精品解析：四川省安岳中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（强基班）

安岳中学高2024级第一学期半期考试（强基班） 数 学 试 卷 考试时间：120分钟，满分150分； 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.） 1. 已知，，则 A. B. C. D. 2. “函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、多选题（本小题3个小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项符合题意的，全选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分.） 9. 下列论述中，正确的有（ ） A. 集合的非空子集的个数有7个 B. 第一象限角一定是锐角 C. 若为定义在区间上的连续函数，且有零点，则 D. 是的充分不必要条件 10. 下列命题正确的是（    ） A. 是关于的方程有一正一负根的充要条件 B. 若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 当，时， B. 对于，， C. 若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为 D. 函数有6个不同的零点 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为__________. 13. 函数在是单调递减的，则的取值范围是________. 14. 函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，满分77分） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知． （1）若是第一象限角，求的值； （2）求的值． 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若对于任意恒成立，求的取值范围. 18. 某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. （1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； （2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 19. 已知函数的定义域为. （1）求实数的取值范围； （2）若，使得在区间上单调递增，且值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2024级第一学期半期考试（强基班） 数 学 试 卷 考试时间：120分钟，满分150分； 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.） 1. 已知，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，故选C. 2. “函数的定义域为R”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域为R，即对任意恒成立，可得a的范围，则可得 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件. 【详解】因为函数的定义域为R， 所以对任意恒成立， ①当时，对任意恒成立； ②当时，只需，解得：； 所以. 记集合，. 因为A⫋B，所以 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明AB是错误的，利用作差法可证C是错误的，利用不等式的性质可证D是正确的. 【详解】对A：当时，由，故A错误； 对B：当，，则满足，但不成立，故B错误； 对C：根据不等式的性质，若，则， 也就是，故C错误； 对D：若且，则即，故D正确. 故选：D 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再取特殊值. 【详解】因为，， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C项、D项， ，排除A项. 故选：B. 5. 已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围. 【详解】为幂函数，则，解得或， 时，；时，. 为偶函数，则. 函数在区间上为单调函数， 则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，以及同角三角函数的关系和角的范围求出，再根据即可求解. 【详解】解：， ，又， ，，即， . 故选：B. 7. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 8. 已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求. 【详解】， 故函数关于对称，又在上严格递减； 即 当且仅当时取得. 故选：B. 二、多选题（本小题3个小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项符合题意的，全选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分.） 9. 下列论述中，正确的有（ ） A. 集合的非空子集的个数有7个 B. 第一象限角一定是锐角 C. 若为定义在区间上的连续函数，且有零点，则 D. 是的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】将集合的非空子集一一列举，即可判断A，举出反例，比如即可判断B，举出反例即可判断C，由充分不必要条件的定义即可判断D 【详解】集合的非空子集有共7个，故正确； 因为是第一象限角，但不是锐角，故B错误； 函数在区间上有零点，但不满足，故C错误； 是的充分不必要条件，故D正确. 故选: 10. 下列命题正确的是（    ） A. 是关于的方程有一正一负根的充要条件 B. 若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由韦达定理即可判断，对于B，参变分离即可判断，对于C，由条件确定，即可求解，对于D，由，再结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A，若的根一正一负，则，解得：； 反之，当时，，方程有一正一负根，也成立， 所以是关于x的方程，有一正一负根的充要条件，A对； 对于B，若关于的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于的不等式的解集是，则， 所以关于的不等式或，故C正确； 对于D，若，则，可得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 当，时， B. 对于，， C. 若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为 D. 函数有6个不同的零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数图象，根据函数单调性和对称性以及零点分布情况一一代入选项分析即可. 【详解】作出函数图象如下图所示： 对A，当时，， 时，， 当，时，， ，故A正确； 对B，取，，则，故B错误； 对C，根据函数图象可知当时，有四个不同的实根， ，由得， 由得，则， 则，故C正确； 对D，令，则，令，则， 当时，则，解得或， 当时，，解得， 观察图象知，当或时，直线与函数图象各有一个交点， 当时，直线与函数图象有四个交点， 则函数有6个不同的零点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是利用函数的局部对称性得到，再根据分段函数关系式得到，最后减少变量即可判断整体和的范围. 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由弧长公式求出扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可. 【详解】解： . 故答案为：8 13. 函数在是单调递减的，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，内层函数在区间上单调递减，可得出，且使得在处的函数值非负，由此可得出关于的不等式组，解出不等式组即可得出实数的取值范围. 【详解】设，则二次函数的图象开口向下，对称轴为直线. 由于函数在上单调递减， 则函数在上为减函数，则有， 由于在为正数，则当时，， 于是有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数的单调性求参数，在分析出内层函数的单调性后，还应保证真数在相应的区间上恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14. 函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出函数在各段上的解析式，数形结合，求的取值范围. 【详解】.由. 当时，； 设，则，所以； 设时，则，所以， 由， 即或. 由图象可得：，都有，故 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题． 四、解答题（本题共5小题，满分77分） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据并集的运算求解， （2）根据包含关系即可列不等式求解. 【小问1详解】 由解得， 所以， 当时，， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为． 16. 已知． （1）若是第一象限角，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数与幂函数的运算化简，结合求解，结合角度范围可得答案． （2）由诱导公式化简，分子分母同除，代入计算可得结果. 【小问1详解】 ， 所以，又因为，可得， 因为是第一象限角，故. 【小问2详解】 . 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若对于任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义即可求得； （2）分离常数，利用单调性求的范围即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数、 则满足， 所以 即， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 对于任意恒成立，代入可得， 所以对于任意恒成立， 令， 因为，所以由对数函数的图像与性质可得， 所以. 18. 某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. （1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； （2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 【答案】（1） 两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快， 而的函数值增加得越来越慢， 在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快， 第一个函数模型满足要求， 由题意知，，解得，所以； （2）该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上 【解析】 【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢求解； （2）根据题意，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，解得， 又 故， 该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上. 19. 已知函数的定义域为. （1）求实数的取值范围； （2）若，使得在区间上单调递增，且值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数定义域得到恒成立，分参转化为求函数最值； （2）根据题意得到有两个不同的实数根，转化为求函数零点问题. 【小问1详解】 的定义域为， 恒成立 即恒成立， ，当时等号成立， ，即的取值范围为. 【小问2详解】 函数在其定义域上为增函数， 要使在区间上单调递增， 则函数在区间上单调递增，又为增函数， 在区间上为增函数， 又，， 又在区间上的值域为， ， 即 在区间上有两个不等实根， 则，解得， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $