精品解析：湖南省邵阳市2025-2026学年高二上学期9月拔尖创新班联考数学试题

2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 7 C. i D. 7i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则， 则其虚部为. 故选：B 2. 设全集，集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】通过一元二次不等式及对数不等式求解，结合补集运算即可求解. 【详解】， ， 所以， 故选：C 3. 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案. 【详解】将 代入椭圆方程得， 整理得， 由 ，得 ，代入上式， ， 因此，点 和 的坐标分别为 和 ， 弦长 为， 由已知 ，有， ， 离心率 ，其中 ，代入 ， 因此：. 故选：B 4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定函数的对称轴，由对称轴确定的最小值. 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值，为. 故选：B 5. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 因，故， 则， 所以的面积为. 故选：A. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A. 81 B. 145 C. 256 D. 273 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 7. 已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质求出点坐标，进而求出直线方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求得线段长度，最终求出. 【详解】 设，根据题意，点与点关于直线对称， 因此线段的中点在直线上，且与该直线垂直. 即，.化简得. 因为点Q在圆C上，所以，即. 两式结合，得，，即点坐标为. 所以直线的方程为. 设线段中点为，连接. 圆心到直线的距离. 又因为圆的半径为，所以. . 所以. 故选：C 8. 若关于x的方程恰有三个不同的实根（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程，得到或，令和，利用导数求得和的单调性和极小值，画出和的图象，结合图象，得到且 进而得到，即可求解. 【详解】若是其中一个根，则有，但此时方程不足三个根， 所以，则方程，可得或， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且， 画出函数和的图象，如图所示， 要使得方程恰有三个不同的实根， 则满足，且 ①， 由于，即，且， 因为在上单调递减，所以 ②， 由于，即，且，， 因为在上单调递增，所以 ③， 由①得：，整理并代入②③式，可得，所以D正确. 又因为，且，所以等号不成立， 综上所述，选项D正确. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. B. 正三棱柱的体积为 C. 若，则 D. 直线与是异面直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D . 【详解】因为平面，平面，所以，故A正确； 正三棱柱的体积，故B错误； 取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，为中点，所以，设， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若， 即，所以，故C正确； ，设， 即， 解得，与矛盾，所以不是共面向量， 即与是异面直线，故D正确. 故选：ACD 10. 设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ） A. 若A，B两点的纵坐标分别为，，则 B. 若，则直线AF的斜率 C. 若，则的面积为 D. 记，，的面积分别为，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设直线，，，联立可得，对于B，由可得，继而得到点坐标，再利用斜率公式求解即可；对于C，先求，再由可解得，可得轴，再利用求解即可；对于D，由题不妨设点A在第一象限，分别表示出证明即可. 【详解】选项A：设直线，与抛物线联立， 整理得，设，， ，故选项A错误； ， 选项B：结合题意及抛物线的定义，有， 故，代入抛物线，得， 则.故选项B正确. 选项C：， , 解得，直线，则轴， 此时.故选项C正确. 选项D：不妨设点A在第一象限，， 同理，，而， 故， 结合选项A运算的联立，， 故. 而，则.故选项D正确. 故选：BCD. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ） A. 角的大小为 B. 若为的角平分线，则 C. 若，则线段的长度的取值范围为 D. 若，则的周长的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合正弦定理与两角和的正弦公式，可求，判断角的大小，从而判断A的真假；结合三角形的面积公式，可判断B的真假；结合A的结论，利用正弦定理，可判断C的真假；结合A的结论，利用面积关系，得到，再结合余弦定理，得到，用表示三角形周长，结合基本不等式可求周长的最小值，判断D的真假. 【详解】选项A：若， 即，， 故， 因为为三角形内角，所以，所以，.故选项A正确. 选项B：根据题意，由于， 即.故选项B正确. 选项C：若，则. 在中，由正弦定理得：，， 由于，则的长度的取值范围为.故选项C正确. 选项D：若，根据等面积法有，即. 由余弦定理得：，整理可有， 故，的周长. 又因为（当且仅当时取等号），解得， 故的周长，周长的最小值为.故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可得出. 【详解】由 又，得，所以，得. 故答案为：. 13. 若函数在点，处的切线互相平行，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合导数的几何意义列方程可得结果. 【详解】由题意，，所以， ， 由于在点，处的切线互相平行，所以， 即，，，检验符合. 故答案为：. 14. 抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为.若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求出事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率，再结合三元基本不等式求解即可. 【详解】因为每次掷出点数为5的概率为，则每次掷出其他点数的概率为，故事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算即可求得； （2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【小问1详解】 在中，由， 得， 整理得，故. 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，， . 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 易知，且在单调递减， 可得， 解得的周长的取值范围为. 16. 设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 由题可知， 两边同时除以得：，且， 故是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法可证明数列为等差数列； （2）结合分组求和及错位相减法可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）易知， 前项和， 令， 故， 两式相减得， 则， . 17. 已知函数，其中a，b均为实数. （1）若，在点处的切线过定点P，求P的坐标； （2）若，，在处取得最小值，证明：. 【答案】（1） （2） 易知函数， ，. 又，. 令，得. 由，得，由，得 所以在上单调递减，上单调递增. 故. 故. 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ，. 要证，只需证，. 令，，故， 则在上单调递增， 故.又，则. 【解析】 【分析】（1）求出和，得到切线方程，整理成，得到定点坐标； （2）由最小值得到，构造函数，由得. 【小问1详解】 由题知， 故. ， 故， 则切线方程为， 即， 显然有当时，，故其所过定点P为. 【小问2详解】 略 18. 如图（一），在中，于点，，四边形是平行四边形.将沿折起至的位置，如图（二）所示，连接，. （1）证明：； （2）是的中点，连接，，记二面角为，二面角为. （i）设三棱锥的外接球球心为O，证明：当时，； （ii）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） 由题意得，， . ，平面，， 平面. 又平面，. （2）（i）当时，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，故，，. 设的中点为Q，易知的外接圆的圆心恰为点Q，而的外接圆的圆心为BC的中点，分别过两个圆心作对应平面的垂线，则交点为O，根据已知条件，得点， 故，，. 又O，C，，D四点不共线，. （ii）是， 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直从而得到线线垂直，即证明平面. （2）（i）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后求出的坐标，从而可证明. （ii）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后求出平面、平面的法向量，进而求出的表达式，从而可判断是否为定值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：为定值. 如图，以点为坐标原点，，所在直线为轴，轴，以垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，且. ，，，，其中. 易得平面和平面的一个法向量. 设平面的一个法向量， 有，令，得， 设平面的一个法向量， 有，令，得. 故，. 而，. 故. 19. 已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为. （1）求E的标准方程； （2）设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 【答案】（1） （2）（i）由，可得， 点P关于E所对应的极线方程为， 设，，，直线， 代入椭圆方程整理得：， 显然，则，， 则，. ，B，M三点共线，则，得，解得， 则点，同理得点. ，. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件即可解题 （2）利用直线与椭圆的位置关系和韦达定理即可解题 【小问1详解】 根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为， 即，又右焦点对应的极线方程为，. 又，，联立解得，，. 的标准方程为：. 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：，， 因，故，则有. 由关于E对应的极线为直线，设直线， 代入椭圆方程整理得：， 由韦达定理得：，. 则，. ，B，M三点共线，，即，解得， 则点，，， 由可得， 整理得， 即， 故， 化简得， 即， 又，则有，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 7 C. i D. 7i 2. 设全集，集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 5. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A. 81 B. 145 C. 256 D. 273 7. 已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 若关于x的方程恰有三个不同的实根（），则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. B. 正三棱柱的体积为 C. 若，则 D. 直线与是异面直线 10. 设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ） A. 若A，B两点的纵坐标分别为，，则 B. 若，则直线AF的斜率 C. 若，则的面积为 D. 记，，的面积分别为，，，则 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ） A. 角的大小为 B. 若为的角平分线，则 C. 若，则线段的长度的取值范围为 D. 若，则的周长的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则__________. 13. 若函数在点，处的切线互相平行，则__________. 14. 抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为.若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若，求的周长的取值范围. 16. 设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数，其中a，b均为实数. （1）若，在点处的切线过定点P，求P的坐标； （2）若，，在处取得最小值，证明：. 18. 如图（一），在中，于点，，四边形是平行四边形.将沿折起至的位置，如图（二）所示，连接，. （1）证明：； （2）是的中点，连接，，记二面角为，二面角为. （i）设三棱锥的外接球球心为O，证明：当时，； （ii）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为. （1）求E的标准方程； （2）设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $