湖南省永州市第一中学2025-2026学年高一直升班上学期拓展研学(三)数学试题

永州一中2025-2026学年高一直升班数学拓展研学（三） 命题人：陈诗跃 时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3i 2. 已知向量，则实数（ ） A. -2 B. 3 C. －1 D. 6 3. 的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若存在，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正方形ABCD中，已知是AB的中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的一个对称中心为 D. 要得到函数的图象，可以将的图象先向左平移个单位长度，再将各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 10. 已知中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 如图，已知正方体的棱长为交平面于点H，则下列说法正确的是（ ） A. 点是的重心 B. C. 面截正方体外接球所得截面的面积为 D. 以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，.当时，实数的取值范围是______. 13. 已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是______． 14. 设函数，若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量满足. （1）求向量与的夹角； （2）求向量的模. 16. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. （1）证明：； （2）当时，，求； （3）当时，若向量，，已知，求函数的最值. 17. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 18. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 19. 设，． （1）求当，的值域； （2）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 永州一中2025-2026学年高一直升班数学拓展研学（三） 命题人：陈诗跃 时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：， ， . （2） （3）最小值，最大值 【17题答案】 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）的值域为； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $