2023年广东省湛江市赤坎区中考数学三模试卷

2023年广东省湛江市赤坎区中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．3的相反数是（ ） A．3 B． C． D． 2．下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．第七次全国人口普查结果公布的数据显示，全国人口共141178万人，将数据“141178万”用科学记数法可表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ） A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 6．下列说法中，不正确的是（ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 7．如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽度为x m，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，AB是外接的直径，点D在上，且，则（ ） A．39° B．41° C．49° D．59° 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．比较大小：4______（填“>”、“<”或“=”）． 12．分解因式：______． 13．已知点与点关于原点对称，则______． 14．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若，则OE的长为______． 15．如图，，点M、N分别在边OA、OB上，且，，点P、Q分别在边OB、OA上，则的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题8分） 计算：． 17．（本小题8分） 先化简，再求值：，其中． 18．（本小题8分） 如图，在平行四边形ABCD中，点H是边AB上一点，连接CH． （1）尺规作图：请作出∠ADC的角平分线，分别交CH、CB于点G、E，交AB的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若点G恰好是线段CH的中点，求证：． 19．（本小题9分） 某果园随机在园中选取20棵苹果树，并统计每棵苹果树结果的个数如下： 前10棵：32 39 46 55 60 54 60 28 56 41 后10棵：51 36 44 46 40 53 37 47 45 46 （1）求前10棵苹果树每棵结果个数的中位数和众数； （2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图． 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 个数分组 频数 2 4 2 20．（本小题9分） 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即）小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：，，） 21．（本小题9分） 京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 22．（本小题12分） 如图CD是直径，A是上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且． （1）求证：直线AB是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求的值． 23．（本小题12分） 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D，点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作交x轴于点F，轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M． （1）直接写出点A，B，D的坐标； （2）当时，求m的值； （2）试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1．【答案】B 【解析】【分析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号． 【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是-3． 故选：B． 2．【答案】C 【解析】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合． 3．【答案】B 【解析】解：∵141178万=1411780000，∴141178万用科学记数法表示为， 故选：B． 先将141178万化为1411780000，再按照用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法和步骤即可进行解答． 本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 4．【答案】D 【解析】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、2与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意； C、与-2不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 利用二次根式的加减法的法则及乘法的法则对各项进行运算即可． 本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．【答案】B 【解析】解：∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右， ∴摸到红球的频率稳定在0.6左右， ∵袋中装有若干个白球和15个红球，∴袋中球的总数为：， ∴袋中白球约有：（个）， 故选：B． 根据题意和题目中的数据，可以计算出红球出现的频率，然后即可求出总的球的个数，从而可以计算出白球的个数． 本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是求出球的总数． 6．【答案】B 【解析】解：一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A正确； 一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如图，，则四边形ABCD不是矩形，故选项B错误； 一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C正确； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确； 故选：B． 根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 本题考查正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确． 7．【答案】C 【解析】解：根据题意，得， 故选：C． 根据草坪的面积为列一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 8．【答案】A 【解析】解：∵，，，∴， A、，故本选项正确；B、，故本选项错误． C、，故本选项错误；D、，故本选项错误； 故选：A． 先利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 9．【答案】C 【解析】解：∵AB是外接的直径，∴， ∵，∴，∴， 故选：C． 根据圆周角定理可得，，利用三角形内角和定理可求的度数． 本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角． 10．【答案】C 【解析】解：∵抛物线顶点坐标为，∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在，之间，∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，，即，故①正确，符合题意． ∵抛物线对称轴为直线，∴， ∴，∴时，，故②正确，符合题意． ∵抛物线顶点坐标为，∴有两个相等实数根， ∴，∴，故③正确，符合题意． ∵的最大函数值为，∴有两个不相等的实数根， 故④错误，不符合题意． 故选：C． 根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在，之间，从而判断①．由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②，由有两个相等实数根可得，从而判断③．由函数最大值为可判断④． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 11．【答案】> 【解析】解：∵，又∵，∴． 故答案为：>． 求出，即可求出答案． 本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较，解此题也可以根据平方法来判断，即求出两数的平方，再根据平方后所得的结果判断两数的大小． 12．【答案】 【解析】解：原式． 故答案为：． 原式提取4后，利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．【答案】2 【解析】解：∵点与点关于原点对称，∴，，∴， 故答案为：2． 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 此题主要考查了关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标变化规律． 14．【答案】 【解析】解：∵四边形OABC是矩形，∴，∴， 根据题意得：，， ∴，∴， ∵，∴， 设，则， 在中，，即，解得：，∴， 故答案为：． 由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得是等腰三角形，然后在中，利用勾股定理求得AE，OE的长． 此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 15．【答案】 【解析】解：作M关于OB的对称点，作N关于OA的对称点， 连接，即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：，， ∴为等边三角形，为等边三角形，∴， ∴在中，． 故答案为． 作M关于OB的对称点，作N关于OA的对称点，连接，即为的最小值． 本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 16．【答案】解： ． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．【答案】解：原式 当时，原式． 【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可． 本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简． 18．【答案】（1）解：如图． （2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴， ∵G为CH的中点，∴， ∵，∴（AAS）， ∴，，∴，即． 【解析】（1）根据角平分线的作图步骤进行作图即可． （2）结合平行四边形的性质，证明，可得，进而可得． 本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是学会利用数形结合思想进行解决问题． 19．【答案】解：（1）将前10个数从小到大依次排列为：28323941465455566060， 第5个和第6个数分别为46和54，所以中位数为， 出现次数最多的是60，出现了两次，所以众数为60； 答：前10棵苹果树每棵结果个数的中位数和众数分别为50和60； （2）根据所给数据，补全频数分布表如下： 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 个数分组 频数 2 5 7 4 2 补全频数分布直方图： 【解析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据题干所列数据即可补全表格和直方图． 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．【答案】解：设AC与GE相交于点H， 由题意得：米，米，， 设米，∴米， 在中，，∴（米）， ∵米，∴米， 在中，，∴，解得：， 经检验：是原方程的根，∴（米）， 条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米． 【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 设AC与GE相交于点H，根据题意可得：米，米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 21．【答案】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要天． 根据题意，得．解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴（天）． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．理由是： ∵甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成， ∴这项工程需要的总费用为：（万元）， ∵504万元>500万元，∴工程预算的施工费用不够用，（万元） 答：工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元． 【解析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率工作时间列方程求解； （2）根据甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成，求出这项工程的总费用，作出判断． 22．【答案】（1）证明：连接OA， ∵CD是的直径，∴，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，即，∴， 又∵OA为半径，∴直线AB是的切线； （2）解：∵，，∴，∴， 设半径， ∵，∴，， 在中，， 在中，， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，∴，∴， 在中，，，解得，， ∵AP平分∠CAD，∴， 又∵，∴，∴，∴． 【解析】（1）连接OA，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论； （2）先得出，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果； （3）由（2）的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，，然后得出，最后根据得出结论． 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键． 23．【答案】解：（1）， 当时，，解得，． ∵点A在点B的左侧，∴、． ∵，即，∴． （2）如图，过点D作轴于点Q，交PE于点N． ∵点P的横坐标为m，∴， ∵，∴，， ∵轴，∴， 当时，，∴，即， 当时，， ∵点P在抛物线对称轴的右侧，∴； 当时，， ∵点P在抛物线对称轴的右侧，∴， 综上所述，或； （3）存在，理由如下： 当点P在x轴上方时， 设点，则点E的坐标为， 把点E的坐标代入AD的表达式得：， 解得， 故点E的坐标为， 则， 由直线AD的表达式知，，则， 则， ∵四边形AFPE是菱形，则，即， 解得（舍去）或，故点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， 同理可得，点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 【解析】（1）当时，求得二次函数图象与x轴交点即可得到A、B坐标，然后利用顶点坐标公式求得D点； （2）如图，过点D作轴于点Q，交PE于点N．得到根据轴，得到，当时，，解方程即可得到结论； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，利用，分别求解即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $