精品解析：2025年山东省初中学业水平数学模拟测试卷（B）（山东省统考市专用）

山东省2025年初中学业水平模拟测试（B） （山东省统考地市专用） 本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷3至8页，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 甲、乙两人10次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），则对于甲、乙两人成绩方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有一根等于0 C. 方程两根之和等于0 D. 方程两根之积等于0 7. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，以下是嘉嘉和琪琪两位同学的作法． 嘉嘉： 则四边形菱形 琪琪： 则四边形是菱形 对于嘉嘉和琪琪的作法，可判断（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 嘉嘉和琪琪均正确 D. 嘉嘉和琪琪均错误 8. 如图是一座立交桥示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，，，且米；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米，甲车由A口驶入立交桥，以的速度行驶，从G口驶出用时（ ）秒． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图（1）所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器．机器人在 除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．为研究滚 刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷 的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到如图（2）所示的关系图，规定除尘能力C 超过36%即为及格．则下列说法正确的是（ ） A. 除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B. 除尘能力与滚刷的滚速成正比 C. 当滚速1300转/分时，除尘能力为及格 D. 当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分 10. 小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分．） 11. 若式子有意义，则的取值范围是___． 12. 不等式组的所有整数解的和为____________． 13. 如图，已知点，，一次函数图象经过线段中点，则的值为_____． 14. 如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是______． 15. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是______． 三、解答题：（本大题共7题，第16题8分，第17-19每题10分，第20-21题每题12分，第22题13分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2）先简化，再求值，其中． 17. 某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，选取40名学生开展了一次调查研究，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．2023年体质健康测试成绩统计表如下： 1 1 2 2 4 5 m n 5 2 b．2023年体质健康测试成绩在这一组的是： 83，80，83，81，82，84，82，81 c．2023年体质健康测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 80.25 p 86 d．调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，2022年九年级部分学生的体质健康成绩直方图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值． （2）写出表中p的值． （3）对比2022年和2023年学生的体质健康测试成绩，你能从中得到的结论是______，你的理由是__________． （4）现计划根据2023年的统计数据，安排年级排名在后的同学参加体质加强训练项目，请估计该年级参加训练项目学生的最高分． 18. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程以下是我们研究函数的图象的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）上表是与的几组对应值，则 ______， ______； （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画出的函数图象，请直接写出方程的解______． 19. 如图，内接于，，的延长线交于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求和的长． 20. 项目学习 主题：设计遮阳篷 素材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为． 任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长： ______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长： ___． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长： _________． 任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，． 任务 3 在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度 约是___________．（精确到 米）参考数据：，，． 21. 探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值． 22. 已知抛物线经过点． （1）求a的值； （2）若抛物线与y轴的公共点为，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由； （3）当时，设二次函数的最大值为M，最小值为N，若，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2025年初中学业水平模拟测试（B） （山东省统考地市专用） 本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷3至8页，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：A． 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整式乘法以及除法公式，对个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是整式乘除运算，掌握运算法则是解题的关键． 4. 甲、乙两人10次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），则对于甲、乙两人成绩方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性（逆用），熟练掌握根据方差判断稳定性是解题的关键：①方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量；②方差能够反映所有数据的信息，因而在刻画数据波动情况时比极差更准确：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小． 根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：由图可知：乙的成绩更集中， ， 故选：． 5. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据，即可判断A选项；由，得到即可判断C选项；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平角，即可判断B选项；由即可判断D选项． 【详解】解：， ，故A选项不符合题意； ， ，故C选项符合题意； 过点F作，如图， ， ， ， ， ， ；故B选项不符合题意； ， ， ，故D选项不符合题意． 故选：C． 6. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有一根等于0 C. 方程两根之和等于0 D. 方程两根之积等于0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可． 解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0， 把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1， ∴1+（﹣1）=0， 即只有选项C正确；选项A、B、D都错误； 故选：C． 7. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，以下是嘉嘉和琪琪两位同学的作法． 嘉嘉： 则四边形是菱形 琪琪： 则四边形是菱形 对于嘉嘉和琪琪的作法，可判断（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 嘉嘉和琪琪均正确 D. 嘉嘉和琪琪均错误 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 首先证明，可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形是平行四边形，再由，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出是菱形；四边形是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行四边形性质，可得四边形是平行四边形．但无法证明，故四边形不一定是菱形． 【详解】解：嘉嘉的作法正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵由作法可知：是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 琪琪的作法正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 没有条件能说明四边形邻边相等，故琪琪的作法错误， 综上所述：嘉嘉正确，琪琪错误. 故选：A． 8. 如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，，，且米；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米，甲车由A口驶入立交桥，以的速度行驶，从G口驶出用时（ ）秒． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是关键． 根据弧长公式计算可得． 【详解】解：弧的长为（米， 米， 甲车由口驶入立交桥，以的速度行驶，从口驶出用时（秒． 故选：A． 9. 如图（1）所示的家用扫地机器人，其底部安装有滚刷，内置集尘器．机器人在 除尘时先“脱灰”（滚刷将灰尘从地面上脱离附着），后“吸灰”（将脱附的灰尘转移进集尘器）．为研究滚 刷滚速对“脱灰”效果的影响，小静在保持扫地机器人“吸灰”效果一定的情况下，对“吸灰”过程中滚刷 的滚速与除尘能力C（在地面撒灰后，清扫十次所减少的灰占所撒的灰总质量的百分比）进行了试验，得到如图（2）所示的关系图，规定除尘能力C 超过36%即为及格．则下列说法正确的是（ ） A. 除尘能力关于滚刷的滚速的图象是反比例函数图象的一部分 B. 除尘能力与滚刷滚速成正比 C. 当滚速为1300转/分时，除尘能力为及格 D. 当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的识别，熟练掌握反比例函数图象上越来越靠近坐标轴是关键． 根据题意和图象，分别分析判断各选项正误即可． 【详解】解：A、反比例函数的走向是越来越靠近坐标轴，故说法错误，不符合题意； B、随着滚刷滚速的增加，除尘能力增加得越来越慢，但成正比例是一条直线，而图中是一条曲线，故说法错误，不符合题意； C、当滚速为1300转/分时，除尘能力为35.5不及格，故说法错误，不符合题意； D. 当除尘能力为36.5%时，滚剧的滚速为1400转/分，故说法正确，符合题意， 故选：D． 10. 小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可． 【详解】设一个球的体积为，根据题意，得 ， 解得， 一个玻璃球的体积可能是． 故选：C． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分．） 11. 若式子有意义，则的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义和零指数幂有意义，解本题的关键在熟练掌握其有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．零指数幂有意义的条件：底数不为零． 根据二次根式有意义的条件和零指数幂有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据有意义，可得：， 解得：， 根据有意义，可得：， 解得：， 综上可得：的取值范围是且． 故答案为：且 12. 不等式组的所有整数解的和为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再确定出不等式组所有整数解即可求解. 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组解集是， 不等式组所有整数解是：-1，0，1，2， 不等式组所有整数解的和为. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键. 13. 如图，已知点，，一次函数图象经过线段的中点，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求出线段的中点，代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：∵ ，， ∴的中点坐标为， 把代入一次函数得，， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，根据题意证明出 即可得到，设，则，表示出，过点作，证明出四边形是正方形，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，则，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴设，则， ∵， ∴，， ∴， 如图所示，过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算结果是， 第6次“F”运算的结果是， 第7次“F”运算的结果是， … 以此类推可知，从第5次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“F”运算的结果是1， 故答案为：1． 三、解答题：（本大题共7题，第16题8分，第17-19每题10分，第20-21题每题12分，第22题13分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2）先简化，再求值，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值及分母有理化． （1）先计化简二次根式，计算乘方，将除法改为乘法，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则化简，再将代入化简后的式子利用分母有理化计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ； 当时，原式． 17. 某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，选取40名学生开展了一次调查研究，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．2023年体质健康测试成绩统计表如下： 1 1 2 2 4 5 m n 5 2 b．2023年体质健康测试成绩在这一组的是： 83，80，83，81，82，84，82，81 c．2023年体质健康测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 80.25 p 86 d．调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，2022年九年级部分学生的体质健康成绩直方图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值． （2）写出表中p的值． （3）对比2022年和2023年学生的体质健康测试成绩，你能从中得到的结论是______，你的理由是__________． （4）现计划根据2023年的统计数据，安排年级排名在后的同学参加体质加强训练项目，请估计该年级参加训练项目学生的最高分． 【答案】（1）8,10； （2）82.5； （3）结论是：2023年测试成绩比2022年有退步; 理由是：两年测试样本数都是40，而今年高分段人数更少，低分段人数更多； （4）最高分是80 【解析】 【分析】（1）根据题意和统计表中数据即可求出； （2）可知中位数在这一组中，按照求中位数的方法即可求解； （3）通过观察统计表和直方图即可得出结论． （4）先求出年级排名在后的同学人数，进而即可求解. 【小问1详解】 解：由题意可得：体质健康测试成绩在这一组的有8人， ∴， ∵选取了40名学生开展调查研究， ∴； 【小问2详解】 解：∵选取了40名学生开展调查研究， ∴中位数是第20、21位，即在这一组中， 将数据按从小到大的顺序排列为：80，81，81，82，82，83，83，84， ∴； 【小问3详解】 解：结论是：2023年测试成绩比2022年有退步， 理由是：两年测试样本数都是40，而今年高分段人数更少，低分段人数更多； 【小问4详解】 解：∵， ∵抽查学生中后16名的最高分为80分， ∴估计该年级参加训练项目学生的最高分是80分. 【点睛】本题考查了统计表和直方图，能够正确有效的获取信息是解题关键． 18. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程以下是我们研究函数的图象的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）上表是与几组对应值，则 ______， ______； （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画出的函数图象，请直接写出方程的解______． 【答案】（1）， （2）图见解析；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小（答案不唯一） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键． （1）当时，当时，代入求值即可； （2）根据题中数据画出图形，再根据图像得到性质； （3）方程的解即两条函数的交点横坐标，即可求出答案． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：画出函数的图象如图： 由图象可知，该函数的一条性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小答案不唯一； 故答案为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小答案不唯一； 【小问3详解】 解：由图象可知：方程的解为，． 故答案为：，． 19. 如图，内接于，，的延长线交于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）先延长交于H，连接，，，因此A，O在线段的垂直平分线上，则，又因为，所以平分． （2）延长交于E，连接，则是的直径，，，可知，，因此，，利用勾股定理得，，因为，所以，因而，即，解得，因此，根据，即，，可得是的中位线，因此，，可得，在中，． 【小问1详解】 证明：延长交于H，连接， ∵，， ∴A，O在线段的垂直平分线上， ∴， 又∵， ∴平分． 【小问2详解】 解：延长交于E，连接，则是的直径， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，角平分线，垂径定理，圆周角定理和解直角三角形，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键． 20. 项目学习 主题：设计遮阳篷 素材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为． 任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长： ______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长： ___． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长： _________． 任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，． 任务 3 在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度 约是___________．（精确到 米）参考数据：，，． 【答案】任务1：（1），（2），（3）；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 任务1：利用三角函数解，可得答案； 任务2：过点F作于点H，利用三角函数解，得出，再利用三角函数解，得出，进而得出，列出等式，求出m即可； 任务3：作于点C，结合（2）中结论，利用三角函数解即可． 【详解】解：任务1： 由题意知，，， （1）在中，，即， ； （2）在中，，即， ， ； （3）由（1）（2）可得， ， 即， 故答案为：（1），（2），（3）； 任务2： 由题意知，，设米， 在中，， ， 如图，过点F作于点H，可得， 在中，， ， ， 解得， 即遮阳篷的长为． 任务3： 如图，作于点C，则， 由任务2可得， 在中，，即， ， 故答案为：． 21. 探索发现：如图（1），是正方形边上的点，是等腰直角三角形，，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）迁移拓展：如图（2），，是菱形边，上的点，连接，交于点，，，若为的中点，求出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形得，，，再根据等腰直角三角形的性质得，，由此可证，再根据即可得出结论； （2）设，则， ， ，根据（1）的结论得，则，故得，则点F为的中点，再根据，得，则由此可得的值； （3）过点D作交延长线于点K，则，进而得，再求出，证明，根据相似三角形性质得则，然后证明即可求出的值． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形，为对角线， ， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F为的中点， ∴， 在中，，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作交延长线于点K，则， ∵四边形为菱形，， ∴， 设， ∴， 在中，则，由勾股定理得：， ∵点F是中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22. 已知抛物线经过点． （1）求a的值； （2）若抛物线与y轴的公共点为，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由； （3）当时，设二次函数的最大值为M，最小值为N，若，求m的值． 【答案】（1） （2）有， （3）或 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，抛物线与一元二次方程的关系以及坐标平移等知识，关键是二次函数性质的应用． （1）把点坐标代入抛物线解析式即可求出； （2）由（1）知，再由抛物线与轴的交点为可以求出的值，然后由，可以得抛物线与轴有一个公共点，再令解方程求出即可； （3）先求出抛物线对称轴，然后分，，三种情况分别求出函数的最大值和最小值，由求出的值． 【小问1详解】 抛物线经过点， ， 解得：； 【小问2详解】 抛物线与轴有公共点，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 抛物线与轴的公共点为， ， 解得， ， ， 抛物线与轴是有一个公共点， 令，则， 解得：， 公共点的坐标为； 【小问3详解】 由（1）知，抛物线解析式为， 对称轴为直线， ①当，即时， ，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ， ， 解得：，不符合题意； ②当即时， 若直线与直线接近时， 则当时取得最大值，即， 当时，取得最小值，即， ， ， 解得：，； 若时，则不符合题意，舍去， 若直线与直线接近时， 则当时取得最大值，即， 当时，取得最小值，即， ， ， 化简得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③当即时， ，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $