专题1.9 集合与常用逻辑用语讲义（5大考点15种题型）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.9 集合与常用逻辑用语专项复习 【考点1：集合的概念】 1 【题型一：集合中元素的特性】 1 【题型二：集合中元素的个数】 4 【考点2：集合的基本关系】 6 【题型三：求集合的子集或真子集】 6 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 8 【题型五：两个集合包含关系的判断】 10 【题型六：空集】 13 【考点3：集合的基本运算】 16 【题型七：交集】 17 【题型八：并集】 19 【题型九：补集与全集】 21 【题型十：集合的应用】 24 【题型十一：集合的新定义】 27 【考点4：充分条件与必要条件】 30 【题型十二：充分条件与必要条件】 31 【题型十三：充要条件】 34 【考点5：全称量词与存在量词】 36 【题型十四：全称量词与存在量词】 37 【题型十五：全称量词命题与存在量词命题的否定】 40 【课时达标检测】 42 【考点1：集合的概念】 1．集合的有关概念 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2.与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么，即确定性． (2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质． (3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【题型一：集合中元素的特性】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若集合，且，则 ． 【答案】 【分析】根据属于的性质，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，或， 解得或， 当时，，不符合集合元素互异性，故舍去， 当时，，符合集合元素互异性， 故答案为： 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则 . 【答案】－1 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【详解】两集合相等，则元素对应相等.由分式的性质及集合中元素的互异性显然有且， 所以，得，所以且.又，所以. 所以. 故答案为：. 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，根据包含关系列式求解，并结合集合的互异性运算求解. 【详解】因为，则， 若，可得或， 当，则集合，，符合题意； 当，则集合，，符合题意； 若，可得，不满足互异性，不符合题意； 综上所述：的取值集合是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 【答案】 【分析】从个数中选个数求和共有种取法，四个式子相加得到，根据的倍数，得到，从而计算得到这四个数，得到最小的数. 【详解】从个数中选个数求和共有种取法， 即，① 将①中个式子相加得， 因为是4个正整数，所以一定是的倍数， 所得的结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复， 注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数， 所以①中的个和为， 则，则 又因为，所以这个数分别为， 故这个数中最小的数为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定的交集运算的结果，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得，解得， 由，得且，解得且且且， 即且且且， 由，得，因此，即，则或（舍去）， 所以实数的值为. 故选：C 【题型二：集合中元素的个数】 1．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 3．（2025·江西·三模）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 4．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 5．（24-25高一上·福建三明·期中）对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 【答案】 【分析】由的定义，分类考虑和一奇一偶，与和同奇偶两种情况，结合列出满足条件的所有可能情况，再考虑点的个数即可. 【详解】因为， 若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有个； 若和同奇偶，则， 满足此条件的有共组，故点有个， 所以满足条件的个数为个. 故答案为：. 【考点2：集合的基本关系】 1．集合间的基本关系 　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 2．判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 　　　 [易错提醒] (1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系． (2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．　　 【题型三：求集合的子集或真子集】 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 2．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 3．（24-25高一·上海·假期作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 ． 【答案】8 【分析】利用子集的定义求出所有的非空子集，然后计算所有元素之和即可得解． 【详解】易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 【答案】69 【分析】由集合M满足的条件，分析得到集合中元素的可能构成情况，进而求解即得答案. 【详解】因为，一定含有元素但不仅含有元素，还可以含有元素且至多含有五个元素． 故满足条件的集合的个数是的真子集个数，共个 集合为，，，，，，． 由于所有的中分别出现了4次，所以元素之和为． 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据子集和真子集的概念进行辨析. （2）根据子集和真子集的概念进行辨析. （3）根据子集和真子集的概念进行辨析. 【详解】（1）子集：，共2个；真子集：共1个. （2）子集：，，，共4个；真子集：，，共3个. （3）子集：，，，，，，，共8个； 真子集：，，，，，，共7个. 元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出集合，由子集的定义可得. 【详解】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 2．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】转化为求集合的子集个数即可. 【详解】显然满足条件的集合中必含元素， 则集合的个数与的子集个数相等， 则个数为. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有（个）． 故选：B． 4．（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】 【分析】由集合的交集运算及真子集的概念可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，共3个元素，所以的真子集个数为. 故答案为：7. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 【答案】15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 【题型五：两个集合包含关系的判断】 1．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 2．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【答案】B 【分析】将每个集合中的元素表达式统一为分母为 6 的形式，研究分子即可判断. 【详解】对于集合 A：，其中 ， 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 6 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 B：，其中 . 因此，， 分子集合为 . 化简：，令 ， 则 ，即所有除以3 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 C：，其中 . 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 3 余 1 的整数. 和 都表示除以3 余 1 的整数集合，因此 。 由于分母相同（均为 6），所以 ； 是除以 6 余 1 的整数集合， 因为， 所以除以6 余 1 的数一定除以3 余 1， 但除以3 余 1 的数不一定除以6 余 1， 所以且. 故选：B 3．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 【答案】BC 【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集与元素个数关系及空集关系定义逐项判断即可得. 【详解】对A：菱形不一定是正方形，A错误； 对B：因为集合与集合均表示奇数集，所以，B正确； 对C：集合的真子集为，共7个，C正确； 对D：，由于空集不是空集的真子集，D错误． 故选：BC. 4．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】BD 【分析】分别讨论情况下的集合的元素，然后结合子集的定义求出的可能取值. 【详解】当时，集合，满足，B正确； 当时，集合，要使，则或． 当时，，此时，集合不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时，集合，满足题意，D正确， 所以的值可以为0或1． 故选：BD. 5．（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 【题型六：空集】 1．（24-25高一上·陕西渭南·期中）以下写法中：①；②；③；④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据集合的性质逐个选项判断即可. 【详解】对①，，故①错误；对②，正确；对③，，故③错误；对④，，故④错误. 综上有②正确. 故选：A 2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出集合均为空集的的范围，再取其补集即可. 【详解】集合为空集，则，解得， 集合为空集，则，解得， 因此集合均为空集时，， 所以实数的取值范围为或且. 故选：C 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知集合，，集合C是A的子集，且.那么这样的子集C有 个. 【答案】480 【分析】由题意求出满足的子集C的个数，再求出集合A的子集个数，即可间接求出满足的子集C个数. 【详解】由题意知，集合A的子集有：个， 若，则满足这样的子集，共个， 所以满足的子集C有：个. 故答案为：480 5．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)当时，若为非空集合，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况求解即可； （2）分和两种情况，结合一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）若A是空集，则方程无实根， 当时，，解得，此时，不符合题意； 所以，，解得， 故实数a的取值范围为； （2）当时，. 所以方程至少有一个正实根. ①当时，，解得， 所以，符合题意； ②当时，由，则且， 若时，，此时，符合题意； 当且时，方程有两个不相等实根，设为， 且方程有两正根或一正根和－负根， 所以或， 解得或. 综上，实数a的取值范围为. 【考点3：集合的基本运算】 1．集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 2.集合的三种基本运算的常见性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A. (2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. [方法技巧1]　　求集合交集或并集的方法步骤 [方法技巧2] 解决交、并、补混合运算的一般思路 (1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义． (2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．　　 [方法技巧3] 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【题型七：交集】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出交点坐标，利用交集的定义求解即可. 【详解】由,解得：,所以， 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合.若，则 . 【答案】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知集合，若，求实数的值. 【答案】或 【分析】先求集合，分类求出集合，再利用给定交集运算的结果求解.. 【详解】由，解得或，所以， 又方程，即，解得或， 又因为，所以， 当时，即时，，满足题意， 当时，由得， 综上所述，或. 4．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【详解】（1）或. 或. （2）由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为或． 5．（2025高一上·上海·专题练习）设，， (1)，求的值； (2)若非空，且，求的值； (3)，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先通过解二次方程化简集合． （1）根据，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出的值． （2）根据非空，且，，将3代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． （3）由，将2代入二次方程求出，注意要验证是否满足题意． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴2和3是方程的两个根， ∴，∴． （2），∵非空且， ∴与有公共元素而与无公共元素， ∴，∴，解得，或． 当时，满足题意； 当时，此时不满足题意， ∴. （3）∵，∴， ∴，解得． 当时，满足题意； 当时，不满足题意，故． 【题型八：并集】 1．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数轴表示和并集定义即可求得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 3．（25-26高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即. 故选：D 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，集合满足且，写出一个符合条件的集合 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据交集及并集得出集合情况即可求解集合. 【详解】因为，所以，故集合中必有1，2，3这三个元素， 因为，所以， 故集合中可能含有元素4或5或6， 所以集合. 故答案为： 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 【题型九：补集与全集】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义求出结果即可. 【详解】因为集合，则集合中的元素均为正整数， 而表示的是自然数集，包括正整数和0， 根据补集的定义可得，. 故选：B. 2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到集合，利用补集概念求出答案. 【详解】或， 故. 故选：B 3．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述确定集合中的元素，再根据补集的定义求出 【详解】已知,表示是自然数,表示也是自然数 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,,不满足 所以集合 已知全集,根据补集的定义：对于一个集合,它的全集中的补集是由所有不属于但属于的元素组成 集合,在全集中去掉集合中的元素 得到. 故选: 4．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解. 【详解】（1）由，或，得. （2）由全集为，得或，， 所以. （3）依题意，或，所以. 5．（2025高一上·全国·专题练习）已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出当时，再根据交集的定义求出即可； （2）先将转化成，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以或， 又因为， 所以. （2）由可得. 所以当时，有，解得； 当时，有，解得. 综上，所以的取值范围为或. 【题型十：集合的应用】 1．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有（   ） A．1人 B．2人 C．3人 D．5人 【答案】B 【分析】根据题意，结合韦恩图列出方程，代入计算，即可求解. 【详解】    如图，设只参加田径一项比赛的有人，只参加球类一项比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛且不参加游泳比赛的有人． 故可解得故只参加田径一项比赛的有2人． 故选：B 3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）时下，新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题．为了解学生在这方面的兴趣情况，某校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人．那么该班级学生的人数为（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】A 【分析】利用容斥原理结合题意画出韦恩图求解即可. 【详解】因为同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人， 所以同时对人工智能和新能源汽车感兴趣但对绿色能源不感兴趣的有人， 同时对人工智能和绿色能源感兴趣但对新能源汽车不感兴趣的有人， 同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣但对人工智能不感兴趣的有人， 因为有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣， 所以只对人工智能感兴趣的有人， 只对新能源汽车感兴趣人， 只对绿色能源感兴趣人， 所以所求该班级学生的人数为． 故选：A 4．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 【答案】2 【分析】若同时去过的有人，根据已知及容斥原理列方程求解即可. 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 5．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【答案】21和8 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 【题型十一：集合的新定义】 1．（2025高三·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为 . 【答案】110 【分析】先求方格中全部数之和的表达式，设，换元并利用二次函数性质求其最大值. 【详解】解：由表格数据可得所有数之和为： ， ， 集合， ， 设，则，，， 当或时，取最大值，最大值为110， 此时，，可取最大值110. 故答案为：110. 4．（2025高一上·北京·专题练习）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有 ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】①②③ 【分析】根据题意，由“广义等差集合”的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①， 取，则符合“广义等差集合”的定义，故①正确， 对于②，取故②正确， 对于③，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同， 则矛盾， 故，当时，取，满足P不是“广义等差集合”， 故的最大值为4，故③正确， 对于④，当时，取，这与矛盾，故④错误， 故选：①②③ 5．（湖南省邵阳市2025-2026学年高一上学期9月拔尖创新班联考数学试题）给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 【答案】(1)A不是闭集合，B是闭集合，证明见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）集合A：直接根据题干定义验证即可；集合B：可任取，设，，，然后验证与集合B的关系即可； （2）令，，然后取特值进行验证即可； （3）可采用反证法，假设，由，可得存在且，故；同理，存在且，故；然后讨论和两种情况，得到矛盾，从而判断假设不成立，从而得到． 【详解】（1）A不是闭集合，B是闭集合． ∵，，，∴A不是闭集合； 任取，设，，，则且，∴，同理，，故B为闭集合； （2）结论：不一定； 不妨令，， 则由（1）可知，为闭集合，同理可证为闭集合， ∵，， 因此，不是闭集合， ∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合； （3）假设， 由，可得存在且，故； 同理，存在且，故， ∵，∴或． 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故． 【考点4：充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【题型十二：充分条件与必要条件】 1．（2025高一上·上海·专题练习）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 2．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】由，得或， 由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意列不等式，解不等式即可求解； （2）根据条件可得BA，分两种情况，当和时，根据题意列不等式(或组），解不等式即可求解. 【详解】（1）由可得， 解得． （2）由p是q的必要不充分条件可知BA， ①，由（1）可知， ②，则需满足（等号不同时成立）， 解得， 综上所述，m的取值范围为． 【题型十三：充要条件】 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知方程有实根，分和两种情况讨论，得出，经验证，时，，方程有实根成立. 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，当开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 4．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 5．（2025高一上·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 【考点5：全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型十四：全称量词与存在量词】 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【分析】先判断量词，再判断量词命题的真假即可得解. 【详解】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误； B，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故B错误； C，至少有一个实数，使为存在量词命题， 当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D，，使为存在量词命题，1· 而恒成立，该命题为假命题，故D错误； 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数都是有理数； (2)有的一元一次方程无解； (3)所有的二次函数的图象的开口都向下． 【答案】(1)全称量词命题，表示． (2)存在量词命题，∃一元一次方程，方程无解． (3)全称量词命题，∀二次函数，它的图象的开口都向下． 【分析】（1）先判断全称量词命题，再改写命题； （2）先判断存在量词命题，再改写命题； （3）先判断全称量词命题，再改写命题； 【详解】（1）全称量词命题，表示为． （2）存在量词命题，∃一元一次方程，方程无解． （3）全称量词命题，∀二次函数，它的图象的开口都向下． 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义进行判断即可. 【详解】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【详解】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题． 【题型十五：全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．（25-26高二上·四川成都·开学考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案. 【详解】命题“，”为存在量词命题，它的否定为全称量词命题， 即，， 故选：A 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设命题，则p的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解. 【详解】因为命题， 所以p的否定为. 故选：B 3．（21-22高三上·山东聊城·期中）若命题“是假命题”，则实数的取值范围是 . 【答案】// 【分析】等价于，解即得解. 【详解】解：因为命题“是假命题”， 所以， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知命题，． (1)写出命题p的否定； (2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全称量词命题的否定即可得解； （2）由题意得为真命题，结合能成立问题的解法即可得解. 【详解】（1）因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 而，， 所以. （2）因为为假命题，所以是真命题， 所以，即，故， 因为， 所以. 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出，再由，即可求出集合； （2）由子集的包含关系列不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：为真， 所以，所以，即集合 （2）因为集合非空，所以 因为，所以 所以. 所以实数的取值范围为. 【课时达标检测】 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【答案】D 【分析】根据命题的定义逐一判断即可. 【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题， 故选：D 2．（25-26高一·全国·课后作业）下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据的性质可判断①②③④的正误，根据集合的定义可判断⑤的正误. 【详解】因为中的最小数为0，故①错误； 不大于3的自然数有0,1,2,3，故②错误； 若，则，此时，故③错误； 而，则成立，故④正确； 集合中有元素0，故⑤错误. 故选：B. 3．（2025·吉林长春·一模）已知α：x>1，β：x≥2，则α是β的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对应的范围判断逻辑关系即可. 【详解】α：x>1，β：x≥2，所以βα，，如x=1.5，则α是β的必要不充分条件， 故选：B． 4．（2025高三·全国·专题练习）如果集合，则（　 ） A．ST B．T⊆S C．S＝T D．ST 【答案】A 【分析】先将两集合元素表示形式统一，即，，再比较确定包含关系， 由于NZ，故. 【详解】由， 令，则，所以， 由于NZ，故. 故选：A. 5．（25-26高一·全国·课后作业）已知命题，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由命题p为假命题，得到命题为真命题，从而求出使为真的参数的取值范围. 【详解】∵，， ∴，. ∵命题p为假命题，∴命题为真命题， ∴当时，方程没有实数根， ∴，即. ∴实数a的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定、二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 6．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先解出，由可知，进而解出即可. 【详解】中最多只有2个元素， 又因为，所以，所以. 故选：C. 7．（2025·江西·模拟预测）已知集合，若，则实数（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的定义知无实数解．由此可得的值． 【详解】因为，所以方程组无实数解．所以，． 故选：A． 8．（25-26高三上·浙江·开学考试）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 【答案】A 【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解. 【详解】若有2个元素，不妨设， 以为中至少有两个元素，不妨设， 由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设， 由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素， 当集合有个元素时，由②得：，则或. 当集合有多于个元素时，不妨设， 其中， 由于，所以， 若，则，但此时， 即集合中至少有这三个元素， 若，则集合中至少有这三个元素， 这都与集合中只有2个运算矛盾， 综上，，故A正确； 当集合有个元素，不妨设， 其中，则，所以， 集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D. 故选：A. 【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于的自然数 D．我省参加高考的学生 【答案】BCD 【分析】根据各选项中的对象是否具有确定性可确定能否构成集合. 【详解】对于A，“美丽的”标准不明确，不符合确定性，无法构成集合，A错误； 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性，可以构成集合，B正确； 对于C，不小于的自然数具有确定性，可以构成集合，C正确； 对于D，我省参加高考的学生具有确定性，可以构成集合，D正确. 故选：BCD. 10．（25-26高一·全国·课后作业）已知全集，集合和关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有 A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】CD 【分析】根据维恩图可知，求的是集合和集合的交集，分别化简集合和集合，用交集基本运算求解即可 【详解】，，，故选CD. 【点睛】本题考查集合的交集运算，易错点为忽略集合中的条件 11．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若集合与“相交”，则等于（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】AC 【分析】根据两个集合“相交”的定义，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】由题意，集合与“相交”， 当时，由，解得， 此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”； 当时，由，解得， 此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”； 综上所述，或； 故选：AC. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一·全国·课后作业）命题p：“有的三角形是直角三角形”，则p的否定是： ，p的否定是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 所有的三角形都不是直角三角形 假 【分析】根据存在量词的否定是全称量词可得答案. 【详解】命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”，是假命题． 故答案为：所有的三角形都不是直角三角形；假. 【点睛】本题考查特称命题和全称命题的关系，属于基础题. 13．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据集合之间的包含关系，列出不等关系，即可求得结果. 【详解】根据题意，集合是集合的真子集； 故，，且不能同时取得等号， 解得， 故答案为：. 14．（24-25高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合,或，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】由已知，根据条件给的集合A和集合B，结合，通过对集合A进行分类讨论，讨论集合是不是空集，然后借助数轴从而确定参数的取值范围. 【详解】解析  由，得，从而． ①若，则，解得； ②若，在数轴上标出集合A，B，如图所示， 则，解得． 综上，实数a的取值范围是． 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由充分条件和必要条件的定义可得⫋，由此可得或，解不等式即可求出答案. 【详解】 由题意得⫋. 所以或， 解得， 即实数m的取值范围是. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假． （1）对任意，； （2）所有的正方形都是矩形； （3）至少有一个实数，使． 【答案】（1）存在，，假命题．（2）至少存在一个正方形不是矩形，假命题．（3）对任意，，假命题． 【分析】（1）由“任意”的否定是“存在”可得出命题的否定命题，对代数式配方后可判断命题的真假； （2）由“所有的”的否定是“至少存在一个”得出命题的否定命题，再由矩形和正方形的关系可判断命题的真假； （3）由“至少有一个”的否定是“任意”得出命题的否定命题，由时，可判断命题的真假. 【详解】（1）命题“对任意，”的否定是“存在，”， 由于，所以原命题的否定是假命题； （2）命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“至少存在一个正方形不是矩形”， 由于不存在一个正方形不是矩形的，所以原命题的否定是假命题； （3）命题“至少有一个实数，使”的否定是“对任意，”， 因为当时，，所以原命题的否定是假命题. 故得解. 【点睛】本题考查全称命题和特称命题之间的否定关系，属于基础题. 18．（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 19．（25-26高一·江苏·单元测试）设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.9 集合与常用逻辑用语专项复习 【考点1：集合的概念】 1 【题型一：集合中元素的特性】 1 【题型二：集合中元素的个数】 2 【考点2：集合的基本关系】 2 【题型三：求集合的子集或真子集】 3 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 4 【题型五：两个集合包含关系的判断】 5 【题型六：空集】 6 【考点3：集合的基本运算】 7 【题型七：交集】 8 【题型八：并集】 9 【题型九：补集与全集】 10 【题型十：集合的应用】 11 【题型十一：集合的新定义】 12 【考点4：充分条件与必要条件】 13 【题型十二：充分条件与必要条件】 14 【题型十三：充要条件】 15 【考点5：全称量词与存在量词】 16 【题型十四：全称量词与存在量词】 17 【题型十五：全称量词命题与存在量词命题的否定】 19 【课时达标检测】 20 【考点1：集合的概念】 1．集合的有关概念 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2.与集合概念有关问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么，即确定性． (2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质． (3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【题型一：集合中元素的特性】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若集合，且，则 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则 . 3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知集合，，若，则的取值集合是 ． 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 5．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【题型二：集合中元素的个数】 1．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·江西·三模）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 5．（24-25高一上·福建三明·期中）对于，规定：，已知集合，则中元素的个数为 个. 【考点2：集合的基本关系】 1．集合间的基本关系 　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 2．判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 　　　 [易错提醒] (1)在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系． (2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．　　 【题型三：求集合的子集或真子集】 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·假期作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 【题型四：求集合的子集或真子集个数】 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 【题型五：两个集合包含关系的判断】 1．（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 3．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 5．（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【题型六：空集】 1．（24-25高一上·陕西渭南·期中）以下写法中：①；②；③；④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知集合，，集合C是A的子集，且.那么这样的子集C有 个. 5．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)当时，若为非空集合，求实数a的取值范围. 【考点3：集合的基本运算】 1．集合的三种基本运算 符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集 A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 2.集合的三种基本运算的常见性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A. (2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. [方法技巧1]　　求集合交集或并集的方法步骤 [方法技巧2] 解决交、并、补混合运算的一般思路 (1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义． (2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．　　 [方法技巧3] 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【题型七：交集】 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合.若，则 . 3．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知集合，若，求实数的值. 4．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 5．（2025高一上·上海·专题练习）设，， (1)，求的值； (2)若非空，且，求的值； (3)，求的值． 【题型八：并集】 1．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川广安·阶段练习）已知集合或，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，集合满足且，写出一个符合条件的集合 ． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 【题型九：补集与全集】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A．0 B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 5．（2025高一上·全国·专题练习）已知，，全集 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【题型十：集合的应用】 1．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有（   ） A．1人 B．2人 C．3人 D．5人 3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）时下，新质生产力成为人们茶余饭后的热门话题．为了解学生在这方面的兴趣情况，某校选取高一（1）班全班学生进行了关于对人工智能、新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计，有41人对人工智能感兴趣，27人对新能源汽车感兴趣，20人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有20人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有8人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有14人，对三种都感兴趣的有4人．那么该班级学生的人数为（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 4．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 5．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【题型十一：集合的新定义】 1．（2025高三·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为 . 4．（2025高一上·北京·专题练习）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有 ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 5．（湖南省邵阳市2025-2026学年高一上学期9月拔尖创新班联考数学试题）给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合为闭集合，且，，证明：． 【考点4：充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【题型十二：充分条件与必要条件】 1．（2025高一上·上海·专题练习）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【题型十三：充要条件】 1．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 5．（2025高一上·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 【考点5：全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型十四：全称量词与存在量词】 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 2．（2025高一·全国·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数都是有理数； (2)有的一元一次方程无解； (3)所有的二次函数的图象的开口都向下． 3．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【题型十五：全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．（25-26高二上·四川成都·开学考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设命题，则p的否定为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·山东聊城·期中）若命题“是假命题”，则实数的取值范围是 . 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知命题，． (1)写出命题p的否定； (2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围． 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若，求实数的取值范围. 【课时达标检测】 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 2．（25-26高一·全国·课后作业）下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·吉林长春·一模）已知α：x>1，β：x≥2，则α是β的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高三·全国·专题练习）如果集合，则（　 ） A．ST B．T⊆S C．S＝T D．ST 5．（25-26高一·全国·课后作业）已知命题，，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．（2025·江西·模拟预测）已知集合，若，则实数（    ） A． B．2 C． D． 8．（25-26高三上·浙江·开学考试）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于的自然数 D．我省参加高考的学生 10．（25-26高一·全国·课后作业）已知全集，集合和关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有 A．-1 B．0 C．1 D．3 11．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若集合与“相交”，则等于（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一·全国·课后作业）命题p：“有的三角形是直角三角形”，则p的否定是： ，p的否定是 （填“真”或“假”）命题． 13．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围为 14．（24-25高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知集合,或，若，求实数a的取值范围． 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，求实数m的取值范围. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假． （1）对任意，； （2）所有的正方形都是矩形； （3）至少有一个实数，使． 18．（24-25高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 19．（25-26高一·江苏·单元测试）设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $