精品解析：湖南省湘西州龙山县2023年5月中小学学科能力创新大赛九年级数学试题

龙山县2023年中小学学科能力创新大赛 九年级数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分150分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 海底捞月是必然事件 B. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 C. 为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查 D. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．抽样调查：抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现；若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 海底捞月是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； B.明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故该选项不正确，不符合题意； C. 为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，范围广，适合采用抽样调查，故该选项不正确，不符合题意； D. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，抽样调查与普查，根据方差判断稳定性，熟悉定义是解题的关键． 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给几何体判断即可． 【详解】解：从正面看，所看到的图形是： 故选：D． 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可． 【详解】3出现次数最多， 众数是3； 把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6， 4位于第四位， 中位数为4； 故选：A． 【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 4. 已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，先求出，得到点M的坐标，然后求出关于原点对称的点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴点， ∴点M关于原点对称的点的坐标是； 故选：D 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 5. 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可． 【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 所以面积变小了， 故选C． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键． 6. 如图，某数学兴趣小组将边长为2的正六边形铁丝框变形为以点为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 （阴影部分）的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由正六边形的性质得出的长=8，由扇形的面积=弧长×半径，即可得出结果． 【详解】∵正六边形ABCDEF的边长为2， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=2， ∴的长=2×6-2-2=8， ∴扇形ABF（阴影部分）的面积=． 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2． 【详解】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0）， ∵点C为斜边OB的中点， ∴C（，）， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C， ∴k＝＝， ∵∠OAB＝90°， ∴D的横坐标为m， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D， ∴D的纵坐标为， 作CE⊥x轴于E， ∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝， ∴（AD+CE）•AE＝，即（）•（m﹣m）＝， ∴＝1， ∴k＝＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE-S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键． 8. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于（　　） A. 50° B. 30° C. 20° D. 15° 【答案】C 【解析】 【分析】如图，首先运用平行线的性质求出∠4，然后借助三角形的外角性质即可求出∠3的度数． 【详解】解：由题意得：∠4＝∠2＝40°； 由外角定理得：∠4＝∠1+∠3， ∴∠3＝∠4﹣∠1＝40°﹣20°＝20°， 故选C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平行线的性质，解题的关键是牢固掌握三角形外角的性质、平行线的性质． 9. 如图，△ABC中，AC＝BC，点P为AB上的动点（不与A，B重合）过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F设AP的长度为x，PE与PF的长度和为y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用S△ABC＝S△PCA+S△PCB＝AC×PEPF×BC，即可求解． 【详解】解：连接CP，设AC＝BC＝a（a为常数）， 则S△ABC＝S△PCA+S△PCB＝AC×PEPF×BC＝a（PE+PF）＝ay， ∵△ABC的面积为常数，故y的值为常数，与x的值无关． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题的关键是将△ABC的面积分解为△PCA和△PCB的面积和． 10. 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感都相同，只有红、蓝、黄、白、绿五种颜色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有2人取的球的颜色完全相同，由此可知参加取球的人至少有（ ） A. 10人 B. 11人 C. 15人 D. 16人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽屉原理的实际应用，解题的关键是理解“最不利原则”，即考虑在最不利的情况下需要参加取球的人数，以此确定保证满足条件的最少取球的人数．​ 先求出取两个球，所有颜色组合的不同情况，最不利情况是先取球人的颜色组合完全不相同，再取1次就一定有球的颜色完全相同，因此参加取球的人至少有所有颜色组合的不同情况加1．​ 【详解】解：摸出两个球，颜色不同的情况有种，颜色相同的情况有5种，共有种不同情况， 故由抽屉原理知至少有16人参加摸球时，就能保证有2人摸出的两球的颜色完全相同． 故选：D． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0， 故答案为x≥-1且x≠0． 12. 去年某校人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数大约有____________名． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出该校考生的优秀率，再根据该校的总人数，即可求出答案． 【详解】解：该校考生达到优秀的人数大约有（人）， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是根据样本求出优秀率，运用了样本估计总体的思想． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相同的实数根，则m的值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用此方程是一元二次方程求得m的值，再利用有两个相同的实数根，由Δ=0求得m的值，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，解得：， ∵关于x的方程有两个相同的实数根， ∴， 解得：， ∴m的值为3， 故答案为：3 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念及根的判别式，中考中一元二次方程根的判别式的考查比较多，同学们应熟练掌握． 14. 一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一次函数的图象过点，且随的增大而增大，可知且，然后即可求得的值． 【详解】解∶一次函数的图象过点， 解得， 随的增大而增大， ， ， 故答案为：2 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 15. 如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝_____度． 【答案】87 【解析】 【分析】连接OO'，根据切线的性质得到AB⊥OB，根据旋转变换的性质得到OB＝OO'，根据等边三角形的性质得到∠OBO'＝60°，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：连接OO'， ∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴AB⊥OB， 由旋转的性质可知，∠O'BA'＝∠OBA＝90°，BO＝BO'， ∵OB＝OO'， ∴OB＝O'B＝OO'， ∴△OBO'为等边三角形， ∴∠OBO'＝60°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝27°+60°＝87°， 故答案为：87． 【点睛】本题考查了切线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题关键 16. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数为_____个． 【答案】552 【解析】 【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：孩子出生后的天数为1×73+4×72+1×7+6=552 故答案为552． 【点睛】本题考查了“满七进一”，以“古代结绳”为背景，按满七进一计算孩子出生后的天数，运用类比的方法，根据图中的数字列式计算． 17. 一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式和切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用切线的性质和弧长公式解题即可． 【详解】解：由题意得：和分别与相切于点和点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴劣弧的长为：． 故答案为： ． 18. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，， 中， PQ+QC的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键． 19. 仔细阅读以下内容解决问题：偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用．我们以“求的最小值”为例给同学们介绍： 先介绍求导公式：（a为常数）．令，且（的意思是关于a求导，把a看作变量，把b看作常数）时，解得，代入可得，即为最小值．同学们，以上内容很有挑战性，确保读懂后解答下面的问题：函数的最小值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意所述可得出求导的规则，然后分别令求导得出的式子为零，求出两个未知数的值，继而代入可得出s的最小值． 【详解】解：由题可知：，， 令，， 解得：，， 将，，代入可得：． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查的是多元函数的最值，仔细阅读材料，理解材料的意思并正确的进行运用是解题的关键． 20. 如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形的对称中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为________． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合三角形全等的判定与性质，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为个阴影部分的和． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， 在△和△中， ， △△， 正方形的边长均为， 四边形的面积四边形的面积， 同理可知，各个重合部分的面积都是1， 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 三、解答题（本大题共8个小题，第21、22题每题5分，第23∼28题每小题10分，共70分） 21. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可． 【详解】解： = =6 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键． 22. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：；数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴； 由②得：， ， ； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示为： 23. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】（1）海岛到灯塔的距离为20海里 （2）还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，据此求出的长度和需要的时间即可． 【小问1详解】 解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）． 答：海岛到灯塔的距离为20海里； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， （小时）． 答：还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短． 24. 某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“经常整理”，B类表示“有时整理”，C类表示“很少整理”，D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据图表提供的信息解答下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为___________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中类别所对应扇形的圆心角度数为__________； （4）类别的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率． 【答案】（1）40；（2）见解析；（3）54；（4） 【解析】 【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用总人数减去其它类别的人数，求出类别C的学生人数； （3）用360°乘以C类别人数所占比例即可得； （4）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出所选取的2名学生恰好都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）参加这次调查的学生总人数为20÷50%=40（人）； 故答案为：40； （2）类别C的学生人数为40-20-10-4=6（人）， 补全统计图如下： （2）类别C所对应扇形的圆心角度数为：360°×=54°． 故答案为：54； （3）根据题意列表得： 男1 男2 男3 女 男1 -- 男2、男1 男3、男1 女、男1 男2 男1、男2 -- 男3、男2 女、男2 男3 男1、男3 男2、男3 -- 女、男3 女 男1、女 男2、女 男3、女 -- 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中都是男生的有6种可能． 所以所选取的2名学生恰好都是男生的概率为． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．还考查了扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键． 25. 某中学在2021年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共70支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1574元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了． （3）张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价不大于10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为_______元． 【答案】（1）钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元； （2）设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70−y）支， 根据题意得：19y＋25（70−y）＝1574， 解得：y＝， 不合题意，即张老师肯定搞错了； （3）4或10 【解析】 【分析】（1）设钢笔得单价为x元，则毛笔单价为（x＋6）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设单价为19元得钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70−y）支，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意列出关系式，根据z，a为整数，确定出a与z的值，即可得到结果． 【详解】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x＋6）元， 由题意得：30x＋20（x＋6）＝1070， 解得：x＝19， 则x＋6＝25， 答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元； （2） 略 （3）设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元， 根据题意得：19z＋25（70−z）＝1574−a，即6z＝176＋a， 由a，z都是整数，且176＋a应被6整除， 经验算当a＝4时，6z＝180，即z＝30，符合题意； 当a＝10时，6z＝186，即z＝31，符合题意， 则签字笔的单价为4元或10元． 故答案为：4或10． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 26. 如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至P，使，垂直于弦，垂足为点B，点D在上． （1）当与相切时，求的度数； （2）当D在上运动时，的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由． （3）设，求与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）为定值，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、圆周角定理的推论、相似三角形的性质、正切的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）当是的切线时，则，再利用直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出结论； （2）连接，是的直径，，证明，∽，进而即可求解； （3）连接，根据题意得出，证明∽，因为，代入即可求解． 【小问1详解】 解：当是的切线时，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：为定值，理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∵， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 解： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形 （2）如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】（1）C （2） ①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②；③或者 【解析】 【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长； ③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． 【小问2详解】 解：略 ① ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形ECHF是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E． ①求； ②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标； （3）点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②存在，或或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①法一：先求出，，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，则是外接圆的直径，设的中点为F，圆心，再根据对称性求出，得到，过E作于H，求出，，解直角三角形得到，，则；法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，同理可得，证明，再由是直径，得到，则；②求出，，，，解直角三角形得到，由于为锐角，要使得与相似，情况1：，根据相似三角形的性质得到或，点P作轴于Q，解直角三角形得到，由勾股定理求出或，进而求出点P的坐标即可情况2：，同理求出或，同理可得或． （3）得抛物线对称轴为直线，取点，证明当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，此时，即可得到，同理可得当取时，是直角三角形，即，再根据锐角三角形的定义即可得到答案． 【小问1详解】 解：将A，B两点坐标直接代入解析式有， 解得，， ∴拋物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①法一：∵抛物线解析式为， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴是外接圆的直径， 设的中点为F， ∴圆心， ∵，， ∴点F在垂直平分线上，即点F的纵坐标于中点的纵坐标相同 ∴， ∴， 过E作于H， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，； 法二：设外接圆与x轴的另一交点为D， 同法一：可得是外接圆的直径，，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． ②，，，， 在中，， 在中， ∴， ∴， 又∵点N在射线上， ∴为锐角，要使得与相似， 情况1：， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴：， 又∵与相似， ∴或 ∴或， ∴或， ∴或， 过点P作轴于Q， ∴，即， 由勾股定理得， ∴或， 解得或， 当时，，则， ∴； 当时，，则， ∴； 情况2：， ∴， ∴， 又∵与相似， ∴或 ∴或， ∴或 ∴或， 同理可得或．…… 综上所述，点P的坐标为或或或． 【小问3详解】 解：由（2）得抛物线对称轴为直线，取点， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上， ∴此时， ∴， 同理可得当取时，是直角三角形，即， ∵为锐角，且， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆综合，解直角三角形，勾股定理与勾股定理得逆定理，相似三角形的性质等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙山县2023年中小学学科能力创新大赛 九年级数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分150分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 海底捞月是必然事件 B. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 C. 为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查 D. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 4. 已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 6. 如图，某数学兴趣小组将边长为2的正六边形铁丝框变形为以点为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 （阴影部分）的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 7. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 1 8. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于（　　） A. 50° B. 30° C. 20° D. 15° 9. 如图，△ABC中，AC＝BC，点P为AB上的动点（不与A，B重合）过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F设AP的长度为x，PE与PF的长度和为y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感都相同，只有红、蓝、黄、白、绿五种颜色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有2人取的球的颜色完全相同，由此可知参加取球的人至少有（ ） A. 10人 B. 11人 C. 15人 D. 16人 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 12. 去年某校人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数大约有____________名． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相同的实数根，则m的值为____________． 14. 一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则m的值为________． 15. 如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝_____度． 16. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数为_____个． 17. 一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是_______． 18. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 19. 仔细阅读以下内容解决问题：偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用．我们以“求的最小值”为例给同学们介绍： 先介绍求导公式：（a为常数）．令，且（的意思是关于a求导，把a看作变量，把b看作常数）时，解得，代入可得，即为最小值．同学们，以上内容很有挑战性，确保读懂后解答下面的问题：函数的最小值为________． 20. 如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形的对称中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第21、22题每题5分，第23∼28题每小题10分，共70分） 21. 计算：． 22. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 23. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 24. 某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“经常整理”，B类表示“有时整理”，C类表示“很少整理”，D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据图表提供的信息解答下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为___________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中类别所对应扇形的圆心角度数为__________； （4）类别的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率． 25. 某中学在2021年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共70支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1574元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了． （3）张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价不大于10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为_______元． 26. 如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至P，使，垂直于弦，垂足为点B，点D在上． （1）当与相切时，求的度数； （2）当D在上运动时，的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由． （3）设，求与之间的函数关系式． 27. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形 （2）如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E． ①求； ②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标； （3）点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $