精品解析：广西南宁市部分学校2024-2025学年九年级下学期月考数学练习卷

广西南宁市部分学校2024-2025学年九年级（下）月考数学练习卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 2. 下列是几个城市地铁标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”即把一长方体沿对角面一分为二，这样相同的两块叫做“堑堵”．右图是“堑堵”的立体图形，它的正视图为（ ） A. B. C. D. 4. 碳60是一种非金属单质，化学式为．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球如图所示，又名足球烯．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子．它的密度是，将数据1680用科学记数法可以表示是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件 B. “在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 6. 的值是（　　） A. B. C. 5 D. 7. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 8 B. 或8 C. D. 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 11. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 12. 如图，E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．已知，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是_____． 14. 分解因式：16﹣x2=__________． 15. 如图，四边形内接于，，D是的中点．若的半径为1，，则扇形的面积为________． 16. 如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是_____． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． （1）嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； （2）淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 18. 某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘．在挖掘某段长240米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天．若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？ 19. 为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用下面的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） （1）依据折线统计图，得到下面的表格： 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 10 其中________，________； （2）甲成绩的众数是________环，乙成绩的中位数是________环； （3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ （4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率. 20. 如图，在中，连接对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 21. 【项目化学习】 【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数天 菌落总数 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 （1）求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后第几天菌落总数恰好为？ 22. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证：； （2）若，米，求车轮的直径的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段． ①若点E在此抛物线上，求出m的值； ②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西南宁市部分学校2024-2025学年九年级（下）月考数学练习卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，掌握比较有理数大小的方法是关键．根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 下列是几个城市地铁标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．直接利用轴对称图形的定义得出答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 3. 我国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”即把一长方体沿对角面一分为二，这样相同的两块叫做“堑堵”．右图是“堑堵”的立体图形，它的正视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，正视图是从正面看得到的图形，由此解答即可，考查了空间想象能力． 【详解】解：由题意得：它的正视图为一个矩形，如图： ， 故选：C． 4. 碳60是一种非金属单质，化学式为．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球如图所示，又名足球烯．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子．它的密度是，将数据1680用科学记数法可以表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选B． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件 B. “在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件 C. 在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，多边形内角和，概率等知识，掌握随机事件，必然事件的概念是解题的关键． 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：介于必然事件和不可能事件之间，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：A、掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件，正确，不符合题意； B、“在平面上任意画一个六边形，其内角和为”这一事件是必然事件，正确，不符合题意； C、在单词（数学）中任意选择一个字母为m的概率为，正确，不符合题意； D、天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，故原选项错误，符合题意； 故选：D ． 6. 的值是（　　） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义，会求一个非负数的算术平方根是解题关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 7. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 8 B. 或8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得方程的两根，再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长，即可求得答案． 【详解】解方程可得或， 当的底为2时，则三角形的三边长为，满足三角形三边关系，其周长为， 当的底为4时，则三角形的三边长为4、2、2，不满足三角形三边关系，舍去， ∴的周长为． 故答案选：C 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形定义、解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系与等腰三角形的性质以及根据因式分解法解一元二次方程． 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 移项合并得：， 系数化1得：， 表示在数轴上为∶ 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键． 9. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：与不是同类项，无法合并，则A不符合题意， ，则B符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂相乘等内容，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【解析】 【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似 ∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝ ∴A′E＝AD＝2 OE＝OD＝1 ∴A′（-1,2） 同理可得A′′（1,-2） 方法二：∵点A（-3，6）且相似比为 ∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×）， ∴A′（-1,2） ∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称 ∴A′′（1,-2） 故选：D． 11. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 【答案】D 【解析】 【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°， ∵OA⊥OB，tan∠BAO=2， ∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2， ∴∠OAC=∠BOD， ∴△AOC∽△OBD， ∴， ∵，， ∴，∴， ∵k＜0， ∴k=﹣8． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键． 12. 如图，E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．已知，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过E作于M交BC于N，由正方形的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，求出，得到，由勾股定理求出，得到，因此． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是判定，推出． 【详解】解：过E作于M，交于N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出随机闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，共有几种可能情况，以及能让灯泡L1，L2同时发光的有几种可能，由此即可解决问题． 【详解】∵随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个共有10种可能， 能够使灯泡L1，L2同时发光有2种可能（S1，S2，S4或S1，S2，S5）． ∴随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是． 14. 分解因式：16﹣x2=__________． 【答案】（4+x）（4﹣x） 【解析】 【详解】分析：16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可． 详解：16-x2=（4+x）（4-x）． 点睛：本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 15. 如图，四边形内接于，，D是的中点．若的半径为1，，则扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，扇形面积，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，由平行线性质可得，根据三角形内角和定理求出，再扇形面积公式计算即可． 【详解】解：， ． ， ， ， ， ， 扇形的面积为． 16. 如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答． 【详解】解：如图， 在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ． 取的中点，连接、，如图： 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，得， 当、、三点共线时，的长度最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． （1）嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； （2）淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 同意淇淇的说法，理由如下： 若输入，输出的多项式为0， 则， ， 关于n的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即n有两个不同的值． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序． （1）把代入题目所给运算式进行计算即可； （2）根据题目所给运算式，得出方程，然后利用一元二次方程根的判别式，即可解答． 【小问1详解】 解：嘉嘉在电脑屏幕上输入， 输出的多项式为； 【小问2详解】 略 18. 某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘．在挖掘某段长240米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天．若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？ 【答案】12米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米，则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米，结合“在挖掘某段长240米的特殊路段时，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天”，进行列分式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米， 则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米． 由题意得， 则， 得， 即． ∴． 经检验，是原分式方程的解，且符合题目要求． 答：挖掘正常路段，盾构机每天能掘进12米． 19. 为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用下面的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线） （1）依据折线统计图，得到下面的表格： 射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 10 其中________，________； （2）甲成绩的众数是________环，乙成绩的中位数是________环； （3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ （4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率. 【答案】（1）8、7；（2）8，7；（3）甲成绩更稳定；（4） 【解析】 【详解】分析：从折线图中得出的值. 根据众数，中位数的定义即可求出. 甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案． 列表表示出所有的情况，根据概率的求法计算概率. 详解：（1）由折线统计图知a=8、b=7， 故答案为8、7； （2）甲射击成绩次数最多的是8环、乙射击成绩次数最多的是7环， 甲成绩的众数是8环、乙成绩的众数为7环； （3）甲成绩的平均数为=8（环）， 所以甲成绩的方差为×[（6-8）2+2×（7-8）2+4×（8-8）2+2×（9-8）2+（10-8）2]=1.2（环2）， 乙成绩的平均数为=8（环）， 所以乙成绩的方差为×[（6-8）2+4×（7-8）2+（8-8）2+2×（9-8）2+2×（10-8）2]=1.8（环2）， 故甲成绩更稳定； （4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：   A B a b A   AB Aa Ab B BA   Ba Bb a aA aB   ab b bA bB ba   ∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况， ∴恰好选到1男1女的概率为． 点睛：本题考查了折线统计图、众数以及中位数，方差等的计算，概率的计算等,解题的关键是牢记概念及公式． 20. 如图，在中，连接对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 【答案】（1） 解：如图， （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据线段的垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的定义得，，由平行四边形的性质得，，然后根据证明，进而可得结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：垂直平分 ，． 四边形是平行四边形， ，． 在与中 ． ， ． 21. 【项目化学习】 【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系 【研究步骤】a．取一桶桶装水，打开置于空气中； b．逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； c．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数天 菌落总数 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 （1）求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后第几天菌落总数恰好为？ 【答案】（1）；（2）桶装水打开后第天菌落总数恰好为 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）设，利用待定系数法代入求解即可； （2）当时，代入求解即可． 【详解】解：（1）设菌落总数与试验天数之间的一次函数关系式为， 由题意得解得 ． （2）当时，． 解得：． 桶装水打开后第天菌落总数恰好为。 22. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证：； （2）若，米，求车轮的直径的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，   是切线， ， 是直径， ， ， ， ， ， ； （2）直径 【解析】 【分析】（1）如图，连接，利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，进而三角形内角和定理证明即可； （2）过点作于点．设米，米，根据，构建方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点． ， 可以假设米，米， （米）， ， （米）， （米）， ， ， 解得，， 直径． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段． ①若点E在此抛物线上，求出m的值； ②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②当取最小值时，点的坐标为 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定及性质等知识，利用全等三角形的判定及性质得点的坐标为是解题的关键． （1）根据直线解析式可得点、的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可； （2）由题意可知，，当点在轴上方时，如图，过点作轴于，，由旋转易证，得，，则，可知点的坐标为，如图，当点在轴上及其下方时，，同理可得，点的坐标为，进而可知，点在直线上； ①由点在此抛物线上，可知点为直线与抛物线的交点，得，求解即可； ②由题意知点在直线上，结合点是轴上的任一点，点在直线上，可知，，易知当点，点，与点重合时，取等号，即当取最小值时，点，点，与点重合，即可求得点的坐标为． 【小问1详解】 ∵直线分别与，轴交于点，， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵抛物线恰好经过这两点． ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， 当点在轴上方时，如图，过点作轴于，， 由旋转可知：，， 则， ∴， ∴， ∴，， 则， ∴点的坐标为， 如图，当点在轴上及其下方时，， 同理可得：∴， ∴，， 则， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为， 可知，点在直线上； ①∵点在此抛物线上， ∴点为直线与抛物线的交点， 即：， 解得：，， 当时，，当时，， ∴点的坐标为或； ②∵， ∴点在直线上， 又∵点是轴上的任一点，点在直线上， ∴，， 当点，点，与点重合时，取等号， ∴当取最小值时，点，点，与点重合， 即：当取最小值时，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $