辽宁省鞍山市华育高新区学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度（上）10月限时作业 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分）． 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，将绕点顺时针旋转得到，交于点连接交于，连接．则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③△BDG的面积是； ④；其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是______． 12. 如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是__________． 13. 已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为___________． 14. 如图，在中，连接，点是上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是______． 15. 关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是____________． 三、解答题（共75分，第16题10分，第17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题12分，23题13分） 16. 按规定方法解方程： （1）；（公式法） （2）； （因式分解法） 17. 在如图所示的正方形网格中有，，． （1）试在图中作出以为旋转中心，顺时针方向旋转后的图形； （2）若点的坐标为，点的坐标为，是关于点中心对称的图形，请在图中画出平面直角坐标系与并写出两点的坐标． 18. 已知：关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 19. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 20. 2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． （1）求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； （2）从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 21. 如图，已知四边形的对角线交于点F，点E是上一点，且，．求证： （1） （2）． 22. 【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．问题情境：在菱形中，，为边上一点（与点不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为． 操作感知：（1）取，如图1，射线与射线交于点，请你补全下面两个问题的答案： ①线段与的数量关系是________________； ②线段的数量关系是__________________； 猜想论证：（2）取，如图2，射线与射线交于点，小夏在笔记本上记录了自己的思考过程： 线段与的数量关系与（1）①相同… 但线段的数量关系好像不再成立… 我发现线段之间好像具有与（1）②类似的数量关系… 请你帮小夏同学完成线段之间数量关系的猜想并给出证明． 拓展探究：（3）测量得到，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边所在直线上时，请你直接写出的值． 23. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为___________． 【尝试应用】 （2）若关于的一元二次方程为 ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标； ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 观察下列式子：解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 请用上述例题方法解题：在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值； 【拓展提高】 （3）是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，若有，请直接写出的值；若没有，请说明理由． 2024-2025学年度（上）10月限时作业 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分）． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（每题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】14或16##16或14 【14题答案】 【答案】11 【15题答案】 【答案】 三、解答题（共75分，第16题10分，第17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，22题12分，23题13分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 即为所求： （2）平面直角坐标系与即为所求， 【18题答案】 【答案】（1） （2）的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为 （2）每个钥匙扣应降价8元 【21题答案】 【答案】（1） 证明：， ， 即， 又， ； （2） 证明：， ， 又， ， ， ． 【22题答案】 【答案】（1）①；②； （2），证明如下： 如图，在上截取，连接， ∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）7或25或 【23题答案】 【答案】（1）； （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③7；（3）存在，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $