精品解析：陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题

数学限时作业 一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.69 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ） A. 0.65 B. 0.70 C. 0.75 D. 0.69 4. 在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的有（ ） A. 三角形的三条高所在的直线交于一点 B. 内错角相等 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的线段，叫作这条线段的垂直平分线 8. 如图所示，、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按相同的路线从地出发驶往地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午时间之间的关系．根据图中提供的信息，判断下列说法正确的是（ ） A. 甲在整个骑行过程中的平均速度为10千米/时 B. 甲比乙早出发2小时 C. 乙出发后0.5小时追上了甲 D. 乙骑摩托车的速度为千米/时 9. 如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 10. 如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ） A. 48 B. 40 C. 36 D. 32 二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分） 11. 在实数，，，，中，无理数有______个． 12. 的立方根是__________． 13. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 14. 已知为实数，且，则的化简结果为______． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 16. 如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形周长的最小值是______． 三、解答题（共8题，合计52分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值： ，其中，． 19. 如图，在四边形内部作一点，使得，并且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）． 20. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 21. 如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形． 求证：． 22. 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少．该游泳池的存水量变化情况如下表： 放水时间（小时） 1 2 3 4 5 6 7 存水量（立方米） 858 780 702 624 546 468 390 （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）根据上表反映的规律写出与之间的关系式为______（不要求写出的取值范围）； （3）放水11小时后，该游泳池内还有存水吗？放水13小时呢？ 23. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）求的长． 24. 【问题解决】 （1）如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 （2）如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连接，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连接，为中点，且，在同侧，连接，．若，，，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学限时作业 一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2. “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦”．每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞的柳絮所烦扰．据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小数时的形式为 ，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0 的数字后面即可，确定n的值时，n等于该数从左起第一个不为0的数字前所有0的个数． 【详解】解：0.0000105 ， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的方法． 3. 某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.69 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ） A. 0.65 B. 0.70 C. 0.75 D. 0.69 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 【详解】解，由表格可知：这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是0.70； 故选B． 4. 在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则， ∴是直角三角形，故 A 选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C． 6. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7. 下列说法中，正确的有（ ） A. 三角形的三条高所在的直线交于一点 B. 内错角相等 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的线段，叫作这条线段的垂直平分线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高线，内错角，点到直线的距离，垂直平分线，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的三条高所在的直线交于一点，原说法正确，符合题意； B、内错角不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 8. 如图所示，、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按相同的路线从地出发驶往地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午时间之间的关系．根据图中提供的信息，判断下列说法正确的是（ ） A. 甲在整个骑行过程中的平均速度为10千米/时 B. 甲比乙早出发2小时 C. 乙出发后0.5小时追上了甲 D. 乙骑摩托车的速度为千米/时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一元一次方程的应用，解题的关键是正确识别函数图象，根据图象获取需要数据． 用总路程除以甲、乙的总时间，即可求出甲、乙的速度，由图象可判断甲比乙早出发1小时，求出甲在段时的速度，设乙出发t小时后追上甲，根据追上甲时，两人路程相同，列出方程求解即可． 【详解】解：甲在整个骑行过程中的平均速度，故A错误； 根据题意得，甲比乙早出发小时，故B错误； 乙骑摩托车的速度，故D错误； 甲在段时的速度， 设乙出发t小时后追上甲， 根据题意得，， 解得，， ∴乙出发后0.5小时追上了甲，故C正确． 故选：C． 9. 如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：C 10. 如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（ ） A. 48 B. 40 C. 36 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分） 11. 在实数，，，，中，无理数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个之间增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：，，是有理数， ，是无理数，共有个， 故答案为：． 12. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 13. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 14. 已知为实数，且，则的化简结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握绝对值和二次根式的性质是解答此题的关键． 根据绝对值和二次根式的性质结合题意化简即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ， 故答案为：． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 16. 如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称结合图形周长最小问题，勾股定理，解题的关键是利用轴对称确定动点的位置．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则：，进而得到，进而得到四点共线时，最小，此时四边形周长最小，勾股定理求出的长，再加上的长即可得解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则：， ∴， ∴四点共线时，最小， 此时四边形的周长最小为， ∵正方形的边长为6，， ∴， 由对称性可知：， ∴， ∴， ∴四边形周长最小的最小值为：； 故答案为：． 三、解答题（共8题，合计52分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式混合运算； （1）先进行负指数幂、零次幂、去绝对值运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行二次根式乘除运算，并把二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算的法则和运算顺序，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 19. 如图，在四边形内部作一点，使得，并且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 解：如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作线段垂直平分线和角平分线，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定以及角平分线的判定定理．要使得，则点在线段的垂直平分线上；要使得点到两边的距离相等，则点在的角平分线上；分别作出线段的垂直平分线和的角平分线，交点即为点． 【详解】略 20. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 【答案】（1）随机事件 （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率计算，事件的分类，理解题意是解答的关键． （1）根据事件的分类求解即可； （2）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴摸出的球是白球是随机事件， 故答案为：随机事件； 【小问2详解】 ∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴任意摸出一个球是黑球的概率是； 【小问3详解】 根据题意得， ， 即 解得． 21. 如图，点、、在同一直线上，和都是等边三角形． 求证：． 【答案】 证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，涉及等边三角形性质、全等三角形判定与性质，熟练掌握手拉手模型证全等是解决问题的关键． 根据题意，由“手拉手”模型求证，结合全等三角形的性质及等边三角形的性质即可得证． 【详解】略 22. 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少．该游泳池的存水量变化情况如下表： 放水时间（小时） 1 2 3 4 5 6 7 存水量（立方米） 858 780 702 624 546 468 390 （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）根据上表反映的规律写出与之间的关系式为______（不要求写出的取值范围）； （3）放水11小时后，该游泳池内还有存水吗？放水13小时呢？ 【答案】（1）放水时间，游泳池的存水量 （2） （3）放水11小时后，该游泳池内还有存水；放水13小时，该游泳池内没有存水 【解析】 【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识； （1）根据题中表格信息即可完成； （2）根据表格可知排水孔以每小时 78 立方米的速度放水，根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式； （3）令和，分别计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量， 故答案为：放水时间，游泳池的存水量； 【小问2详解】 解：根据题意每小时放水78 立方米，则与的函数关系式为． 【小问3详解】 解：令，则， 令，则， 故放水11小时后，该游泳池内还有存水；放水13小时，该游泳池内没有存水． 23. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：垂直平分，， ． 在中，，，， ， ，即． （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而可得，在中，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ． 即的长为． 24. 【问题解决】 （1）如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 （2）如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连接，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连接，为中点，且，在同侧，连接，．若，，，则的面积为______． 【答案】（1） （2）解：为等腰直角三角形，理由： 延长至点，使得，连接，， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∵M为中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 又， ， ，， 又， ， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 为等腰直角三角形； （3）28 【解析】 【分析】（1）延长至点D，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围； （2）延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证； （3）延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，进而得到为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理推出，进而推出三点共线，，求出的长，根据平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，得到，三角形的中线求出的面积即可． 【详解】解：（1）延长至点D，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，，即：， ， ， ； （2）略 （3）如图，延长至点，使得，连接，，， 为中点，同上可得， ，，， 设， ， ∵， ， ，，， 同理可得， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形，， ∴， ∴，且三点共线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是：熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $