精品解析：湖南省邵阳市2025-2026学年高一上学期9月拔尖创新班联考数学试题

2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次将集合A中的四个元素，代入不等式检验，若不等式成立，则说明该元素属于集合B，从而说明该元素是中的元素；否则，该元素就不是中的元素. 【详解】因为，所以不属于集合B； 因为，所以； 因为，所以； 因为，所以. 所以，. 故选：D. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定，即可判断选项. 【详解】命题，，则命题的否定为，. 故选：B. 3. 已知均为实数，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】时，假设“或”不成立，即有且， 当且时，，这与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即由“” 可以推出“或”，充分性成立； 当时，满足或（这里成立）， 但，不满足， 所以由“或”不能推出“”，必要性不成立. 则“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到的范围从而判断得到结果. 【详解】，，， 故，，，所以. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式求值. 【详解】由二倍角公式得 由诱导公式得 故选：C 7. 如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 8. 已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案. 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确； 【详解】对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误； 对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，函数， 当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围是，故D错误； 故选：ACD. 10. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 若函数恰有4个零点，则 B. 关于的方程有8个不同的实数解 C. 当时，不等式恒成立 D. 函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题作出函数图象，利用数形结合，对A：将题意转化为与有4个交点，结合图象分析判断；对B：将题意转化为与的交点个数，分析判断；对C：转化为恒成立，即可判断；对D：根据图象结合题意运算求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 依次类推，作出函数的大致图象， 若函数恰有5个零点，即与有5个交点， 此时直线过点，所以，； 同理，若函数恰有3个零点，即与有3个交点， 此时直线过点，所以，， 则函数恰有4个零点时，有，故A错； 由图象规律可知与的交点个数是10，故B错； 由，，，，，， 任意实数，不等式恒成立，等价于恒成立， 由图知函数在的每一个上顶点的纵坐标为 ，且， 即恒成立，故C对； 函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 ，故D对. 故选：CD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，进而得到的解析式，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】因为函数的图象过点，可得，解得，即， 又因为函数与互为反函数，可得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】取优弧所在圆的圆心，连接，易得，进而结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为． 故答案为：. 14. 已知定义在上的奇函数，对，总有成立，当时，．函数，若对，，使得成立，则满足条件的实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件得出周期以及在上的值域，进而将问题转化为在上有解，再分、讨论即可. 【详解】由任意的，总有成立，即恒成立， 于是得函数的一个周期是4， 又当时，，有， 又是奇函数，则当时，， 又，，从而有， 即时，， 而函数的一个周期是4，于是得函数在上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 则在上有解，当时，显然成立， 当时，在上有解，必有，解得， 则有， 综上得实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简与求值： （1）计算： ①；②． （2）已知，若，求下列各式的值： ①；②． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据幂运算方法即可求解；②根据对数运算法则运算即可； （2）①将已知等式两边同时平方即可；②先求，再开方即可． 【小问1详解】 ① ． ② ． 【小问2详解】 ①， ∴； ②，且， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且，求下列各式的值： （1）及； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的终边经过第三象限的点可得，再根据列出关于m的等式，解出m的值即可． （2）通过三角函数诱导公式对原式进行恒等变换，再分式上下同除化为表达式，最后代入（1）中的即可． 【小问1详解】 因为点P在第三象限，所以， 由三角函数的定义可知，解得， 此时，故， 得到，故，． 【小问2详解】 原式． 17. 给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，，证明：． 【答案】（1） A不是闭集合，B是闭集合． ∵，，，∴A不是闭集合； 任取，设，，，则且，∴，同理，，故B为闭集合； （2） 结论：不一定，理由如下： 不妨令，， 则由（1）可知，为闭集合，同理可证为闭集合， ∵，， 因此，不是闭集合， ∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合； （3） 假设， 由，可得存在且，故； 同理，存在且，故， ∵，∴或． 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故． 【解析】 【分析】（1）集合A：直接根据题干定义验证即可；集合B：可任取，设，，，然后验证与集合B的关系即可； （2）令，，然后取特值进行验证即可； （3）可采用反证法，假设，由，可得存在且，故；同理，存在且，故；然后讨论和两种情况，得到矛盾，从而判断假设不成立，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 【答案】（1） 函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2） 函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 19. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）； （2）当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围； （3）若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间； （2）解不等式，即可得到结果； （3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果． 【小问1详解】 解：当时，， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，； 【小问2详解】 解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增， 又因为在，上的最大值为，所以， 即，整理可得， 所以，所以，即； 【小问3详解】 解：由不等式对任意，，恒成立， 即， 可令，等价为在，上单调递增， 而， 分以下三种情况讨论： ①当即时，可得，解得，矛盾，无解； ②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增， 但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解； ③即时，此时在，上单调递增， 要想在，递增，只能，即，所以． 综上可得满足条件的的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知均为实数，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 10. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 若函数恰有4个零点，则 B. 关于的方程有8个不同的实数解 C. 当时，不等式恒成立 D. 函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 13. 如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为______. 14. 已知定义在上的奇函数，对，总有成立，当时，．函数，若对，，使得成立，则满足条件的实数的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简与求值： （1）计算： ①；②． （2）已知，若，求下列各式的值： ①；②． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且，求下列各式的值： （1）及； （2）． 17. 给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，，证明：． 18. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 19. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）； （2）当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围； （3）若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $