1.5等腰三角形　同步练习题　2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《1.5等腰三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，，是边上的中线，若，则的长（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．14 3．如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 4．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，已知，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 6．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 二、填空题 8．如图所示，是等边三角形，，，则的周长为 ． 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 10．如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 11．中，平分，平分，经过点，与相交于点，且．，．求的周长等于 ． 12．如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为 ． 13．如图，已知等腰，，D在的延长线上，E在的延长线上，，连接，过点A作BE的垂线交于点F，垂足为O，连接并延长交交于K．，，则的长度 ． 14．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 15．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，为垂足．求证：是中点． 16．如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 17．如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 18．数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在中，平分，求证：”阅读下面文字并补充证明过程． 李老师经过分析：要证，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法： 方法一：“截长法”，如图②，在上截取，连接； 方法二：“补短法”，如图③，延长至点，使，连接． 19．如图，在中，．点E是边的中点．点P为边上的一个动点． (1)尺规作图：作出的角平分线，交于点D； (2)在（1）的基础上， ①当是等腰三角形，求的度数； ②若点M在线段上，连接，直接写出的值最小时的长度． 20．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 参考答案 1．B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，关键在于明确斜边及中线的定义．根据定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接应用即可求解． 【详解】解：由题知，在中，，是边上的中线， ． 又， ． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，，不符合三角形三边关系， 当为腰时，等腰三角形的三边为：，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 3．D 【分析】本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 作于，根据直角三角形的性质，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案． 【详解】解：如图，作于，则，    ∵， ∴， ，平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的周长公式以及等量代换进行计算即可解答． 【详解】解： 平分， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．作点E关于射线的对称点，连接，当点F、P、三点共线，且时，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则， ， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．12 【分析】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握三线合一是解题的关键．根据三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合 ）的性质和等边三角形的性质来求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴为中点，即． ∵， ∴； ∵等边三角形三边相等，即， ∴的周长为． 故答案为：12． 9．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键． 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数． 【详解】 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，是解题的关键． 过点A作于点D，证明，得，即得． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示． ∵等腰中，， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 11． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，即得，，进而得到的周长，代入已知计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 故答案为： 12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，延长到，使得，连接，由“”可证，可得，，由等边对等角可得，据此求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．8 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．如图，过点C作交于点Q，交的延长线于点H， 先， 再证明，结合全等三角形的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点Q，交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：8． 14．①②③④ 【分析】本题主要考查了等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据条件证明，利用全等三角形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵恰好平分， ， ， ∴为等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴，故②正确，符合题意， 在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ③由上知为等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴，该③正确，符合题意； ④由上知为等腰三角形，， ，, ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意， 所以，正确的结论为：①②③④， 故答案为：①②③④． 15．见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定， 先连接，根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得为等腰三角形，然后根据“三线合一”解答即可. 【详解】证明：连接， 为边上中线， ． 又 ， 为等腰三角形． 又 ∴点是的中点． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(1)， (2) 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，再根据得，，然后根据得，进而可得的度数； （2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可求出的长． 【详解】（1）解： 是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， 故；； （2）解：是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ， ． 18．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．方法一：先证明得出，，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据线段间的关系，即可得出答案；方法二：证明，得出，根据线段间的关系，即可得出答案． 【详解】方法一：证明：平分， ， 在和中，， ∴， ，， 又， ∴， 而， ， ， ， ∴； 方法二：证明：， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ， ∴． 19．(1)见解析 (2)①或或；②3 【分析】（1）由尺规作图作角平分线即可得； （2）①分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解；②在上取点F，使，连接，则易得，当点F、M、E三点共线，且时，的值最小，由含30度角直角三角形性质即可求得的长，从而求得结果． 【详解】（1）解：如图，射线为所求． （2）解：①当是等腰三角形时，分三种情况讨论， 即， 当时，则， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 当时， 则； 当时，则； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或； ②如图，在上取点F，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点F、M、E三点共线，且时，的值最小，从而的值最小， ∵， ∴； ∵点E是的中点，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合应用，主要考查角平分线的定义，等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，最短路径等知识，涉及的知识点较多，熟练应用是解题的关键． 20．(1) (2)，理由见解析 (3)3，见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $