第14章 全等三角形单元测试-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第14章 全等三角形 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•广州校级期中）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M在线段OP上且DM＝OM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．（2024秋•鹤壁月考）已知如图所示，O为AB、CD的中点，AE＝BF，你从图中可以找到全等三角形共（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（2024春•海淀区校级期中）如图，将三角形ABC沿边AC所在直线平移至三角形EDF处，下列结论：①AE＝CF；②AB∥DE；③∠ABC＝∠BHD；④∠A＝∠F；⑤AB＝EF．其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024春•南岗区校级期中）如图，若△ABC≌△DPE，AC＝8，GE＝6，则DG的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024春•张店区校级期中）如图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF．添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠ACE＝∠DFB B．∠ACB＝∠DFE C．∠B＝∠E D．AB＝DE 6．（2023秋•泗阳县期末）根据下列条件，能唯一画出△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝6 D．∠C＝90°，AB＝6 7．（2024秋•临清市校级月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.8m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.2m C．1.4m D．1.6m 8．（2024秋•中山市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，则点D到边BC的距离是（　　） A．2 B．3 C． D．4 9．（2024秋•淮滨县校级月考）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 10．（2023秋•隆昌市校级期末）如图，在△ABC和△DEF中，如果AC＝DF，BC＝EF，在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠ACB＝∠F B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AC∥DF 二．填空题（共5小题） 11．（2025•温江区二模）如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　 　 ． 12．（2025•上杭县模拟）如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，AC＝BD＝3，∠ACD+∠ABD＝210°，则AB的长为　 　 ． 13．（2025春•西安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交AC于点E，以下三个结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的是 　 　 .（填序号） 14．（2025春•碑林区校级月考）如图，点E和D分别在等边△ABC的边AB和AC上，且AE＝CD，若∠ABD＝40°，则∠BEC的度数为　 　 ． 15．（2024秋•玄武区期末）如图，△ABC≌△EDC，点D在边AB上，∠B＝50°，则∠ACE的度数为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（2025•潮阳区三模）如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E． （1）求证：AD＝AE； （2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的长． 17．（2025春•城关区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90゜，D是AB上一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过M作ME∥BC交AB于E．求证：ME＝AB． 18．（2025•船营区校级模拟）如图，点E、B在AD上，AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D．求证：BC∥EF． 19．（2025•琼山区校级三模）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE． （1）求证：△ABD≌△CBD； （2）若△ABC的边长为6，求CE的长． 20．（2025•永寿县校级模拟）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，连接BD并延长到点E，使DE＝BD，过点E作EG∥BC，交AC于点F，交AB于点G，求证：GE＝BC+GF． 21．（2025•碑林区模拟）如图，在△ACE中，∠ACE＝∠AEC，AB＝DE，∠BAC＝∠AED．求证：BC∥AE． 22．（2025•丹徒区二模）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AB＝8，CD＝2，求EC的长度． 23．（2025•杭州模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DL⊥BC于L，过点L作LF⊥AB于F，连接DF，CD＝LB． （1）如图1，求证：4∠FDL﹣∠CAB＝180°； （2）如图2，过点L作DF的垂线交AF于H，连接DH，若∠FDL＝∠CAB，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四个与△DLC全等的三角形（△DLC除外）． 第14章 全等三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•广州校级期中）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M在线段OP上且DM＝OM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】角平分线的性质；垂线段最短． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】过P作PH⊥OB于H，判定△MDP是等边三角形，得到PD＝DM＝4，由角平分线的性质推出PH＝PD＝4，由垂线段最短得到PC≥PH＝4，即可得到PC的最小值． 【解答】解：过P作PH⊥OB于H， ∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°， ∴∠AOP∠AOB＝30°， ∵DM＝OM＝4cm， ∴∠MOD＝∠MDO＝30°， ∵PD⊥OA， ∴∠MDP＝∠MPD＝90°﹣30°＝60°， ∴△MDP是等边三角形， ∴PD＝DM＝4， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB， ∴PH＝PD＝4， ∵PC≥PH＝4 ∴PC的最小值＝4． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，关键是由角平分线的性质推出PH＝PD． 2．（2024秋•鹤壁月考）已知如图所示，O为AB、CD的中点，AE＝BF，你从图中可以找到全等三角形共（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【考点】全等三角形的判定． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理进行解答． 【解答】解：①在△AOD与△BOC中，，则△AOD≌△BOC（SAS）； ②∵△AOD≌△BOC， ∴∠A＝∠B，AD＝BC， ∴在△ADE与△BCF中，，则△ADE≌△BCF（SAS）； ③∵△ADE≌△BCF， ∴DE＝CF． ∵AO＝BO，AE＝BF， ∴EO＝FO， ∴在△DEO与△CFO中，，则△DEO≌△CFO（SSS）． 综上所述，全等三角形共有3对． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定．（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 3．（2024春•海淀区校级期中）如图，将三角形ABC沿边AC所在直线平移至三角形EDF处，下列结论：①AE＝CF；②AB∥DE；③∠ABC＝∠BHD；④∠A＝∠F；⑤AB＝EF．其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】根据平移的性质逐一判断即可． 【解答】解：∵将三角形ABC沿边AC所在直线平移至三角形EDF处， ∴AC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠DEF，AB＝DE， ∴AE＝CF，∠ABC＝∠BHD， 根据已知条件无法证明∠A＝∠F，AB＝EF， ∴正确的有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了平移的性质，明确平移前后对应边、对应角相等是解题的关键． 4．（2024春•南岗区校级期中）如图，若△ABC≌△DPE，AC＝8，GE＝6，则DG的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】全等三角形的性质． 【专题】三角形． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DPE， ∴DE＝AC， ∵AC＝8，GE＝6， ∴DG＝DE﹣GE＝AC﹣GE＝8﹣6＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握其性质是解题的关键． 5．（2024春•张店区校级期中）如图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF．添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠ACE＝∠DFB B．∠ACB＝∠DFE C．∠B＝∠E D．AB＝DE 【考点】全等三角形的判定． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、∵∠ACE＝∠DFB， ∴∠ACB＝∠DFE， 又∵AC＝DF，BC＝EF，根据SAS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意； B、∵∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，BC＝EF，根据SAS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意； C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF，故符合题意； D、∵AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，根据SSS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解题的关键． 6．（2023秋•泗阳县期末）根据下列条件，能唯一画出△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝6 D．∠C＝90°，AB＝6 【考点】全等三角形的判定． 【答案】C 【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形则并不是唯一存在，可能有多种情况存在． 【解答】解：A、∵AC与BC两边之差大于第三边，∴A不能作出三角形； B、∠A并不是AB，BC的夹角，故可画出多个三角形； C、两角夹一边，形状固定，可作唯一三角形； D、两个锐角也不确定，也可画出多个三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形全等的有关知识，要掌握三角形的判定方法，只有符合全等判定方法的条件画出的三角形才都是一样的，也就是说是唯一的．本问题界定的是唯一三角形，要注意要求． 7．（2024秋•临清市校级月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.8m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.2m C．1.4m D．1.6m 【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】设OA与地面的交点为K，过点B、C作地面的垂线，垂足分别为H、M，依题意得OB＝OC，BD＝1.2m，CE＝1.6m，BH＝0.8m，DK＝BH＝0.8m，CM＝EK，证明△BOD和△OCE全等得BD＝OE＝1.2m，OD＝CE＝1.6m，进而得DE＝0.4m，则EK＝1.2m，由此即可得出答案． 【解答】解：设OA与地面的交点为K，过点B、C作地面的垂线，垂足分别为H、M，如图所示： 依题意得：OB＝OC，BD＝1.2m，CE＝1.6m，BH＝0.8m，BD⊥OA，CE⊥OA，OK⊥HK，∠AOC＝90°， ∴∠BDO＝∠OEC＝∠BHK＝∠HKD＝∠CMK＝90°，∠BOD+∠COE＝90°， ∴∠COE+∠OCE＝90°，四边形BHKD和四边形CMKE均为矩形， ∴∠BOD＝∠COE，DK＝BH＝0.8m，CM＝EK， 在△BOD和△OCE中， ， ∴△BOD≌△OCE（AAS）， ∴BD＝OE＝1.2m，OD＝CE＝1.6m， ∴DE＝OD﹣OE＝1.6﹣1.2＝0.4（m）， ∴EK＝DE+DK＝0.4+0.8＝1.2（m）， ∴CM＝EK＝1.2m， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.2m． 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解题意和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8．（2024秋•中山市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，则点D到边BC的距离是（　　） A．2 B．3 C． D．4 【考点】角平分线的性质；点到直线的距离． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】B 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求出DE的长． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，如图， ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC， ∴∠DAB＝∠DEB， ∴DE＝AD＝3， ∴点D到边BC的距离是3， 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解答本题的关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等． 9．（2024秋•淮滨县校级月考）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【考点】全等图形． 【专题】图形的全等；几何直观． 【答案】C 【分析】由△ACB≌△DEF（SAS），得到∠1＝∠FDE，由∠2+∠FDE＝90°，即可解决问题． 【解答】解： ∵AC＝ED，∠ACB＝∠DEF，BC＝EF， ∴△ACB≌△DEF（SAS）， ∴∠1＝∠FDE， ∵∠2+∠FDE＝90°， ∴∠2+∠1＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形，关键是判断出△ACB≌△DEF． 10．（2023秋•隆昌市校级期末）如图，在△ABC和△DEF中，如果AC＝DF，BC＝EF，在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠ACB＝∠F B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AC∥DF 【考点】全等三角形的判定． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】C 【分析】利用三角形全等的判定定理判断即可求解． 【解答】解：A、可用SAS判定三角形全等； B、可用SSS判定三角形全等； C、所给的条件构成SSA，不能判定三角形全等； D、由AC∥DF可得∠ACB＝∠F，所以可用SAS判定三角形全等． 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定定理，能熟记并掌握判定定理是解题关键，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•温江区二模）如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　5　 ． 【考点】全等三角形的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【解答】解：∵AD＝2，BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝5， ∵△ABC≌△FDE， ∴FD＝AB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 12．（2025•上杭县模拟）如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，AC＝BD＝3，∠ACD+∠ABD＝210°，则AB的长为　6　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】6． 【分析】过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE＝AC，∠ACD＝∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE＝AB，求得∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝90°，由勾股定理得出BE2＝DE2+BD2，即可得出结果． 【解答】解：过点A作AE∥CD，使AE＝CD，连接BE、DE，如图所示： 则四边形ACDE是平行四边形， ∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED， ∵∠AOC＝60°，AB＝CD，AE∥CD， ∴∠EAB＝∠AOC＝60°，CD＝AE＝AB， ∴△ABE为等边三角形， ∴BE＝AB， ∵∠ACD+∠ABD＝210°， ∴∠AED+∠ABD＝210°， ∴∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝360°﹣210°﹣60°＝90°， ∴BE2＝DE2+BD2， ∴AB2＝AC2+BD2， ∵AC＝BD＝3， ∴AB＝6（负值已舍）， 故答案为：6． 【点评】本题主要查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2025春•西安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交AC于点E，以下三个结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的是 　①②③　 .（填序号） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】①②③． 【分析】①根据三角形外角的性质即可得到∠BAD＝∠CDE； ②利用AAS证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质求出AD＝DE； ③结合三角形内角和定理、等腰三角形的判定求出AD＝DE，利用AAS证明△ABD≌△DCE（AAS），根据全等三角形的性质求出BD＝CE． 【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA， 故①正确，符合题意； ②∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， 由①知：∠DEC＝∠BDA， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AD＝DE， 故②正确，符合题意； ③∵∠BAD＝30°，∠B＝40°， ∴∠BDA＝180﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠DEC＝110°， ∴∠AED＝180°﹣110°＝70°， ∴∠EAD＝180°﹣40°﹣70°＝70°＝∠AED， ∴AD＝DE， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴BD＝CE， 故③正确，符合题意； 综上正确符合题意的有①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键． 14．（2025春•碑林区校级月考）如图，点E和D分别在等边△ABC的边AB和AC上，且AE＝CD，若∠ABD＝40°，则∠BEC的度数为　80°　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】三角形． 【答案】80°． 【分析】首先由等边三角形得到AC＝BC，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝60°，然后证明出△AEC≌△CDB（SAS），求出∠ACE＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣40°＝20°，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝60°， 又∵AE＝CD， ∴△AEC≌△CDB（SAS）， ∴∠ACE＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣40°＝20°， ∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝60°+20°＝80°． 故答案为：80°． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和三角形外角的性质，掌握以上性质是解题的关键． 15．（2024秋•玄武区期末）如图，△ABC≌△EDC，点D在边AB上，∠B＝50°，则∠ACE的度数为 　80°　 ． 【考点】全等三角形的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】80°． 【分析】根据全等三角形的性质求出BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，根据等腰三角形的性质及角的和差求出∠B＝∠BDC＝50°，∠BCD＝∠ACE，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△EDC，∠B＝50°， ∴BC＝DC，∠ACB＝∠ECD， ∴∠B＝∠BDC＝50°，∠BCD＝∠ACE， ∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝80， ∴∠ACE＝80°， 故答案为：80°． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2025•潮阳区三模）如图1，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E． （1）求证：AD＝AE； （2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在AB、AC上，且PM＝PN，AM＝5，AN＝3，求AD的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据角平分线性质得到PD＝PE，利用HL证明Rt△APD≌Rt△APE，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用HL证明Rt△PEN≌Rt△PDM，根据全等三角形的性质得出NE＝MD，根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE， 在Rt△APD和Rt△APE中， ， ∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）， ∴AD＝AE； （2）解：在Rt△PEN和Rt△PDM中， ， ∴Rt△PEN≌Rt△PDM（HL）， ∴NE＝MD， ∵AM＝AD+MD＝5，AD＝AE＝AN+NE＝AN+MD， ∴AN+MD+MD＝5， ∵AN＝3， ∴MD＝1， ∴AD＝AM﹣MD＝4． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（2025春•城关区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90゜，D是AB上一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过M作ME∥BC交AB于E．求证：ME＝AB． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用平行线的性质得出∠B＝∠MED，进而利用AAS得出△DME≌△CAB，即可得出答案． 【解答】证明：∵ME∥BC， ∴∠B＝∠MED， 在△DME和△CAB中 ， ∴△DME≌△CAB （AAS）， ∴ME＝AB． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键． 18．（2025•船营区校级模拟）如图，点E、B在AD上，AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D．求证：BC∥EF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】由AE＝DB推出AB＝DE，再利用SAS直接证明三角形全等，根据全等三角形的性质及平行线的判定即可得证． 【解答】证明：∵AE＝DB， ∴AE+EB＝DB+EB， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴BC∥EF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（2025•琼山区校级三模）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE． （1）求证：△ABD≌△CBD； （2）若△ABC的边长为6，求CE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）3． 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，利用SAS即可证明△ABD≌△CBD； （2）根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，CDAC＝3，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠DBC＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BD是等边△ABC的中线， ∴∠ABD＝∠CBD，AB＝CB， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）； （2）解：∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，CDAC＝3， ∴∠DBC＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°， ∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∴CD＝CE＝3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 20．（2025•永寿县校级模拟）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，连接BD并延长到点E，使DE＝BD，过点E作EG∥BC，交AC于点F，交AB于点G，求证：GE＝BC+GF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】由平行线的性质证得∠E＝∠CBD，根据全等三角形判定证得△BCD≌△EFD，由全等三角形的性质即可得到BC＝EF，再根据线段的和差求证即可． 【解答】证明：∵EG∥BC， ∴∠E＝∠CBD， 在△BCD和△EFD中， ， ∴△BCD≌△EFD（ASA）， ∴BC＝EF， ∴GE＝EF+GF＝BC+GF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△BCD≌△EFD． 21．（2025•碑林区模拟）如图，在△ACE中，∠ACE＝∠AEC，AB＝DE，∠BAC＝∠AED．求证：BC∥AE． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的判定． 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据等腰三角形的判定求出AC＝AE，利用SAS证明△BAC≌△DEA，根据全等三角形的性质求出∠BCA＝∠DAE，根据平行线的判定定理即可得证． 【解答】证明：∵∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE， 在△BAC 与△DEA 中， ∴△BAC≌△DEA（SAS）， ∴∠BCA＝∠DAE， ∴BC∥AE． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 22．（2025•丹徒区二模）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AB＝8，CD＝2，求EC的长度． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力． 【答案】（1）见解析（2）6． 【分析】（1）由AB∥DF，得∠A＝∠FDE，而∠B＝∠E，AB＝DE，即可根据“ASA”证明△ABC≌△DEF； （2）由全等三角形的性质得AB＝DE＝8，再根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥DF， ∴∠A＝∠FDE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：由（1）知△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE＝8， ∵CD＝2， ∴CE＝DE﹣CD＝8﹣2＝6． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△DEF是解题的关键． 23．（2025•杭州模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DL⊥BC于L，过点L作LF⊥AB于F，连接DF，CD＝LB． （1）如图1，求证：4∠FDL﹣∠CAB＝180°； （2）如图2，过点L作DF的垂线交AF于H，连接DH，若∠FDL＝∠CAB，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四个与△DLC全等的三角形（△DLC除外）． 【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质． 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）△LDH，△LFH，△LFB，△FDA． 【分析】（1）先证明△BLF≌△CDL，得LF＝LD，∠FDL＝∠LFD，再通过四边形内角和以及角之间的转换求出4∠FDL﹣∠CAB＝180°． （2）由（1）得△BLF≌△CDL，∠DLF＝∠B＝∠C，∠FDL＝∠LFD，4∠FDL﹣∠CAB＝180°，根据∠FDL＝∠CAB，得△DLF是等边三角形，△ABC是等边三角形，进而利用三角形全等的判定方法即可得解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，DL⊥BC，LF⊥AB， ∴∠B＝∠C，∠BFL＝∠DLB＝∠CLD＝90°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B，∠B+∠BLF＝∠DLF+∠BLF＝90°， ∴∠B＝∠FLD，2∠B＝180°﹣∠BAC ∵CD＝LB，∠B＝∠C，∠BFL＝∠CLD＝90°， ∴△BLF≌△CDL， ∴LF＝LD， ∴∠FDL＝∠LFD， ∴2∠FDL＝180°﹣∠FLD， ∴4∠FDL﹣∠CAB＝360°﹣2∠FLD﹣∠CAB ＝360°﹣2∠B﹣∠CAB ＝360°﹣（180°﹣∠CAB）﹣∠CAB ＝180°； （2）解：由条件可知∠FDL＝∠CAB， ∴3∠FDL＝180°， ∴∠FDL＝∠LFD＝∠CAB＝60°， ∴△DLF是等边三角形， ∴DL＝FD＝FL，∠DLF＝∠B＝∠C＝60°＝∠FDL＝∠LFD＝∠CAB， 由条件可知△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵LF⊥AB，∠B＝60°， ∴∠BLF＝30°，∠LFH＝∠LFB＝90°， ∵LH⊥DF，LD＝LF， ∴∠HLF＝∠HLD＝30°＝∠BLF， ∵LF＝LF， ∴△LFH≌△LFB（SAS）， ∴BL＝LH＝CD，BF＝FH＝CL，DL＝LF＝LF， ∴△CDL≌△HLF（SSS）， ∵LD＝LF，∠DLH＝∠FLH，LH＝LH， ∴△DLH≌△FLH（SAS）， ∴DL＝FL，DH＝FH＝CL，CH＝CD， ∴△CDL≌△HLD（SSS）， ∵∠C＝60°，DL⊥BC， ∴∠CDL＝30°， ∴∠ADF＝180°﹣30°﹣60°＝90°＝∠DLC， ∵∠C＝∠A＝60°，DF＝DL， ∴△CDL≌△AFD（AAS）， 综上可得，与△DLC全等的三角形有△LDH，△LFH，△LFB，△FDA． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、四边形内角和、直角三角形的两锐角互余、全等三角形的判定（AAS、ASA等），熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定条件以及等边三角形的判定及性质，并能灵活运用这些知识进行角度和边的等量代换是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $