1.4线段的垂直平分线与角平分线　同步练习题　2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版八年级数学上册《1.4线段的垂直平分线与角平分线》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ） A．三角形的三条中线的交点处 B．三角形的三条角平分线的交点处 C．三角形的三条垂直平分线的交点处 D．三角形的三条高线的交点处 2．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，垂足分别为M，N，点G，H分别在边上，．若，则的值为（  ） A．12 B．8 C． D．10 7．如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长等于线段的长 二、填空题 8．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线交于点F，交于点G，连接．若，，则的周长为 ． 9．如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则 10．如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为 ． 11．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则 ．    12．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，，， ． 13．如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ． 14．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 15．在一次抓捕贩毒分子的行动中，一贩毒分子从两条公路的交点O处沿着到两条公路距离相等的一条小路逃窜（如图，在内），要使埋伏在A，B两处的公安人员在相等的距离同时抓住贩毒分子，请你帮助公安人员在图中标出抓捕点，并简述你的理由． 16．如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 17．如图，在三角形中，，，于点G． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点H，求的度数． 18．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 19．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 20．问题提出：已知，在四边形中，对角线平分， ，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到到三个种植区的距离相等， ∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 点E为的中点，， ， 的面积， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件分别证明，，得出对应边相等，利用线段的和差求解即可． 【详解】解：根据尺规作图的操作可得，为的角平分线，且， ∴，， ∵，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．根据作图步骤可得，，点F在的垂直平分线上，得到，的周长，再结合选项分析即可得出答案． 【详解】解：由步骤（1）（2）可得， 由步骤（3）可得， 由步骤（4）可得点F在的垂直平分线上，则， ∴的周长， 由作图步骤无法判断， 结合选项可得，A、B、D选项的结论正确，不符合题意；C选项的结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 8．9 【分析】本题主要考查了作图—作已知线段的垂直平分线、垂直平分线的性质等知识，理解线段垂直平分线的作法是解题关键．由作图可知，直线垂直平分，由垂直平分线的性质可得，然后由的周长，即可获得答案． 【详解】解：由作图可知，直线垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意易得点O是的内心，根据角平分线的性质可得点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等，得到，即可解答． 【详解】解：由题意易得点O是的内心， 则点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等， ∵点O到的距离为3， ∴， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和性质，先运用三角形内角和性质得，结合和分别垂直平分和，则，即，结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， 则 故答案为：． 11．/度 【分析】延长，作，，，设，，进而根据三角形的外角的性质得出，证明，即可求解． 【详解】延长，作，，，    设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 12．/23度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 设 ，由线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质证明，利用角平分线的性质可得：，再利用三角形的内角和定理列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设 ， 是的垂直平分线， ， ， 平分，， ， ， ， 由三角形的内角和定理可得： ， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接， 平分， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，（平行线间间距相等）， ， ， 在和中， ， ， ． 的周长 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 14．①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴ ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵ ， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 15．详见解析 【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理，掌握角平分线的性质及中垂线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，两线交点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线，连接，作线段的垂直平分线与交于点P，则点P为抓捕点． 理由：角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在的角平分线上，点P也在其上）， 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段的垂直平分线上）． ∴两线的交点，即点P符合要求． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线判定与性质，角平分线性质，需熟练掌握平行线的判定定理与性质，根据角平分线的性质求解度数是解决本题的关键． （1）根据平行线的判定，由“同位角相等，两直线平行”可得，再由平行的性质可得再由等量代换即可证明； （2）根据平行可得，再由垂直可得直角，再由角平分线的性质可求解的度数，即可求解的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， 交于点F， ， ， 平分， ， ∴的度数是． 18．(1)全等，见解析 (2)①见解析；②4 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：全等；     理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以.     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即.     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 19．(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 20．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 证明：作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 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