精品解析：山东省烟台市莱山区2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年上学期山东省烟台市莱山区九年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1. 某厂家生产海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 5. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 7. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A. 4 B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 将，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是__________________ ． 12. 如图，在中，若，，则的度数为________ ． 13. 如图，在边长为1的菱形网格中，每个菱形的一个内角为，点，，均在格点上， 连接，，则的值为__________． 14. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________． 15. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当______时，与坐标轴相切． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图： 作的平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用证明： 在（1）的条件下，求证：与相切． 19. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题， （1）填空：______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名得100分学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 20. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 21. 图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 22. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 23. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期山东省烟台市莱山区九年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据物体及其俯视图即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，它的主视图如图所示： ， 故选：． 2. 二次函数的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数的顶点式即可判断得解． 【详解】解：∵二次函数为， 其顶点为． 故选：A． 3. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 4. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可． 【详解】解：由三视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成． 故选：A． 5. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 6. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 7. 如图，内接于，点B是中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由是的直径，得，而，则，由点B是的中点，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证，过点作于点，可证，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 9. 如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线，可知：当时，； 即； ∴，故①正确． ②由①得：． 代入原解析式得：； 由图知，当时，，即， ∴，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设，则， ∴两边加c得到， ∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 10. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 将，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是__________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数，概率公式，先找出无理数，再根据概率公式列式计算即可． 【详解】解： 这6个数中，无理数有π和两个， ∵抽到每个数的可能性相同， ∴从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是． 故答案为：． 12. 如图，在中，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在边长为1的菱形网格中，每个菱形的一个内角为，点，，均在格点上， 连接，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，连接，取的中点，则，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点， 根据对称性可得：， ∴ ∵菱形网格的边长为，每个菱形的一个内角为60°， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）．木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，此时，则点翻滚到位置时，走过的路径长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及扇形的弧长，根据已知得出点运动的路线是解题关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：第一次是以为旋转中心，长为半径旋转， 此次点走过的路径是． 第二次是以为旋转中心，为半径旋转， 此次走过的路径是， 故点两次共走过的路径是． 故答案为：． 15. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当______时，与坐标轴相切． 【答案】2或6或10 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．设与坐标轴的切点D，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与x轴相切时，②如图，与x轴和y轴都相切时，③仅与y轴相切，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：设与坐标轴的切点为D， ∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点， 时，时，时，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与x轴相切时， ∵点D是切点，半径是2， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与x轴和y轴都相切时， ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ③如图，仅与y轴相切于点H，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或6秒或10秒时，与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得 【详解】解： ． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图： 作的平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用证明： 在（1）的条件下，求证：与相切． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图，角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握角平分线的性质及作图方法、切线的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可；根据要求作出即可． （2）过点作于点，根据角平分线性质可得，则为的半径，结合切线的判定可知，与相切． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：过点作于点， 平分，，， ， 即为的半径， 与相切． 19. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题， （1）填空：______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1）91，92.5，90 （2）图见解析 （3）八（1）班的成绩更好一些，理由见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性，列表法求概率： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行计算即可； （2）根据数据描述画出条形图即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可； （4）用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 将八（1）的数据排序后，第10个和第11个数据为， ∴， 八（3）班的数据出现次数最多的为：90， ∴； 【小问2详解】 由题可知，八（3）班90分的人数为7人，95分的人数为6个，补全条形图如图： 【小问3详解】 八（1）班的成绩更好一些，理由如下： 两个班级成绩的平均数相同，八（1）班的中位数和众数均比八（1）班的高，故八（1）班的成绩更好一些； 【小问4详解】 用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格如下： A B C D E A A，B A，C A，D A，E B B，A B，C B，D B，E C C，A C，B C，D C，E D D，A D，B D，C D，E E E，A E，B E，C E，D 共20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有8种， ∴． 20. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 【答案】体积为：，表面积为： 【解析】 【分析】本题主要考查根据三视图求立体几何图形的体积，表面积，理解三视图中的数量关系，根据体积，表面积的计算公式即可求解，掌握三视图的特点，立体图形体积，表面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为， ∴圆柱体底面圆的半径为， 根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为， ∴立体图形，半圆柱体， ∴图示模型的体积为， ∴体积为：； 图示立体图形的表面积： 主视图中：，，则； 左视图中：； 俯视图中：； ∴图示模型的表面积为：， ∴表面积为：． 21. 图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】点C到水平线l的距离的长为dm 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键．延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， 在中，，， ，， ， ， ， ， 答：点到水平线的距离的长为． 22. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． （1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可； ②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是． 【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 抛物线与抛物线与轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”； （2）①在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ； ∴的值为； ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段长的取值范围是． 23. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，因为，所以，则，由圆周角定理得，则； （2）设交于点F，作于点L，则，由，得，则，由，求得，由勾股定理得，所以，由，且，得，求得的长． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设交于点F，作于点L，则， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，则此时最小，即可求解； （3），则，则直线的表达式为：，即可求解；当点在上方时，同理可解． 【小问1详解】 解：在中，令，则， ， ， ， ， 即点， 由题意得， 解得， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； 【小问3详解】 解：将该抛物线沿射线方向平移，当向左平移个单位时，则向下平移了个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则新抛物线的表达式为：， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在下方时， ，则， 则直线和表达式中的值相同， 而过点， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时， 同理可得，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角形，平行四边形的存在性问题，二次函数与线段最值，线段和最小值问题，熟练掌握以上知识点结合转化思想综合运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $