第15章 轴对称单元测试-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第15章 轴对称 一．选择题（共10小题） 1．（2025•召陵区一模）如图，设计的字母“K”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知∠1＝46°，则∠ABC的度数为（　　） A．44° B．45° C．90° D．92° 2．（2025•盘龙区校级模拟）汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•环翠区一模）点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称．若点A坐标为（m，n），则点C坐标为（　　） A．（﹣m，n） B．（m，﹣n） C．（﹣m，﹣n） D．（m，n） 4．（2025•温江区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若BD＝5，AC＝8，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2025•鹿城区二模）如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，点B，D关于EG对称，点C，D关于FH对称．若要求出△DEF的周长，只需知道（　　） A．AE和AF的长 B．BE和CF的长 C．EG和FH的长 D．BG和CH的长 6．（2025•望城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ABE的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 7．（2024秋•定安县期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（2024秋•郧西县期末）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．（2024秋•玉林期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 10．（2024秋•玉溪期末）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角∠BAC＝30°，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离BC长为（　　） A．12米 B．6米 C．3米 D．1.5米 二．填空题（共5小题） 11．（2025•孝南区校级三模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点B，D； ②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作直线PE交BD于点F． 若BF＝2，PE＝6，则四边形PBED的面积为　 　 ． 12．（2025•渝水区模拟）如图，∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，AD是BC边上的高，点E是直线AC上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，当△ADE是等腰三角形时，EF的长为 　 　 ． 13．（2024秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．已知ED＝1，则AB的长为 　 　 ． 14．（2024秋•常州期末）人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为60°．若两侧梯子的长度都是2m，则人字梯顶端距离地面的高度是 　 　 m． 15．（2025春•铁岭期中）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为 　 　 cm． 三．解答题（共8小题） 16．（2024春•碑林区校级月考）如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点，求证：∠ECF＝∠EDF． 17．（2024秋•湖里区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，AB＝4cm，求BC，AD，BD的长及∠BCD的度数． 18．（2024秋•东莞市期中）如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长． 19．（2024秋•永春县校级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于F，FD∥AB交BC于点D，FE∥AC交BC于点E，求△DEF的周长． 20．（2024秋•南昌期中）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD． （1）求证：AD＝DC； （2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数． 21．（2024秋•景洪市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，∠A＝40°，BC＝6，△BDC的周长为20． （1）求∠BDC的度数； （2）求AE的长． 22．（2024秋•义乌市月考）用一条长为25cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 23．（2024秋•香坊区校级月考）如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE． （1）求∠EDC的度数； （2）若AD＝2，求△AED的面积． 第15章 轴对称 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025•召陵区一模）如图，设计的字母“K”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知∠1＝46°，则∠ABC的度数为（　　） A．44° B．45° C．90° D．92° 【考点】轴对称图形；平行线的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】D 【分析】延长OB至D，由题意得AM∥BD∥CN，∠2＝∠1＝46°，进而根据平行线的性质解答即可求解． 【解答】解：延长OB至D， ∵∠1＝46°， ∵设计的字母“K”是一个轴对称图形， ∴∠2＝∠1＝46°， ∵设计线条之间互相平行， ∴AM∥BD∥CN， ∴∠ABD＝∠1＝46°，∠CBD＝∠2＝46°， ∴∠ABD+∠CBD＝46°+46°＝92°， ∴∠ABC＝92°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，轴对称图形，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2025•盘龙区校级模拟）汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 3．（2025•环翠区一模）点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称．若点A坐标为（m，n），则点C坐标为（　　） A．（﹣m，n） B．（m，﹣n） C．（﹣m，﹣n） D．（m，n） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：∵点A的坐标为（m，n），点A与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为（m，﹣n）， ∵点B与点C关于y轴对称， ∴点C的坐标为（﹣m，﹣n）． 故选：C． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．（2025•温江区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，若BD＝5，AC＝8，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，则可得到∠A＝∠ACD，再证明∠B＝∠BCD得到BD＝CD，据此求出AB的长，再由勾股定理求出BC的长． 【解答】解：由作图方法可知MN垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝CD， ∴AB＝AD+BD＝2BD＝10， ∴BC6， 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等，掌握以上性质是解题的关键． 5．（2025•鹿城区二模）如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，点B，D关于EG对称，点C，D关于FH对称．若要求出△DEF的周长，只需知道（　　） A．AE和AF的长 B．BE和CF的长 C．EG和FH的长 D．BG和CH的长 【考点】轴对称的性质． 【专题】平移、旋转与对称． 【答案】B 【分析】根据对称性可得DE＝BE，DF＝CF，∠B＝∠BDE，∠C＝∠CDF，从而得到∠BDE+∠CDF＝∠B+∠C，再由三角形内角和定理可得∠BDE+∠CDF＝120°，从而得到∠EDF＝60°，设DE＝BE＝2a，DF＝CF＝b，过点E作 EP⊥DF于点P，根据直角三角形的性质可得，，EF＝4a2﹣2ab+b2，即可求解． 【解答】解：∵点B，D关于EG对称，点C，D关于FH对称， ∴DE＝BE，DF＝CF，∠B＝∠BDE，∠C＝∠CDF， ∴∠BDE+∠CDF＝∠B+∠C， ∵∠A＝60°， ∴∠BDE+∠CDF＝∠B+∠C＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝60°， ∴△DEF的周长DE+DF+EF＝BE+DF+CF， 设DE＝BE＝2a，DF＝CF＝b， 如图，过点E作EP⊥DF于点P， ∴∠DEP＝30°， ∴， ∴，PF＝b﹣a， ∴， ∴△DEF的周长DE+DF+EF＝4a2﹣2ab+b2+2a+b， ∴△DEF的周长只与BE，CF的长有关． 故选：B． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对称性，根据题意得到∠EDF＝60°是解题的关键． 6．（2025•望城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ABE的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 【考点】等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠ABC＝∠C（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ABE∠ABC＝35°． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠ABC＝∠C（180°﹣∠CAB）＝70°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC＝35°． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ABC＝70°是解题的关键． 7．（2024秋•定安县期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质． 【答案】C 【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CDAC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴CEAC＝3 ∴BE＝BC+CE＝6+3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CDAC是正确解答本题的关键． 8．（2024秋•郧西县期末）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【专题】常规题型． 【答案】D 【分析】直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置． 【解答】解：如图所示：原点可能是D点． 故选：D． 【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键． 9．（2024秋•玉林期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 【考点】等腰三角形的性质． 【答案】B 【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， 所以，结论不一定正确的是AB＝2BD． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 10．（2024秋•玉溪期末）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角∠BAC＝30°，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离BC长为（　　） A．12米 B．6米 C．3米 D．1.5米 【考点】含30度角的直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】C 【分析】根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：由图可知，在Rt△ACB中， ∵∠BAC＝30°，AB＝6米， ∴米， 故选：C． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•孝南区校级三模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点B，D； ②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作直线PE交BD于点F． 若BF＝2，PE＝6，则四边形PBED的面积为　12　 ． 【考点】作图—基本作图． 【专题】作图题． 【答案】见试题解答内容 【分析】先依据作图步骤得出PB＝PD，PE垂直平分BD，进而得到BD的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【解答】解：由作图步骤可知： 步骤①中，以点P为圆心作弧交直线l于B、D， ∴PB＝PD， 步骤②中，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧相交于E， ∴直线PE是线段BD的垂直平分线， ∴BF＝DF＝2，PE⊥BD． ∴BD＝2BF＝4， ∵四边形PBED的对角线PE与BD互相垂直， ． 故答案为：12． 【点评】本题考查线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解． 12．（2025•渝水区模拟）如图，∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，AD是BC边上的高，点E是直线AC上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，当△ADE是等腰三角形时，EF的长为 　，或　 ． 【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】，或． 【分析】根据△ADE是等腰三角形，则可分三种情况进行讨论．当点E在线段AC上时，当点E在射线AC上时，当点E在射线CA上时，分别画出图形，解直角三角形即可求解． 【解答】解：由条件可知△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠DAC＝30°，∠C＝60°，， ∴． ∵△ADE是等腰三角形，点E是直线AC上的动点， ∴分三种情况进行讨论． 当点E在线段AC上时，AE＝DE，如图1， 则∠EAD＝∠EDA＝30°， ∴∠EDC＝60°， ∴△EDC为等边三角形， ∴CE＝CD＝2， ∴； 当时，如图2， 则， ∵∠C＝60°， ∴； 当点E在射线AC上时，即当时，如图3， 则∠DAE＝∠DEA＝30°， ∴∠ADE＝120°， ∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝30°． 过点E作EF⊥BC， 则； 当点E在射线CA上时，即当时，如图： ∴， ∴； 综上，当△ADE是等腰三角形时，EF的长为，或． 故答案为：，或． 【点评】本题考查了等腰三角的定义，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，分类讨论是解题的关键． 13．（2024秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．已知ED＝1，则AB的长为 　　 ． 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根据等腰三角形性质求出∠BAD＝∠B＝30°，∠C＝∠CAE＝30°，根据三角形外角性质求出∠ADE＝∠AED＝60°，根据等边三角形的判定与性质求出AD＝DE＝1，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD＝2AD＝2，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°， ∵AD⊥AB，AE⊥AC， ∴∠BAE＝∠B＝30°，∠C＝∠CAD＝30°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°，∠AED＝∠C+∠CAE＝60°， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝1， ∴BD＝2AD＝2， ∴AB， 故答案为：． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题关键是熟记含30°角的直角三角形的性质，题目比较好，难度适中． 14．（2024秋•常州期末）人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为60°．若两侧梯子的长度都是2m，则人字梯顶端距离地面的高度是 　　 m． 【考点】等边三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】根据等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，CD⊥AB，AC＝BC＝2m，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2m， ∵CD⊥AB， ∴ADAB＝2m， ∴CD（m）， 即人字梯顶端距离地面的高度是m， 故答案为：． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（2025春•铁岭期中）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为 　10　 cm． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】10． 【分析】根据等腰三角形的性质，得到2cm为腰时无法构成三角形，以4cm为腰时符合题意，即可得到答案． 【解答】解：2cm为腰时，三角形三边分别为2cm，2cm，4cm， ∵2+2＝4， ∴2cm为腰时无法构成三角形； 以4cm为腰时，三角形三边分别为2cm，4cm，4cm， 2+4+4＝10cm． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2024春•碑林区校级月考）如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点，求证：∠ECF＝∠EDF． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】由AB是线段CD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质CE＝DE，CF＝DF，又由等边对等角的知识可得：∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC，继而证得结论．或利用全等三角形的性质证明． 【解答】证明：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴CE＝DE，CF＝DF， ∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC， 即∠ECD+∠FCD＝∠EDC+∠FDC， ∴∠ECF＝∠EDF． 方法二：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴CE＝DE，CF＝DF， ∵EF＝EF， ∴△EFC≌△EFD（SSS）， ∴∠ECF＝∠EDF． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 17．（2024秋•湖里区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，AB＝4cm，求BC，AD，BD的长及∠BCD的度数． 【考点】含30度角的直角三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，得出BC，根据∠ACB＝90°，∠A＝30°，得∠B＝60°，再利用CD⊥AB，得出BD，进而得出AD，∠BCD的度数． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝4cm， ∴BC＝2cm，BD＝1cm， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3cm． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟记30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 18．（2024秋•东莞市期中）如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】计算题． 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，所以DB＝DO，同理可得EO＝CE，利用等线段代换得到△ADE的周长＝AB+AC，然后利用△ABC的周长为15得到AB+AC＝9，从而得到△ADE的周长． 【解答】解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点， ∴∠1＝∠3， ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DB＝DO， 同理可得EO＝CE， ∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC， ∵△ABC的周长为15， ∴AB+AC+BC＝15， 而BC的长为6， ∴AB+AC＝9， ∴△ADE的周长为9． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质． 19．（2024秋•永春县校级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于F，FD∥AB交BC于点D，FE∥AC交BC于点E，求△DEF的周长． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠3，然后求出∠2＝∠3，再根据等角对等边可得BD＝DF，同理可得CE＝EF，然后求出△DEF的周长＝BC，代入数据即可得解． 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵DF∥AB， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴BD＝DF， 同理可得CE＝EF， ∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝BD+DE+EC＝BC， ∵BC＝8， ∴△DEF的周长＝8． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记定义与性质并求出△DEF的周长＝BC是解题的关键． 20．（2024秋•南昌期中）如图，已知AB∥CD，AC平分∠BAD． （1）求证：AD＝DC； （2）若∠D＝120°，AC⊥CB，求∠B的度数． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）60°． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠3，根据角平分线的性质得出∠1＝∠3，等量代换得出∠1＝∠2，进而证得AD＝DC； （2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据∠D＝120°求出∠3，根据AC⊥CB得出∠ACB＝90°，进而求出∠B． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， AD＝DC； （2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3， ∵∠D＝120°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 【点评】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 21．（2024秋•景洪市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，∠A＝40°，BC＝6，△BDC的周长为20． （1）求∠BDC的度数； （2）求AE的长． 【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数． （2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC＝20，根据AB＝2AE＝14，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2×40°＝80°． （2）∵MN垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∵BC+BD+DC＝20， ∴AD+DC+BC＝20， ∴AC+BC＝20， ∵BC＝6， ∴AB＝AC＝14， ∴AE＝7． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 22．（2024秋•义乌市月考）用一条长为25cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长． 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形三边关系． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）10cm； （2）能围成有一边长为的等腰三角形，三角形的底边为9cm或7cm，理由见解答过程． 【分析】（1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）利用分类讨论，令9cm分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，然后得出底边长度． 【解答】解：（1）设腰长为x cm，则底边长为x cm，由题意可得， ， ∴x＝10， ∴等腰三角形的腰长为10cm； （2）能围成有一边长为的等腰三角形，三角形的底边为9cm或7cm，理由如下： 当底边长为9cm时，则每个腰长为（25﹣9）÷2＝8cm， ∵8+8＞9， ∴能围成有底边长为9的等腰三角形， 当腰长为9cm时，则底边长为25﹣9﹣9＝7cm， ∵7+9＞9， ∴能围成有腰长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为9cm或7cm． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 23．（2024秋•香坊区校级月考）如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE． （1）求∠EDC的度数； （2）若AD＝2，求△AED的面积． 【考点】等边三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）15°； （2）1． 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得出AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，利用三线合一的性质可得出∠CAD＝30°，AD⊥CD，利用等边对等角可求出∠ADE＝75°，即可求解； （2）过D作DH⊥AC于H，利用含30°的直角三角形的性质求出DH，然后利用三角形面积公式求解即可． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵AD为中线， ∴AD⊥CD，， ∵AD＝AE， ∴， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°； （2）解：过D作DH⊥AC于H， ∴∠AHD＝90°， ∵∠CAD＝30°， ∴， ∵AD＝AE＝2， ∴． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟记等边三角形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $