式法求解即可； （2）因式分解得的形式可得或，即可求解； 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解： ， 或， ，． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再用配方法解方程即可； （2）先移项，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ， ，． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）直接利用因式分解法解方程； （2）先将原方程变形为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，计算即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 则它的另一个根是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系．用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵总有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵n是正整数， ∴，2，3，4，5，6， ∵方程是“倍根方程”， ∴3能被整除或能被3整除， ∴或5． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再根据，，即可得出答案． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，， ，， ，， ∴方程两个根分别是，． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）方程的两根为、，则（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：移项得：， ∵方程的两根为、， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的两根为，，得，，得到方程为，于是得到的两个根均为正数，建立不等式组，求不等式组的解集，判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，根的判别式，不等式组的解法，熟练掌握定理，根的判别式，正确解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴方程为， ∵的两个根均为正数，设两个根为： ∴， 解不等式组，得， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）有两个一元二次方程A：，B：，其中，下列四个结论中，错误的是（   ） A．如果方程A有两个不相等的实数根，那么方程B也有两个不相等的实数根 B．如果方程A两根符号相同，那么方程B的两根符号也相同 C．如果2是方程A的一个根，那么是方程B的一个根 D．如果方程A和方程B有一个相同的根，那么这个根必是1 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 根据A、B两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“和符号相同”，即可得出B正确；将代入方程A中，方程两边同时除以4即可得出是方程的一个根，C正确；用方程A方程B，可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值，从而得出D错误．综上即可得出结论． 【详解】解：A、在方程中，在方程中， 如果方程A有两个不相等的实数根，那么方程B也有两个不相等的实数根，故正确； B、根据一元二次方程根与系数的关系可知：一元二次方程A、B的两根之积分别是和，因为它们符号相同， 如果方程A有两根符号相同，那么方程B的两根符号也相同，故正确； 、∵2是方程A的一个根， ， ， 是方程B的一个根，正确； D、得：，即， ， ，解得：，故错误． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为m，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为；． 8．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】4049 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握根与系数关系是解题的关键．先由根与系数的关系求出，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ， 故答案为：4049． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若一元二次方程的两根为、，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解．根据根与系数的关系得，，则，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：3． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可知，再代入得出答案． 【详解】∵是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：1． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知是方程的两根，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用进行求解即可． 【详解】解：是方程的两根， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， ． 故答案为：7． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式． 故答案为：7． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为m，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为m， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点； 【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：； 【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？ 【答案】（1）图见解析；（2），；（3），， 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、解一元二次方程、解一元高次方程，得到点P坐标规律，以及利用类比方法求解是解答的关键． （1）根据题中叙述画出图形即可； （2）先由（1）中画图过程得到点P在的平分线上，则，原方程化为，然后解方程即可求解； （3）类比一元二次方程中根与系数的推导过程求解即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）根据作图过程，点P在的平分线上，又点在第一象限内， ∴， ∴方程化为，即， 解得，； （3）由于一元三次方程存在三个根、、， ∴把方程可以写为， 整理，得， ∴，，， 解得：，，． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系以及根与系数的关系是解答的关键． （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； （2）解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，于是根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，再利用得到关于m的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程总有实数根； （2）解：由题意得， ∴， ∴， 解得． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若是该方程的两个根，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可； （2）根据根与系数的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故无论k为何值，方程总有实数根； （2）解：由题意可得：，， ， ，， ， 解得，． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 【答案】(1)是 (2)或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）首先求出方程的根，再根据倍根方程的定义即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）， ， 解得， 是的2倍， 一元二次方程是倍根方程． （2）， 解得， 是“倍根方程”， 或， 或． （3）设与是方程的解， ，， 即，， ， 整理得． 地 城 考点04 一元二次方程的应用 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解∶方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积∶， 其边长为7因此，D选项所表示的图形符合题意， 故选∶D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积、一元二次方程，学会利用圆和正方形的面积公式找到等量关系列出方程是解题的关键．由题意得，圆面积是正方形面积的9倍，即可列出方程． 【详解】解：设圆的半径为x cm，则圆面积是， 由题意得，． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 依题意得： 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据长与宽之间的关系，可得出长为，结合一张纸的面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长比宽多，设它的宽为， 长为， 根据题意得：． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到1640个红包，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米，根据停车位总占地面积为288平方米，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 即车道的宽度为6米． 故答案为：6． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）低空经济是苏州近年来重点发展的战略性新兴产业之一．据统计，今年第季度低空飞机航线安全运行了架次，预计第季度低空飞机航线安全运行将达到架次．设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第、第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，且第季度低空飞机航线安全运行将达到架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为， 根据题意可得：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若一个矩形的两边长相差 2，且面积为 80，则较短边的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2，根据面积为80列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设矩形较短边的长是x，则较长边的长是x+2， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以较短边的长是8． 故答案为：8． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均降价的百分率为x，则9月份的价格为万元/辆，10月份的价格为万元/辆，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1) (2)①；②6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可； ②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件． (1)如果衬衫的单价降了元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元二次方程的应用， （1）根据题意“每天可售出件”和“假设在一定的范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件”，得到答案； （2）设衬衫的单价降了元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：依题意，当单价降了元时，盈利为(元)， 答：这批衬衫每天盈利元． （2）解：设衬衫的单价降了元．由题意得： ， 解得：，， 要尽快减少库存， ， 答：衬衫的单价降了元． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】(1) (2)参加活动的学生人数为18人 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． （2）解：设参加活动的学生人数为人， ∵， ∴， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 【答案】(1) (2)小明的建议的方案对购买者更优惠，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次下调的百分率为x，根据服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出小明建议的方案价格，再比较即可． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）， 答：平均每次下调的百分率为； （2）解：小明的建议的方案对购买者更优惠，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴小明建议的方案对购买者更优惠． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【分析】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误． （2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可． 【详解】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． （2）解：平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）某运动器材经销商销售品牌羽毛球拍，此种羽毛球拍的进价为元/只，经测算，当售价为元/只时，月销售量为只，若在此基础上售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． (1)当售价为元/只时，月销售量为__________只． (2)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌羽毛球拍的实际售价应定为多少元/只？ 【答案】(1) (2)该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得当售价为元/只时，月销售量为只； （2）设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只，，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． ∴当售价为元/只时，月销售量为只， 故答案为： （2）解：设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只， ， 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 故：该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)花圃的长与宽边分别为9米和5米 (3)建成花圃的面积不可能为60平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了满足日益增长的高品质蔬菜市场需求，促进蔬菜产业发展，带动农民增收，某市建立了一个有机蔬菜基地，并提供了如下信息： 信息1：年基地计划将亩土地全部用来种植甲、乙两种有机蔬菜，甲种蔬菜的种植面积不少于亩，乙种蔬菜的种植面积不少于亩． 信息2：甲种蔬菜每亩的种植成本（元）与其种植面积（亩）之间满足函数关系，乙种蔬菜每亩的成本为元． 请根据以上信息，解答下面的问题： (1)若甲种蔬菜种植成本为元，求乙种蔬菜的总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元？ 【答案】(1)乙种蔬菜的总种植成本为元； (2)甲种蔬菜的种植面积为亩，乙种蔬菜的种植面积为亩，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式． （1）先将代入，得出，再求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可； （2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为元，得出，求出的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于亩，乙种蔬菜种植面积不少于亩，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 乙种蔬菜的种植面积为（亩）， （元）， 答：乙种蔬菜的总种植成本为元； （2）根据题意可得：， 解得：，， ，， 解得：， 不合题意舍去， ，乙种蔬菜的种植面积为（亩）， 甲种蔬菜的种植面积为亩，乙种蔬菜的种植面积为亩，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元． 20．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准： 一单位组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社旅游费元． 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加人，人均收费降低元，但人均收费不低于元 请问： (1)该单位去该风景区旅游的人数是否超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？ 【答案】(1)单位去风景区旅游人数超过人 (2)该单位去风景区旅游人数为人 【分析】本题考主要查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算； （1）求出当人时的旅游费用，再比较即可； （2）设该单位去风景区旅游人数为人，则人均费用为元，根据共支付给旅行社旅游费用元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当人时，旅游费用为：元， ， 该单位去风景区旅游人数超过人； （2）设该单位去风景区旅游人数为人，则人均费用为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去； 当时，人均旅游费用为，符合题意； 答：该单位去风景区旅游人数为人． 21．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 【答案】解决问题：长方形两边长为6米和13米；方案设计：见解析 【分析】本题考查作图-应用与涉及作图，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 解决问题：设垂直于墙面的一边长米，根据题意得，即可解得答案； 设计方案：求出长方形的长，宽，再作图即可． 【详解】解：解决问题：设垂直于墙面的一边长米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得：， 解得：或； ∴（大于8，舍去）或， ∴垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 设计方案：设垂直于墙面的一边长米，平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得：或， ∴垂直于墙面的一边长9米，平行于墙面的一边为11米或垂直于墙面的一边长11米，平行于墙面的一边为9米； 画出一种方案如图： 试卷第1页，共3页 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 一元二次方程的解法 考点03 一元二次方程的根与系数关系 考点04 一元二次方程的应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 13．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 14．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若是一元二次方程的一个根，则 ． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知方程的一个根为，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 19．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）一元二次方程 的一次项系数是 ． 地 城 考点02 一元二次方程的解法 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A．12 B．11 C．10 D．8 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(  ) A． B． C．且 D． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方在，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2)（公式法） 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程 (1) (2) 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)； 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程： (1)； (2) 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）方程的两根为、，则（   ） A．6 B． C．3 D． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）有两个一元二次方程A：，B：，其中，下列四个结论中，错误的是（   ） A．如果方程A有两个不相等的实数根，那么方程B也有两个不相等的实数根 B．如果方程A两根符号相同，那么方程B的两根符号也相同 C．如果2是方程A的一个根，那么是方程B的一个根 D．如果方程A和方程B有一个相同的根，那么这个根必是1 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 8．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若一元二次方程的两根为、，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知是方程的两根，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为m，则的值为 ． 三、解答题 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点； 【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：； 【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？ 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若是该方程的两个根，且，求k的值． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系． 地 城 考点04 一元二次方程的应用 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为 米． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）低空经济是苏州近年来重点发展的战略性新兴产业之一．据统计，今年第季度低空飞机航线安全运行了架次，预计第季度低空飞机航线安全运行将达到架次．设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则可列方程为 ． 10．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若一个矩形的两边长相差 2，且面积为 80，则较短边的长是 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件． (1)如果衬衫的单价降了元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）某运动器材经销商销售品牌羽毛球拍，此种羽毛球拍的进价为元/只，经测算，当售价为元/只时，月销售量为只，若在此基础上售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． (1)当售价为元/只时，月销售量为__________只． (2)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌羽毛球拍的实际售价应定为多少元/只？ 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了满足日益增长的高品质蔬菜市场需求，促进蔬菜产业发展，带动农民增收，某市建立了一个有机蔬菜基地，并提供了如下信息： 信息1：年基地计划将亩土地全部用来种植甲、乙两种有机蔬菜，甲种蔬菜的种植面积不少于亩，乙种蔬菜的种植面积不少于亩． 信息2：甲种蔬菜每亩的种植成本（元）与其种植面积（亩）之间满足函数关系，乙种蔬菜每亩的成本为元． 请根据以上信息，解答下面的问题： (1)若甲种蔬菜种植成本为元，求乙种蔬菜的总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜的总种植成本为元？ 20．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准： 一单位组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社旅游费元． 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加人，人均收费降低元，但人均收费不低于元 请问： (1)该单位去该风景区旅游的人数是否超过人？ (2)该单位这次共有多少员工去该风景区旅游？ 21．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$