湖南省湘西州龙山县2023年5月中小学学科能力创新大赛九年级数学试题

龙山县2023年中小学学科能力创新大赛 九年级数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分150分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 海底捞月是必然事件 B. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 C. 为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查 D. 甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是，，则乙的射击成绩比甲稳定 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 4. 已知点在第二象限，且，则点M关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 6. 如图，某数学兴趣小组将边长为2的正六边形铁丝框变形为以点为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 （阴影部分）的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 7. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　） A. 3 B. C. 2 D. 1 8. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠3等于（　　） A. 50° B. 30° C. 20° D. 15° 9. 如图，△ABC中，AC＝BC，点P为AB上的动点（不与A，B重合）过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F设AP的长度为x，PE与PF的长度和为y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感都相同，只有红、蓝、黄、白、绿五种颜色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有2人取的球的颜色完全相同，由此可知参加取球的人至少有（ ） A. 10人 B. 11人 C. 15人 D. 16人 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是___． 12. 去年某校人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩，其中有名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数大约有____________名． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个相同的实数根，则m的值为____________． 14. 一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，则m的值为________． 15. 如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝_____度． 16. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数为_____个． 17. 一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是_______． 18. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 19. 仔细阅读以下内容解决问题：偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用．我们以“求的最小值”为例给同学们介绍： 先介绍求导公式：（a为常数）．令，且（的意思是关于a求导，把a看作变量，把b看作常数）时，解得，代入可得，即为最小值．同学们，以上内容很有挑战性，确保读懂后解答下面的问题：函数的最小值为________． 20. 如图，将边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形的对称中心，则2023个这样的正方形重叠部分的面积和为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第21、22题每题5分，第23∼28题每小题10分，共70分） 21. 计算：． 22. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 23. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 24. 某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“经常整理”，B类表示“有时整理”，C类表示“很少整理”，D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据图表提供的信息解答下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为___________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中类别所对应扇形的圆心角度数为__________； （4）类别的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率． 25. 某中学在2021年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共70支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1574元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了． （3）张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价不大于10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为_______元． 26. 如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至P，使，垂直于弦，垂足为点B，点D在上． （1）当与相切时，求的度数； （2）当D在上运动时，的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由． （3）设，求与之间的函数关系式． 27. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形 （2）如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E． ①求； ②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标； （3）点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围． 龙山县2023年中小学学科能力创新大赛 九年级数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分150分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 【11题答案】 【答案】且 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】87 【16题答案】 【答案】552 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】7 【20题答案】 【答案】2022 三、解答题（本大题共8个小题，第21、22题每题5分，第23∼28题每小题10分，共70分） 【21题答案】 【答案】6 【22题答案】 【答案】不等式组的解集为：；数轴表示见解析 【23题答案】 【答案】（1）海岛到灯塔的距离为20海里 （2）还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短 【24题答案】 【答案】（1）40；（2）见解析；（3）54；（4） 【25题答案】 【答案】（1）钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元； （2）设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70−y）支， 根据题意得：19y＋25（70−y）＝1574， 解得：y＝， 不合题意，即张老师肯定搞错了； （3）4或10 【26题答案】 【答案】（1） （2）为定值，理由见解析 （3） 【27题答案】 【答案】（1）C （2） ①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②；③或者 【28题答案】 【答案】（1） （2）①；②存在，或或或 （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $