精品解析：期中评估测试卷 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

期中评估测试卷 （总分∶150分　时间∶120分钟） 一、选择题∶本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（ ） A. 8cm B. 2cm C. 4cm D. 1cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例线段定义求解，注意线段顺序； 【详解】解：由题意，得 ∴． 故选：B 【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到右边，然后两边配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， ∴ ，即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法，熟知配方法的步骤是解题的关键． 4. 若想在图所示的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的轴，轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长度，则下列可在方格纸的范围内标出，，，四点的画法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标特点解答即可．本题考查的是点的坐标，熟知各点坐标在平面直角坐标系中的表示方法是解题的关键． 【详解】解：A、坐标系中不能表示出点，不符合题意； B、坐标系中不能表示出点，不符合题意； C、坐标系中不能表示出点，不符合题意； D、坐标系中能表示出各点，符合题意， 故选：D． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．由可得，从而和的相似比为，即可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为， ∵的周长为8， ∴的周长为24． 故选：C 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 7. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．由，可知和异号，由，可得，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 和异号， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 9. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴得出，，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ， ， ， 故选：D． 10. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，则， ∴，即， 解得：； ②当时，则， ∴，即， 解得：或（舍）； ③当时，则， ∴，即， 解得或（舍）； ④当时，，方程没有实数解； 综上所述：方程的解为或或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 二、填空题∶ 11. 如图，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键． 12. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽度为，可得出剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形，根据剩余田地的面积为，据此列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：∵道路的宽度为， ∴剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形， ∵剩余田地的面积为， ∴可列方程为：． 故答案为：． 13. 已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，用多项式乘以多项式的法则将代数式展开，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴， ∴ ； 故答案为：． 14. 已知实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．根据二次根式的非负性求出的值，得到的值即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， ， 将代入， 原式， 故答案为：． 15. 如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，先证明得到，由平行四边形的性质结合已知条件推出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 为的中点， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为______； （2）的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题∶本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式的运算： （1）先根据根式的乘法法则与除法法则展开，再合并即可得到答案； （2）先根据平方差公式及完全平方公式展开，再合并即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值．，其中． 【答案】，或． 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，平方根的性质，单项式乘以多项式的法则，解题的关键是熟练掌握 根据平方差公式，平方根的性质，单项式乘以多项式的法则化简，再合并得到最简结果，根据平方根的定义求出值，分情况代入求解即可得到答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 19. 用适当方法解下列方程∶ （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2），； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等． （1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解； （2）方程，尝试用因式分解法求解； （3）方程，用公式法求解； （4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：（1），即， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：， 设，则方程变形为， ， 即， 或， 或， 则或， 解得． 20. 如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且， （1）求证：． （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质． （1）根据等腰三角形的性质可得，再证明，根据平行线的判定即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例性质可得，求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：是边上的高线， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 是边上的高线， ． 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出． （2）点E的坐标为______． （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 证明：， 无论取何值，， 原方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：，是原方程的两根， ，， ，即， ，即， 代入化简可得：， 解得：或． 四、解答题∶本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD相似比． 【答案】（1）AD＝4；（2）1∶. 【解析】 【分析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长； （2）相似比即为是对应边的比； 【详解】解：(1) 由已知得MN=AB，MD=AD=BC， ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴ ∵ ∴ ∵AB＝4. ∴ ∴AD的长为4. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：= 24. 某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个． （1）求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设月平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设每个台灯的售价应定价为元，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个台灯的售价应定价为元， 依题意得，，整理得，， 解得，，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴每个台灯的售价应定元． 25. 一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二，三；灯柱的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行， 选方案一， ， ， ， ， 设， 则， 同理可得， ， ， 解得：， ， 答：灯柱的高度为． 26. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 【小问2详解】 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 27. 观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+ （1）计算：=　   　，=　     　；猜想=　      　（用n的代数式表示）； （2）计算：S=（用n的代数式表示）． 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可； （2）根据（1）的结果进行拆项得出1++1++1+，求出答案即可． 【详解】（1）∵S1=1+ ，∴； ∵S2=1+，∴； ∵S3=1+，∴； ∵Sn=1+，∴； （2）解：S= = = = 【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中评估测试卷 （总分∶150分　时间∶120分钟） 一、选择题∶本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（ ） A. 8cm B. 2cm C. 4cm D. 1cm 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 若想在图所示的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的轴，轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长度，则下列可在方格纸的范围内标出，，，四点的画法是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C 且 D. 7. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 8. 已知，化简二次根式正确结果是（　　） A. B. C. D. 9. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（　　） A. B. C. D. 10. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 二、填空题∶ 11. 如图，，，，则的长为________． 12. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程______． 13. 已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 14. 已知实数x，y满足，则的值为__________． 15. 如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于_______． 16. 如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为______； （2）的面积为______． 三、解答题∶本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值．，其中． 19. 用适当方法解下列方程∶ （1）． （2）． （3）． （4）． 20. 如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且， （1）求证：． （2）当时，求长． 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出． （2）点E的坐标为______． （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求的值． 四、解答题∶本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比． 24. 某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个． （1）求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 25. 一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 26. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 27. 观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+ （1）计算：=　   　，=　     　；猜想=　      　（用n的代数式表示）； （2）计算：S=（用n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $