精品解析：辽宁省鞍山市华育高新区学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度（上）10月限时作业 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分）． 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义． 【详解】解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程； B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程； 、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； D、方程，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 故选：A． 2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 3. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程有两个实数根，求解，且即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， 又． ∴，且． 故选：C． 6. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 7. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和直角坐标系中点的表示，点B的对应点记为点，过点B作轴于点C，过点作轴于点D，根据性质可证明，有和，结合点A和点B得坐标即可求得点． 【详解】解：点B的对应点记为点，过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图， 则， ∴， 由旋转的性质可得出：， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵A，B两点的坐标分别为，， ∴， ∴，， 即点． 故选∶A． 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 10. 如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，将绕点顺时针旋转得到，交于点连接交于，连接．则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③△BDG的面积是； ④；其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形和旋转的性质，易证为等腰直角三角形，即得出．又易证≌，即得出，可判断①；由全等的性质可得出．又易证≌，得出．由三角形外角的性质和三角形内角和定理可求出，即得出，从而证明四边形为菱形，可判断②；由等腰直角三角形和勾股定理可求出，即，再根据，从而可求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求出，从而可判断③；根据正方形的性质可求出，再根据，可求出，即可求出，可判断④． 【详解】四边形是正方形， ，，， 由旋转可得：，，， ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ≌， ， ，故①正确； ≌， ， 又，， ≌， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， ， ， ， ，故③正确； 根据正方形的性质可求出， ， ， 故④正确； 综上可知，①②③④都正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先移项得到一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：， 移项得 ， 因式分解得 ， ∴或， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，只有当方程的一边能够分解成几个一次因式相乘，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．本题也可以用公式法或配方法解方程，但不如因式分解法解一元二次方程简单． 12. 如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明，即可求解． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 13. 已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】14或16##16或14 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．先解一元二次方程可得，再根据等腰三角形的定义可得或，然后分两种情况，结合三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：， ， ， 或， ， ∵是等腰三角形， ∴或， ∴或， ①当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系， 则此时这个三角形的周长为； ②当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系， 则此时这个三角形的周长为； 综上，这个三角形的周长为14或16， 故答案为：14或16． 14. 如图，在中，连接，点是上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．先根据平行四边形的性质得，，由得，证明得，进而得到，的面积，即可得的面积，再根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：11． 15. 关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则方程可转化为，则可得关于的方程的解是，由此即可得． 【详解】解：令，则方程可转化为， ∵关于的方程的解是（为常数，）， ∴关于的方程的解是， ∴或， ∴或， ∴方程的解是， 故答案为：． 三、解答题（共75分，第16题10分，第17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题12分，23题13分） 16. 按规定方法解方程： （1）；（公式法） （2）； （因式分解法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据公式法求解方程即可； （2）利用因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴． 17. 在如图所示的正方形网格中有，，． （1）试在图中作出以为旋转中心，顺时针方向旋转后的图形； （2）若点的坐标为，点的坐标为，是关于点中心对称的图形，请在图中画出平面直角坐标系与并写出两点的坐标． 【答案】（1） 即为所求： （2）平面直角坐标系与即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形、建立平面直角坐标系、画中心对称图形、点的坐标，熟练掌握旋转图形和中心对称图形的画法是解题关键． （1）先根据旋转的性质画出点，再顺次连接点即可得； （2）先根据点的坐标建立平面直角坐标系，再根据中心对称的性质画出点，然后顺次连接点即可得，最后根据在平面直角坐标系中的位置写出点的坐标即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知：关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1） （2）的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）先计算出，根据题意得到，即可求出； （2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ 方程的一个根为3， ∴， 解得， 当时，原方程化为，解得， ∴另一根为1； 当时，原方程化为，解得， ∴另一根为9； ∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9． 19. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而可求的度数； （2）由旋转的性质可知，，由（1）可知，是等边三角形，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得，，， 等边三角形， ， ， 即， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得，，， 为等边三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 20. 2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． （1）求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 【答案】（1）该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为 （2）每个钥匙扣应降价8元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由表格先得出月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式，然后再根据题意可得方程，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得： ， 解得：， ∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：每个钥匙扣应降价8元． 21. 如图，已知四边形的对角线交于点F，点E是上一点，且，．求证： （1） （2）． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 又， ； （2） 证明：， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）先证，根据两组对应角相等，可证； （2）根据得出，结合，证明，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．问题情境：在菱形中，，为边上一点（与点不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知：（1）取，如图1，射线与射线交于点，请你补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是________________； ②线段的数量关系是__________________； 猜想论证：（2）取，如图2，射线与射线交于点，小夏在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同… 但线段的数量关系好像不再成立… 我发现线段之间好像具有与（1）②类似的数量关系… 请你帮小夏同学完成线段之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究：（3）测量得到，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边所在直线上时，请你直接写出的值． 【答案】（1）①；②； （2），证明如下： 如图，在上截取，连接， ∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）7或25或 【解析】 【分析】（1）①先根据菱形的性质可得，，则可得是等边三角形，再证出，，然后根据定理证出，根据全等三角形的性质即可得； ②根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得，由此即可得； （2）在上截取，连接，先证出，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等量代换即可得； （3）分三种情况：①当点落在菱形的边所在直线上时，过点作于点，先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得；②当点落在菱形的边所在直线上时，过点作于点，过点作于点，连接，先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理可得，，，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得；③当点落在菱形的边所在直线上时，利用线段和差可得的长，由此即可得． 【详解】解：（1）①∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． ②由上已得：是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）∵旋转角为， ∴分以下三种情况： ①当点落在菱形的边所在直线上时， 如图，过点作于点， ∵在菱形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴在中，； ②当点落在菱形的边所在直线上时， 如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，； ③如图，当点落在菱形的边所在直线上时， ∴， ∴； 综上，的值为7或25或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③7；（3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一次函数、二次函数等知识，正确理解一元二次方程的衍生点的定义是解题关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，再代入计算即可得． 【详解】解：（1）， 因式分解，得， 解得（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为7． （3）将代入直线得：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ∴， ∴，， 故存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）10月限时作业 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分）． 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，将绕点顺时针旋转得到，交于点连接交于，连接．则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③△BDG的面积是； ④；其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是______． 12. 如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是__________． 13. 已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为___________． 14. 如图，在中，连接，点是上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是______． 15. 关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是____________． 三、解答题（共75分，第16题10分，第17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题12分，23题13分） 16. 按规定方法解方程： （1）；（公式法） （2）； （因式分解法） 17. 在如图所示的正方形网格中有，，． （1）试在图中作出以为旋转中心，顺时针方向旋转后的图形； （2）若点的坐标为，点的坐标为，是关于点中心对称的图形，请在图中画出平面直角坐标系与并写出两点的坐标． 18. 已知：关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 19. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 20. 2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． （1）求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 21. 如图，已知四边形的对角线交于点F，点E是上一点，且，．求证： （1） （2）． 22. 【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．问题情境：在菱形中，，为边上一点（与点不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知：（1）取，如图1，射线与射线交于点，请你补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是________________； ②线段的数量关系是__________________； 猜想论证：（2）取，如图2，射线与射线交于点，小夏在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同… 但线段的数量关系好像不再成立… 我发现线段之间好像具有与（1）②类似的数量关系… 请你帮小夏同学完成线段之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究：（3）测量得到，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边所在直线上时，请你直接写出的值． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $